高中数学第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换课件新人教A版必修4 (1)

)
解析:∵f(x)=
1
1+cos 2������ + 2
π 2
= − sin 2x,x∈R,
2 2 1
1
1
∴f(-x)=2 − 2sin 2(-x)=2 + 2sin 2x. ∴f - 4 = 2 + 2sin 2 =1,
f
π 4 π 1 1 π
1
1
= − sin
2 2 π π 4
1
1
π 2
=0, ≠-f
=
2sin ������ cos ������ +2si n 2 ������ 2sin ������ cos ������ +2co s 2 ������
2cos ������ (sin ������ +cos ������ )
=tan θ.
探究一
探究二
探究三
规范解答
探究一
探究二
探究三
规范解答
π 4
∴f - 4 ≠f
,f -
π 4
.
∴f(x)既不是奇函数 ,也不是偶函数 .
答案:D
2.辅助角公式
asin x+bcos x= ������2 + ������ 2 sin(x+φ) 其中 sin������ =
������ ������ 2 +������
,cos������ = 2
������ ������ 2 +������
cos������ =2sin
5π 6
��x2
π
≤2kπ+ ,k∈ Z,得 2kπ- ≤x≤2kπ+ ,k∈ Z.又 x∈[-π,0],∴x∈ ,0 .
答案:D
探究一
探究二
探究三
规范解答
探究一三角函数式的化简与求值
【例 1】 化简:
1+sin2 ������ -cos2 ������ 1+sin2 ������ +cos2 ������
·
cos ������
1+cos ������ cos ������
=tan .
2
������
2sin2 ������ cos2 ������ 2co s 2 2������
·
1+cos2 ������
·
1+cos ������
·
cos ������
1+cos ������
2sin ������ cos ������ 2co s 2 ������ sin ������ 1+cos ������
探究二三角恒等式的证明
【例 2】 求证:
2sin ������ cos ������ (sin ������ +cos ������ -1)(sin ������ -cos ������ +1)
=
1+cos ������ sin ������
.
分析:利用“升、降幂公式”与“二倍角公式”,由左边⇒右边.
探究一
探究二
探究三
规范解答
证明:原式= 2sin������cos������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ 2sin cos -2sin2 2sin cos + 2sin2 2 2 2 2 2 2 = = =
2sin ������ cos ������ 4si n 2 cos
2
������
1-cos α=2sin2 .
2
������
(2)降幂公式:sin2α= cos α=
2
1-cos 2������ 2
;
1+cos2 ������ 2
.
做一做1 函数f(x)=cos2x+π4,x∈R,则f(x)( A.是奇函数 B.是偶函数 C.既是奇函数,也是偶函数 D.既不是奇函数,也不是偶函数
·
cos ������
������ 2 ������ 2
1+cos ������
=
2sin cos 2co s 2
������ 2
=tan =右边 .
2
������
所以原等式成立 .
探究一
探究二
探究三
规范解答
探究三三角恒等变换在实际中的应用 【例3】 已知点P在直径AB=1的半圆上移动,过P作圆的切线PT, 且PT=1,∠PAB=α,问α为何值时,四边形ABTP的面积最大? 分析:解答本题应先画图,再用变量α表示四边形ABTP的面积,最 后利用三角公式求最值,得出α的值.
探究一
探究二
探究三
规范解答
解:如图所示,∵AB为直径, ∴∠APB=90°. 又AB=1, ∴PA=cos α,PB=sin α. ∵PT切圆于点P, ∴∠TPB=∠PAB=α. ∴S四边形ABTP=S△PAB+S△TPB = 1 PA· PB+ 1 PT· PB· sin α
=右边 .
所以原等式成立 .
探究一
探究二
探究三
规范解答
探究一
探究二
探究三
规范解答
变式训练 1 证明: 证明:左边= = = =
sin2 ������ 1+cos2 ������
sin4 ������ 1+cos4 ������
·
cos2 ������
1+cos2 ������ cos2 ������
.
分析:利用二倍角公式,在分子、分母中构造出“-1”,消去“1”,进而 化简三角函数式.
解:原式= = =
1+sin2 ������ -cos2 ������
1+sin2 ������ +cos2 ������
1+2sin ������ cos ������ -(1-2si n 2 ������ ) 1+2sin ������ cos ������ +(2co s 2 ������ -1) 2sin ������ (cos ������ +sin ������ )
3.2 简单的三角恒等变换
习题课——三角恒等变换的应用
学 习 目 标 1.能利用三角恒等 变换讨论三角函数 的性质. 2.利用所学公式进 行三角恒等变换, 总结三角恒等变换 的方法. 3.掌握三角恒等变 换在实际问题中的 应用.
思 维 脉 络
1.升降幂公式
(1)升幂公式:1+ cos α= 2cos2 ;
,tan������ = 2
������ ������
.
做一做2 函数f(x)=sin x( )
3 cos x(x∈[-π,0])的单调递增区间是
π 6
A. -π,π 3
5π 6
B. -
5π 6 π 6
,-
C. - ,0
解析:f(x)=2
π 3 π 6 π 2 1 2
D. - ,0
sin������π 6 3 2
������ 2 ������ sin 2 ������ 2
co s 2 -si n 2 2co s 2
������ 2 ������ 2
������ 2
������ 2
=
sin ������ 2si n 2
������ 2
=
2sin cos
������ 2
1+cos ������ sin ������