2011届高考数学第一轮复习精品试题：圆锥曲线

2011届高考数学第一轮复习精品试题：圆锥曲线
选修1-1 第2章圆锥曲线与方程
考纲总要求：
①了解圆锥曲线的实际背景，了解在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．
②掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质．
③了解双曲线、抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质．
④理解数形结合的思想．
⑤了解圆锥曲线的简单应用．
§2.1-2椭圆
重难点：建立并掌握椭圆的标准方程，
经典例题：已知A 、B 为椭圆22a x +22925a y =158
a ，AB
1
A
c a (a>c>0)的点的轨迹是椭圆
2)23,25(-，则椭圆方程是
（） C ．18422=+x y D ．161022=+y x
k 的取值范围为 （）
C ．（1，+∞）
D ．（0，1）
4．设定点F1（0，－3）、F2（0，3），动点P 满足条件
)0(921>+=+a a a PF PF ，则点P 的轨迹是（） A ．椭圆 B ．线段C ．不存在 D ．椭圆或线段
5．椭圆12222=+b y a x 和
k b y a x =+2222()0>k 具有 （） A ．相同的离心率 B ．相同的焦点 C ．相同的顶点 D ．相同的长、短轴
6．若椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，则这个椭圆的离心率为 （）
A ．41
B ．22
C ．42
D ．21
7．已知P 是椭圆1361002
2=+y x 上的一点，若P 到椭圆右准线的距离是217，则点P 到左焦点的距离（）
A ．516
B ．566
C ．875
D ．877
8．椭圆141622=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是
（）
A ．3
B ．11
C 9．在椭圆1342
2=+y x 内有一点P （1，－1），F A ．25
B ．27 10．过点22
=+y x m
．21 D ．－21 )3的椭圆标准方程为___________.
12(－3，２)的椭圆方程为_______________．
13y x +的取值范围是________________．
14．
15．已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率32
=e ，短轴长为58，求椭圆的方程．
16．过椭圆4:),(148:22002
2=+=+y x O y x P y x C 向圆上一点引两条切线PA 、PB 、A 、
B 为切点，如直线AB 与x 轴、y 轴交于M 、N 两点．
（1）若0=⋅PB PA ，求P 点坐标；
（2）求直线AB 的方程（用00,y x 表示）；
（3）求△MON 面积的最小值．（O 为原点）
17．椭圆
122
22=+b y a x (a ＞b ＞)0与直线1=+y x 交于P 、Q 两点，且OQ OP ⊥，其中O 为坐标原点. （1）求2211b a
+的值； （2）若椭圆的离心率e 满足33e 22
18．一条变动的直线L 与椭圆42x +2y 2
=1交于P 、Q ．若
L 在变动过程中始终保持其斜率等于1
选修1-1 第2§2.3重难点：建立并掌握双曲线的标准方程，经典例题：已知不论b 取何实数，直线y=kx+b k 的取．双曲线 D ．两条射线
k 的取值范围是
（） ．0≥k D ．1>k 或1-<k
1=的焦距是 （）
A ．4
B ．22
C ．8
D ．与m 有关
4．已知mx －y+n=0与nx2+my2=mn 所表示的曲线可
6．焦点为()6,0，且与双曲线1222=-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是 （）
A ．1241222=-y x
B ．1241222=-x y
C ．1122422=-x y
D ．112242
2=-y x
7．若a k <<0，双曲线12222=+--k b y k a x 与双曲线122
22=-b y a x 有 （）
A ．相同的虚轴
B ．相同的实轴
C ．相同的渐近线
D ．相同的焦点
8．过双曲线19162
2=-y x 左焦点F1的弦AB 长为6，则2ABF ∆（F2为右焦点）的周长是（）
A ．28
B ．22
C ．14
D ．12
9．已知双曲线方程为142
2=-y x ，过P （1，0A ．4条B ．3条10．给出下列曲线：①4x+2y －1=0;②
y=－2x －3A ．①③ B ．②④ 12
2=-y x
12．
13B A ,两点，则AB =__________________．
1422=-y x 的弦所在直线方程为．
15)0,4的双曲线标准方程，并求此双曲线的离心率．
16．2，P 为双曲线上任意一点，求证：21PF PO PF 、、成
等比数列（O 为坐标原点）．
17．已知动点P 与双曲线x2－y2＝1的两个焦点F1，F2的距离之和为定值，且cos ∠F1PF2的最小
值为－.
（1）求动点P 的轨迹方程；
（2）设M(0，－1)，若斜率为k(k ≠0)的直线l 与P 点的轨迹交于不同的两点A 、B ，若要使|MA|
＝|MB|，试求k 的取值范围．
18．某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s.已知各观测点到该中心的距离都是1020m.
试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/s:相关各点均在同一平面上).
选修1-1 第2章圆锥曲线与方程
§2.4抛物线
重难点：建立并掌握抛物线的标准方程，能根据已知条件求抛物线的标准方程；掌握抛物线的简单
几何性质，能运用抛物线的几何性质处理一些简单的实际问题．
经典例题：如图,直线y=21x 与抛物线y=81
x2－4交于A 、B 两点,线段AB 的垂直平分线与直线y=－5交于Q 点.（1）求点Q 的坐标；（2）当P 为抛物线上位于线段AB 下方（含A 、B ）的动点时,
求ΔOPQ 面积的最大值.
当堂练习：
1．抛物线22x y =A ．)0,1(B ．)0,41( C ．)81,0( D ．)41,0(
2．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y
A ．y x 82=
B ．y x 42= 3．抛物线x y 122=截直线B ．x y 292-=或y x 342= ．x y 292-=
R t ∈）上的点的最短距离为 （）
C ．2
D ．2 6．抛物线)3三点，F 是它的焦点，若CF BF AF ,,成等差数列，
A ．321,,x x x 成等差数列
B ．231,,x x x 成等差数列
C ．321,,y y y 成等差数列
D ．231,,y y y 成等差数列
7．若点A 的坐标为（3，2），F 为抛物线x y 22=的焦点，点P 是抛物线上的一动点，则PF PA +取
得最小值时点P 的坐标是
（） A ．（0，0） B ．（1，1） C ．（2，2） D ．)1,21(
8．已知抛物线)0(22>=p px y 的焦点弦AB 的两端点为),(11y x A ,),(22y x B ,则关系式
212
1x x y y 的值一定等于（）
A ．4p
B ．－4p
C ．p2
D ．－p 9．过抛物线)0(2>=a ax y 的焦点F 作一直线交抛物线于P ，Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是q p ,，则q p 11+ （）
A ．a 2
B ．a 214
10．若AB 为抛物线y2=2px(p>0)的动弦，且（） A ．21a B ．21p C ．2111．抛物线x y =212．已知圆07622=--+x y x ，与抛物线2=y ．
13．如果过两点)0,(a A 和),0(a B
2，1）．
______．
15px y 22=上，△ABC 的重心与此抛物
F 的坐标；
M 的坐标；
.
16x+y=0对称的相异两点，求a 的取值范围. 17L 交抛物线A 、B 两点，再以AF 、BF 为邻边
R 的轨迹方程.
18．已知抛物线C ：27
42++=x x y ，过C 上一点M ，且与M 处的切线垂直的直线称为C 在点M 的
法线．
（1）若C 在点M 的法线的斜率为21
-，求点M 的坐标（x0，y0）；
（2）设P （－2，a ）为C 对称轴上的一点，在C 上是否存在点，使得C 在该点的法线通过点P ？
若有，求出这些点，以及C 在这些点的法线方程；若没有，请说明理由.
选修1-1第2章圆锥曲线与方程
§2.5圆锥曲线单元测试
1)如果实数y x ,满足等式
3)2(22=+-y x ，那么x y
的最大值是（） A 、21
B 、33
C 、23
D 、3
2)若直线01)1(=+++y x a 与圆
0222=-+x y x 相切，则a 的值为（） A 、1,1-B 、2,2-C 、1D 、1-
3)已知椭圆1252
22=+y a
x )5(>a 的两个焦点为1F 、2的周（A ）10（B ）20（4)椭圆1361002
2=+y x 上的点P
（A ）15（B ）5)椭圆1252
2=+y x
022=-+y 的最大距离是（）
C ）22（
D ）10
2的双曲线方程是（）
（B ）
222=-x y （D ）222=-y x 或
222=-x y 8)双曲线916右支点上的一点P 到右焦点的距离为2，则P 点到左准线的距离为（）
（A ）6（B ）8（C ）10（D ）12
9)过双曲线
822=-y x 的右焦点F2有一条弦PQ ，|PQ|=7,F1是左焦点，那么△F1PQ 的周长为（） （A ）28（B ）2814-（C ）2814+（D ）28
10)双曲线虚轴上的一个端点为M,两个焦点为F1、F2，︒=∠12021MF F ，则双曲线的离心率为（）
（A ）3（B ）26（C ）36
（D ）33
11)过抛物线2y ax =(a>0)的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别为p 、
q ，则
11p q +等于（） （A ）2a （B ）12a （C ）4a （D ）4
a
12)如果椭圆19362
2=+y x 的弦被点(4，2)
（A ）02=-y x （B ）042=-+y x （13)与椭圆22
143x y +=14）离心率
35
=e 15
垂直。

16)y 轴垂直，若l 被抛物线截得的线段长为4，则a=。

17)（22，0），长轴长6，设直线2+=x y 交椭圆
AB 的中点坐标。

514，求双曲线方程.
19)R)的距离的最小值记为)(a f ，求)(a f 的表达式. 20)求两条渐近线为02=±y x 且截直线03=--y x 所得弦长为33
8的双曲线方程.
21）已知直线y=ax+1与双曲线3x2-y2=1交于A 、B 两点，（1）若以AB 线段为直径的圆过坐标原点，求实数a 的值。

（2）是否存在这样的实数a ，使A 、B 两点关于直线
12y x =对称？说明理由.
参考答案
第2章圆锥曲线与方程
§2.1-2椭圆
经典例题：[解析]：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，,54=e 由焦半径公式有a －ex1+a －ex2=a 58，
∴x1+x2=a 21，
即AB 中点横坐标为a 41，又左准线方程为a x 45-=，∴234541=+a a ，即a=1，∴椭圆方程为x2+925
y2=1．
当堂练习： 1.D;2.D;3.D;4.A;5.A;6.D;7.B;8.D;9.C;10.D;11.1273622=+x y ;12.1101522=+y x ;13.]13,13[-;14.54;
12222=+b y a x 0)1(2)(222222=-+-+⇒b a x a x b a ，,2,0222
21b a a x x +=+∴>∆
222221)
1(b a b a x x +-=代入①化简得21122=+b a .
(2),3221211311222222222
≤≤⇒≤-≤∴-==a b a b a b a c e 又由（1）知12222-=a a b
26252345321212122≤≤⇒≤≤⇒≤-≤∴a a a ，∴长轴2a ∈[6,5].
18．[解析]：设动点M(x ，y)，动直线L ：y=x+m ，并设P(x1，y1)，Q(x2，y2)是方程组⎩⎨⎧=-++=042,22y x m x y 的解，消去y ，得3x2+4mx+2m2－4=0，其中Δ=16m2－12(2m2－4)>0，∴－6<m<6，且x1+x2=－3m 4，x1x2=34
m 22-，又∵|MP|=2|x －x1|，|MQ|=2|x －x2|．由|MP||MQ|=2，得|x －x1||x －x2|=1，
也即
|x2－(x1+x2)x+x1x2|=1，于是有
3423422
=-++m mx x
－4=3，
得椭圆17272
2=+x x 夹在直线6±=x y §2.3经典例题：[解析]：联立方程组⎩⎨⎧=-+=222y x b kx y 当212≠-k －1)(2b2+1)＞0，
12222+<⇒b k 对所有实数b 恒成，得2222<<-k .
47;12.14522=-x y ;13.64;14.0543=-+y x ;
15，∵双曲线有一个焦点为（4，0），0>∴λ 双曲线方程化为：25
48161691169222=⇒=+⇒=-λλ
λλλy x ，
∴双曲线方程为：125144
2525622=-y x ∴455164==e ．
16．[解析]：易知2,2,===e a c a b ，准线方程：
2a x ±=，设()y x P ,，
①
②
则)2(21a
x PF +=，)2(22a
x PF -=，22y x PO +=，2222212)2(2a x a x PF PF -=-=⋅∴ 222222)(PO y x a x x =+=-+=21PF PO PF 、、∴成等比数列.
17．[解析]：(1)∵x2－y2＝1，∴c ＝.设|PF1|＋|PF2|＝2a(常数a ＞0)，2a ＞2c ＝2，∴a ＞
由余弦定理有cos ∠F1PF2＝＝＝－1
∵|PF1||PF2|≤()2＝a2，∴当且仅当|PF1|＝|PF2|时，|PF1||PF2|取得最大值a2.
此时cos ∠F1PF2取得最小值－1，由题意－1＝－，解得a2＝3，123222=-=-=∴c a b
∴P 点的轨迹方程为＋y2＝1.
(2)设l ：y ＝kx ＋m(k ≠0)，则由，⎪⎩⎪⎨⎧+==+m kx y y x 1322
＝0(*) 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB 即Q(－) ∵|MA|＝|MB|∴klkAB ＝k·＝－1，解得m ＝…即(6km)2－4(1＋3k2)[3(m2－1)]＝12[1＋3k2－()2]＞0，解得－1＜k ＜1，由k 1).
18．[解析]：以接报中心为原点O A 、B 、
C 分别是西、东、北观测点，则A （－设P （x,y ）为巨响为生点，由A 、C PO
，
|PB|>|PA|,,5680,5680
=-=∴y x (P 即45°距中心m 10680处.
481212-==
x y x y 得2411-=-=y x 或4822==y x 即A(－4,－2),B(8,4),从而AB 的中点为M(2,1).由kAB==21
,直线AB 的垂直平分线方程
y －1=21
(x －2).令y=－5,得x=5,∴Q(5,－5)．
(2)直线OQ 的方程为x+y=0,设P(x,81
x2－4).∵点P 到直线OQ 的距离
d=248
12-+x x =3282812-+x x ,25=OQ ,∴SΔOPQ=21d OQ =3281652-+x x .
∵P 为抛物线上位于线段AB 下方的点,且P 不在直线OQ 上,∴－4≤x<43－4或43－4<x≤8. ∵函数y=x2+8x －32在区间[－4,8]上单调递增,∴当x=8时,ΔOPQ 的面积取到最大值30．
当堂练习： 1.C;2.D;3.A;4.B;5.B;6.A;7.C;8.B;9.C;10.D;11.)42,81(±;12.2;13.)413,(--∞;14.（2），（5）;
15．[解析]：（1）由点A （2，8）在抛物线px y 22=上，有2282⋅=p ，
解得p=16.所以抛物线方程为x y 322=，焦点F 的坐标为（8，0）.
（2）如图，由于F （8，0）是△ABC 的
定比分点，且2=FM AF 的坐标为),(00y x ，则
02128,8212200=++=++y x 4,110-=y ，
所以点M ，－4）．
（3）由于线段BC 的中点轴上，所以BC 所在
的直线不垂直于x 轴.设BC 所在直线的方程为：).0)(11(4≠-=+k x k y ⎨⎧=-=+x y x k y 32),11(420)411(32=+k ，
4-=，解得.4-=k
.0404=-+y x
16．[x+y=0对称的相异两点为P(x,y),Q(－y,－x)，则
⎪⎩⎪⎨⎧-y ∵P 、Q 为相异两点，∴x+y≠0，又a≠0，
∴
-y x ，其判别式△=a2－4a2(1－a)＞0，解得
43>a ． 17．[的中心为)21,2(+y x C ，L:y=kx －1,代入抛物线方程得x2－4kx+4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4k,x1x2=4，且△=16k2－16＞0，即|k|＞1①，
2442)(4221221222121-=-+=+=+∴k x x x x x x y y ，∵C 为AB 的中点.
∴1222122
222222-=+=+=+=k y y y k x x x
3
4
4
2-
=
=
k
y
k
x
，消去k得x2=4(y+3),由①得，4
>
x，故动点R的轨迹方程为x2=4(y+3)(4
>
x)．18．[解析]：（1）由题意设过点M的切线方程为：m
x
y+
=2，代入C得0
)
2
7
(
2
2=
-
+
+m
x
x
，则2
5
)
2
7
(4
4=
⇒
=
-
-
=
∆m
m
，2
1
2
5
2
,1
=
+
-
=
-
=
∴y
x
，即M（－1，2
1
）．
（2）当a＞0时，假设在C上存在点)
,
(1
1
y
x
Q满足条件．设过Q的切线方程为：n
kx
y+
=，代入且
当a≤0x＝－2.
17.解:由已知条件得椭圆的焦点在x轴上,其中c=2
2,a=3,从而b=1,所以其标准方程是:
2
21
9
x
y
+=
.联立方程组
2
21
9
2
x
y
y x
⎧
+=
⎪
⎨
⎪=+
⎩,消去y得,2
1036270
x x
++=.
设A(11
,x y),B(
22
,
x y),AB线段的中点为M(
00
,
x y)那么:12
18
5
x x
+=-
,0x=
12
9
25
x x
+
=
所以0y=0x+2=1 5.
也就是说线段AB中点坐标为(-9
5,
1
5).
18.解:由于椭圆焦点为F(0,±4),离心率为e=4
5,所以双曲线的焦点为F(0,±4),离心率为2,
从而
>那么：
==
解得:λ=4,所以，所求双曲线方程是：
2
21
4
x
y
-=
21.解：（1）联立方程
22
3x-y=1
1
y ax
⎧
⎨
=+
⎩，消去y得：（3-a2）x2-2ax-2=0.
设A(11,x y ),B(22,
x y ),那么：122
122222323(2)8(3)0a x x a x x a a a ⎧+=⎪-⎪⎪=-⎨-⎪∆=+->⎪⎪⎩ 由于以AB 线段为直径的圆经过原点，那么：OA OB ⊥，即12120x x y y +=。

所以：1212(1)(1)0x x ax ax +++=，得到：
222222(1)10,633a a a a a a -+⨯+⨯+=<--，解得a=1± (2)假定存在这样的a ，使A(11,x y
22,x y 12y x =那么：221122223x -y =13x -y =1⎧⎨⎩，两式相减得：213(x
因为A(11,x y ),B(22,x y )关于直线y 代入（*。