2017-2018学年数学人教A版选修4-5优化练习：第四讲 一 数学归纳法 Word版含解析

[课时作业] [A 组 基础巩固]
1．用数学归纳法证明当n ∈N ＋时，1＋2＋22＋…＋25n －1是31的倍数时， 当n ＝1时原式为( ) A ．1 B ．1＋2
C ．1＋2＋3＋4
D ．1＋2＋22＋23＋24
解析：左边＝1＋2＋22＋…＋25n －1，所以n ＝1时，应为1＋2＋…＋25×1－1＝ 1＋2＋22＋23＋24. 答案：D
2．记凸k 边形的内角和为f (k )，则凸k ＋1边形的内角和f (k ＋1)＝f (k )＋( ) A.π2 B ．π C ．2π D ．3
2π
答案：B
3．已知f (n )＝(2n ＋7)·3n ＋9，存在自然数m ，使得对任意n ∈N ＋，都能使m 整除f (n )，则最大的m 的值为( ) A ．30 B ．26 C ．36
D ．6 解析：f (1)＝36，f (2)＝108＝3×36，f (3)＝360＝10×36，易知f (n )能被36整除，且36为m 的最大值． 答案：C
4．某同学回答“用数学归纳法证明n 2＋n <n ＋1(n ∈N ＋)”的过程如下： 证明：(1)当n ＝1时，显然命题是正确的；
(2)假设n ＝k 时有k (k ＋1)<k ＋1，那么当n ＝k ＋1时，(k ＋1)2＋(k ＋1)＝k 2＋3k ＋2<k 2＋4k ＋4＝(k ＋1)＋1，所以当n ＝k ＋1时命题是正确的．由(1)、(2)可知对于n ∈N ＋，命题都是正确的．以上证法是错误的，错误在于( ) A ．从k 到k ＋1的推理过程没有使用归纳假设 B ．归纳假设的写法不正确
C ．从k 到k ＋1的推理不严密
D ．当n ＝1时，验证过程不具体 解析：证明(k ＋1)2＋(k ＋1)<(k ＋1)＋1时进行了一般意义的放大．而没有使用归纳假设k (k ＋1)<k ＋1.
答案：A
5．用数学归纳法证明： 1－12＋13－1
4＋…＋
12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2
＋…＋12n (n ∈N ＋)， 则从n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边所要添加的项是( ) A.1
2k ＋1 B ．
12k ＋2－12k ＋4 C ．－1
2k ＋1
D ．
12k ＋1－12k ＋2
解析：∵当n ＝k 时，左边＝1－12＋13－14＋…＋12k －1
－1
2k ，
当n ＝k ＋1时，左边＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－1
2k ＋2，
∴由n ＝k 到n ＝k ＋1左边增加了12k ＋1
－
12k ＋2
.
答案：D
6．用数学归纳法证明22
＋32
＋…＋n 2
＝n (n ＋1)(2n ＋1)
6
－1(n ∈N ＋，n >1)时，第一
步应验证n ＝________时，命题成立，当n ＝k ＋1时左边的式子为________． 解析：由于n >1，
∴第一步应验证n ＝2时，命题成立，
当n ＝k ＋1时，左边的式子应为22＋32＋…＋k 2＋(k ＋1)2. 答案：2 22＋32＋…＋k 2＋(k ＋1)2
7．用数学归纳法证明“5n －2n 能被3整除”的第二步中，当n ＝k ＋1时，为了使用归纳假设应将5k ＋1－2k ＋1变形为________．
解析：假设当n ＝k 时，5k －2k 能被3整除， 则n ＝k ＋1时，5k ＋1－2k ＋1＝5(5k －2k )＋3·2k 由假设知5k －2k 能被3整除，3·2k 能被3整除． 故5·(5k －2k )＋3·2k 能被3整除． 答案：5·(5k －2k )＋3·2k
8．设平面内有n 条直线(n ≥2)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f (n )表示这n 条直线交点的个数，则f (4)＝________；当n >4时，f (n )＝________(用n 表示)．
解析：f (2)＝0，f (3)＝2，f (4)＝5，f (5)＝9，每增加一条直线，交点增加的个数等于原来直线的条数．
所以f (3)－f (2)＝2，f (4)－f (3)＝3，f (5)－f (4)＝4，…，
f (n )－f (n －1)＝n －1.累加，得f (n )－f (2)＝2＋3＋4＋…＋(n －1)＝ 2＋(n －1)
2(n －2)． 所以f (n )＝1
2(n ＋1)(n －2)． 答案：5 1
2(n ＋1)(n －2)
9．用数学归纳法证明：1＋4＋7＋…＋(3n －2) ＝1
2n (3n －1)(n ∈N ＋)．
证明：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝1， ∴当n ＝1时命题成立．
(2)假设当n ＝k (k ∈N ＋，k ≥1)时命题成立， 即1＋4＋7＋…＋(3k －2)＝1
2k (3k －1)．
当n ＝k ＋1时，1＋4＋7＋…＋(3k －2)＋[3(k ＋1)－2]
＝1
2k (3k －1)＋(3k ＋1)
＝12(3k 2＋5k ＋2)＝1
2(k ＋1)(3k ＋2) ＝1
2(k ＋1)[3(k ＋1)－1] 即当n ＝k ＋1时命题成立．
综上(1)(2)知，对于任意n ∈N ＋原命题成立． 10．证明对任意正整数n,34n ＋2＋52n ＋1能被14整除．
证明：(1)当n ＝1时，34n ＋2＋52n ＋1＝36＋53＝854＝14×61能被14整除，命题成立．
(2)假设当n ＝k 时命题成立，即34k ＋2＋52k ＋1能被14整除， 那么当n ＝k ＋1时，
34(k ＋1)＋2＋52(k ＋1)＋1＝34k ＋2×34＋52k ＋1×52 ＝34k ＋2×34＋52k ＋1×34－52k ＋1×34＋52k ＋1×52 ＝34(34k ＋2＋52k ＋1)－52k ＋1(34－52) ＝34(34k ＋2＋52k ＋1)－56×52k ＋1，
因34k ＋2＋52k ＋1能被14整除，56也能被14整除，所以34(k ＋1)＋2＋52(k ＋1)＋1能被14整除，故命题成立．
由(1)(2)知，命题对任意正整数n 都成立．
[B 组 能力提升]
1．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N *)”的过程中，第二步假设n ＝k 时等式成立，则当n ＝k ＋1时应得到( ) A ．1＋2＋22＋…＋2k －2＋2k ＋1＝2k ＋1－1 B ．1＋2＋22＋…＋2k ＋2k ＋1＝2k －1＋2k ＋1 C ．1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＋1＝2k ＋1－1
D ．1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝2k ＋1－1
解析：由条件知，左边是从20,21一直到2n －1都是连续的，因此当n ＝k ＋1时，左边应为1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ，而右边应为2k ＋1－1. 答案：D
2．k 棱柱有f (k )个对角面，则k ＋1棱柱的对角面个数f (k ＋1)为( ) A ．f (k )＋k ＋1 B ．f (k )＋k C ．f (k )＋k －1
D ．f (k )＋k －2
解析：当k 棱柱变为k ＋1棱柱时，新增的一条棱与和它不相邻的k －1条棱确定k －2个对角面，而原来的一个侧面变为对角面，所以共增加k －1个对角面． 答案：C
3．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12
＝
n (2n 2＋1)3
时，由n ＝k 的假设到证明n ＝k ＋1时，等式左边应添加的式子是________．
解析：n ＝k 时等式为12＋22＋…＋(k －1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12
＝k (2k 2＋1)3
，
n ＝k ＋1时等式为12＋22＋…＋(k －1)2＋k 2＋(k ＋1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12＝(k ＋1)[2(k ＋1)2＋1]
3
.
∴n ＝k ＋1时等式左边比n ＝k 时等式左边增加了k 2＋(k ＋1)2. 答案：k 2＋(k ＋1)2(或2k 2＋2k ＋1)
4．设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋2，用数学归纳法证明a n ＝4·2n －1－2的第二步中，设n ＝k 时结论成立，即a k ＝4·2k －1－2，那么当n ＝k ＋1时，________. 解析：当n ＝k ＋1时，把a k 代入，要将4·2k －2变形为4·2(k ＋1)－1－2的形式． 即a k ＋1＝2a k ＋2＝2(4·2k －1－2)＋2＝4·2k －2＝4·2(k ＋1)－1－2 答案：a k ＋1＝4·2(k ＋1)－1－2
5．求证：凸n 边形对角线条数f (n )＝n (n －3)
2(n ∈N ＋，n ≥3)． 证明： (1)当n ＝3时，f (3)＝0，三角形没有对角线，命题成立．
(2)假设n ＝k (k ∈N ＋，k ≥3)时命题成立，即凸k 边形对角线条数f (k )＝k (k －3)
2. 将凸k 边形A 1A 2…A k 在其外面增加一个新顶点A k ＋1，得到凸k ＋1边形A 1A 2……A k A k ＋1，A k ＋1依次与A 2，A 3，…A k －1相连得到对角线k －2条，原凸k 边形的边A 1A k 变成了凸k ＋1边形的一条对角线，则凸k ＋1边形的对角线条数为：f (k )＋k －2＋1＝k (k －3)2＋k －1＝(k ＋1)(k －2)2＝(k ＋1)[(k ＋1)－3]
2＝f (k ＋1)．
即当n ＝k ＋1时，结论正确．
根据(1)(2)可知，命题对任何n ∈N ＋，n ≥3都成立．
6．是否存在常数a 、b 、c 使等式12＋22＋32＋…＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝ an (bn 2＋c )对于一切n ∈N *都成立？若存在，求出a 、b 、c 并证明；若不存在，试说明理由．
解析：假设存在a 、b 、c 使12＋22＋32＋…＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝ an (bn 2＋c )对于一切n ∈N *都成立． 当n ＝1时，a (b ＋c )＝1； 当n ＝2时，2a (4b ＋c )＝6； 当n ＝3时，3a (9b ＋c )＝19.
解方程组⎩⎪⎨⎪
⎧
a (
b ＋
c )＝1，
a (4
b ＋
c )＝3，
3a (9b ＋c )＝19，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＝13，
b ＝2，
c ＝1.
证明如下：
①当n ＝1时，由以上知等式成立． ②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立，
即12＋22＋32＋…＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12＝1
3k (2k 2＋1)；
当n ＝k ＋1时，
12＋22＋32＋…＋k 2＋(k ＋1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12 ＝1
3k (2k 2＋1)＋(k ＋1)2＋k 2 ＝1
3k (2k 2＋3k ＋1)＋(k ＋1)2 ＝1
3k (2k ＋1)(k ＋1)＋(k ＋1)2 ＝1
3(k ＋1)(2k 2＋4k ＋3) ＝1
3(k ＋1)[2(k ＋1)2＋1]． 即当n ＝k ＋1时，等式成立．
因此存在a ＝1
3，b ＝2，c ＝1使等式对一切n ∈N *都成立．。