八年级数学实数的运算冀教版知识精讲

八年级数学实数的运算冀教版
【本讲教育信息】
一、教学内容：
实数的运算
1. 二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义.
2. 二次根式的性质.
3. 二次根式的运算法则.
二、知识要点：
1. 二次根式的定义
（1）形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式.
注意：①a ≥0的条件是二次根式定义的一部分；
②二次根式实质上就是非负数的算术平方根，根据非负数的算术平方根是非负数可得：a ≥0时，a ≥0，且当a ＝0时，a ＝0.
（2）被开方数是整数，且这个整数不含能开得尽的因数，这样的二次根式叫做最简二次根式.
（3）化简后被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式.
2. 二次根式的性质
（1）a ≥0（a ≥0），即一个非负数的算术平方根是非负数.
（2）（a ）2＝a （a ≥0），即一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数.
（3）a 2＝︱a ︱＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a ≥0）－a （a <0）
，即一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值. （4）积的算术平方根的性质：ab ＝a ·b （a ≥0，b ≥0），即积的算术平方根等于各因式的算术平方根的积.
（5）商的算术平方根的性质：a b ＝a b
（a ≥0，b ＞0），即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.
3. 二次根式的运算
（1）二次根式的加、减运算：首先把每个二次根式化为最简二次根式，然后把能合并的二次根式合并起来.
（2）二次根式的乘、除法运算： ①乘法法则：a ·b ＝ab （a ≥0，b ≥0）.
②除法法则：a b ＝a b （a ≥0，b ＞0）. 三、重点难点：
本讲重点是二次根式的定义、性质和运算，难点是二次根式的性质.
【典型例题】
例1. 下列各式哪些是二次根式？
21，－19，x 2＋1，3
9，－6a ，－x 2－2x －1.
分析：对于二次根式一定要注意满足两个条件：①根指数为2；②被开方数大于或等于
0.
解：二次根式有：21，x2＋1.
对于－19，因为被开方数－19＜0，所以不是二次根式.
对于3
9，因为根指数是3，所以它也不是二次根式.
对于－6a，当a＞0时，－6a＜0，所以－6a不是二次根式. 当a≤0时，－6a≥0，则－6a是二次根式.
对于－x2－2x－1＝－(x＋1)2，当x≠－1时，不是二次根式；当x＝－1时，是二次根式.
评析：掌握二次根式的定义，关键要掌握两点：（1）是二次根号；（2）被开方数是非负数.
例2.已知(m－3)2＝3－m，试确定字母m的取值范围.
分析：由(m－3)2＝3－m可得m－3≤0，所以m≤3.
解：依题意得：m－3≤0，所以m≤3.
评析：掌握二次根式的性质，并熟练加以运用，进行综合.
例3.下列二次根式中，最简二次根式有哪些？
（1）3；（2）1
2；（3）12；（4）x
2＋y2；（5）ab.
分析：掌握二次根式所满足的条件，根据定义进行判定.
解：最简二次根式有：3，x2＋y2，ab.
1
2不是最简二次根式，因为被开方数不是整数.
12不是最简二次根式，因为12＝22·3，被开方数中还含可以开得尽方的数.
评析：判断最简二次根式时，应将被开方数写成因式后，再判断.
例4.用简便方法计算.
（1）－645×（－448）；
（2）（－64）×（－81）；
（3）1452－242；
分析：（1）先确定符号，用乘法交换律、结合律将两系数与两根式分别相乘；（2）中被开方数是两个负数之积，化成64×81；（3）应用平方差公式较方便.
解：（1）－645×（－448）
＝6×4×45×48
＝245×32×3×42
＝24×3×415
＝28815；
另解：－645×（－448）
＝－632×5×（－442×3）
＝－6×3×（－4）×4×5× 3
＝2885；
（2）（－64）×（－81）＝64×81＝82×92＝8×9＝72；
（3）1452－242＝（145＋24）（145－24）＝169×121＝132×112＝13×11＝143.
评析：（1）二次根式的乘除法同整式的乘除法类似，把根号前面的数看成系数；（2）以前学过的运算律、方法与技巧都适用于二次根式，特别是乘法公式的运用，可以简化很多运算；（3）注意（－64）×（－81）≠－64·－81.
例5. 化简：（1）18＋2
18； （2）35·73·57
； （3）（312－213
＋48）÷2 3. 分析：本题属于二次根式的运算，按照运算的一般步骤及法则来进行计算. 解：（1）18＋218＝32＋2×142＝32＋122＝722； （2）35·73·57＝35×73×57
＝1＝1； （3）（312－213
＋48）÷2 3 ＝312÷23－213
÷23＋48÷2 3 ＝3212÷3－13÷3＋12
48÷3 ＝3－13
＋2 ＝143. 评析：二次根式的加减法应化为最简二次根式；二次根式的乘法对三个二次根式同样适用.
例6 应用乘法公式计算.
（1）（6＋23）（6－23）；
（2）（－5－12
）2； 分析：（1）题用平方差公式，（2）题用完全平方公式，其中（2）题先处理符号较简捷. 解：（1）（6＋23）（6－23）
＝（6）2－（23）2
＝6－12
＝－6；
（2）（－5－12
）2 ＝（5＋1－2）2＝（5＋1）2（－2）2
＝（5）2＋25＋14＝3＋52； 评析：（2）题中对符号先处理可以避免运算中的符号错误.
【方法总结】
学习本讲应注意类比的思想方法，这主要体现在两方面：
1. 通过类比的方式学习有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然适用.
2. 与整式的加减相类比，得到合并同类二次根式的方法，从而总结出二次根式的加减运算方法.
【模拟试题】（答题时间：50分钟）
一、选择题 1. a 有意义的条件是（ ）
A. a ＞0
B. a ≥0
C. a ≤0
D. a 为任意实数 2. 如果a －2是二次根式，则a 的取值范围是（ ）
A. a ≥2
B. a ＞2
C. a ≠2
D. a ≤2 3. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. 0.5 B. 12 C. 13
D. 42 4. 下列与3不是同类二次根式的是（ ） A. 27 B. 12 C. 13 D. 0.3 5. 化简5×
920的结果是（ ） A. 32
B. 32
C. 52 3
D. 152 6. 下列计算正确的是（ ） A.
(－3)2＝－3 B. 5
15＝5×15＝1 C. 515＝25×15＝ 5 D. －515＝(－5)2×15＝ 5 *7. 下列计算正确的是（ ）
A. 27－123＝9－4＝1
B. （2－5）（2＋5）＝1
C. 6－22＝3 2
D. 8－2＝ 2
**8. 若x 、y 为实数，且︱x ＋2︱＋y －2＝0，则（x y
）2009的值为（ ） A. 1
B. －1
C. 2
D. －2
二、填空题
1. 计算12＋313＝__________，23·32＝__________.
2. 计算(2－1)(2＋1)2＝__________，(2＋3)(3－2)＝__________.
*3. 一个直角三角形的两边长分别为3、4，则第三边长为__________.
4. 比较大小：32_____23，－175_____－411.
*5. 用“”定义新运算：对于任意实数a 、b ，都有a
b ＝b 2＋1. 例如74＝42＋
1＝17，那么＝__________；当m 为实数时，＝__________.
*6. 若正方形的面积为13
，则它的对角线长为__________. 7. 已知一个直角三角形的两条直角边长分别为40cm 和32cm . 则这个直角三角形的周长为__________，面积为__________.
**8. 已知a 、b 分别是6－13的整数部分和小数部分，则2a －b ＝__________.
三、解答题
1. 把下列各式化成最简二次根式.
（1）10145
（2）(－8)2－4×(－4) （3）0.01×640.36×324
（4）
(1125)2－(25)2 2. 计算.
（1）(－57)2
（2）－5827·113
·354 （3）15·3520÷（－13
6） （4）（0.5－213）－（18－75） （5）（2＋3－6）（2－3－6）
3. 试举例说明：两个无理数的和、差、积、商仍是无理数吗？
4. 如图所示，在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝7，∠B ＝60°，求BC 的长.
A
B C 60°
试题答案
一、选择题
1. B
2. A
3. D
4. D
5. A
6. C
7. D
8. B
二、填空题 1. 33，1 2. 2＋1，1 3. 5或7 4. ＞，＞ 5. 10，26 6. 13
6 7. （102＋210）cm ，85cm 2 8. 13（提示：因为3＜13＜4，所以6－13的整数部分是2，小数部分是6－13－2＝4－13，所以2a －b ＝2×2－（4－13）＝13）
三、解答题
1. （1）65，（2）45，（3）227，（4）2425
2. （1）175，（2）－403，（3）－2，（4）142＋133
3，（5）5－4 3 3. 不一定，2＋（－2）＝0，0是有理数，2＋3是无理数；两个无理数的差、积、商的情况可以类似地举例.
4. 过点A 作AD ⊥BC 于D ，在R t △ABD 中，∠B ＝60°，所以∠BAD ＝30°，BD ＝12
AB ＝52，AD 2＝AB 2－BD 2＝754，又在R t △ACD 中，CD ＝AC 2－AD 2＝112，故BC ＝52＋112＝8.。