人教版中考压轴题汇编 2.2 由面积产生的函数关系问题

平行线交 AC 于点 D．设 AE 的长为 m，△ADE 的面积为 s，求 s 关于 m 的函数关系式，并 写出自变量 m 的取值范围；
（3）在（2）的条件下，联结 CE，求△CDE 面积的最大值；此时，求出以点 E 为圆心， 与 BC 相切的圆的面积（结果保留π）．
图1
例 5 2017 河北省中考第 26 题
（1）用含 x，m 或 n 的代数式表示 S△ABD 及 S△CBD； （2）求(m＋n)与 x 的函数关系式，并求(m＋n)的最大值和最小值； （3）对给定的一个 x 值，有时只能确定唯一的点 D，指出这样的 x 的取值范围． 发现 请你确定一条直线，使得 A、B、C 三点到这条直线的距离之和最小（不必写出 过程），并写出这个最小值．
函数解析式，并直接写出函数的定义域； （2）若⊙P 被直线 BC 和直线 AC 截得的弦长相等，求 AP 的长；
（3）若⊙C 的半径等于 1，且⊙P 与⊙C 的公共弦长为 2 ，求 AP 的长．
图1
备用图
例 2 2017 黄冈市中考第 25 题
如图 1，在四边形 OABC 中，AB//OC，BC⊥x 轴于点 C，A(1,－1)，B(3,－1)，动点 P 从 O 出发，沿着 x 轴正方向以每秒 2 个单位长度的速度移动．过点 P 作 PQ 垂直于直线 OA， 垂足为 Q．设点 P 移动的时间为 t 秒（0＜t＜2），△OPQ 与四边形 OABC 重叠部分的面积为 S．
的图像与 y 轴、x 轴的交点，点 B 在二次函数 y 1 x2 bx c 的图像上，且该二次函数图 8
像上存在一点 D 使四边形 ABCD 能构成平行四边形． （1）试求 b、c 的值，并写出该二次函数的解析式； （2）动点 P 从 A 到 D，同时动点 Q 从 C 到 A 都以每秒 1 个单位的速度运动，问： ①当 P 运动到何处时，由 PQ⊥AC？ ②当 P 运动到何处时，四边形 PDCQ 的面积最小？此时四边形 PDCQ 的面积是多少？
（1）当 t＝1 时，正方形 EFGH 的边长是________；当 t＝3 时，正方形 EFGH 的边长 是________；
（2）当 1＜t≤2 时，求 S 与 t 的函数关系式； （3）直接答出：在整个运动过程中，当 t 为何值时，S 最大？最大面积是多少？
图1
2.2 由面积产生的函数关系问题答案
由 S△ABC＝S△ACP＋S△BCP，得 AC·BC＝m(AC＋BC)．所以 m＝ 4 4 15 ＝ 30 2 15 ．
4+4 15
7
此时 AE＝ 4 30 2 15 ＝ 2 15 2 ，AP＝4AE＝ 8 15 8 ．
7
7
7
图2
图3
（3）如图 4，设⊙C 与⊙P 的公共弦为 MN，MN 与 CP 交于点 G．
满分解答
（1）由 A(1,－1)、B(3,－1)，可知抛物线的对称轴为直线 x＝1，点 O 关于直线 x＝1 的
对称点为(4,0)．
于是可设抛物线的解析式为 y＝ax(x－4)，代入点 A(1,－1)，得－3a＝－1．
解得 a 1 ．所以 y 1 x(x 4) 1 (x 2)2 4 ．顶点 M 的坐标为 (2, 4) ．
4
4
4
4
所以 y＝S△PCD＝ 1 CD PE ＝ 1 (4 1 x) 15 x ＝ 15 x2 15 x ．
2
22 4
16
2
定义域是 0＜x＜8． （2）若⊙P 被直线 BC 和直线 AC 截得的弦长相等，那么对应的弦心距 PF＝PE． 因此四边形 AEPF 是正方形（如图 3），设正方形的边长为 m．
此时 S＝ 1 (2t 2t 2) 1 2t 1 ． 2
图4
图5
③如图 6，当 1.5＜t＜2 时，重叠部分是五边形 OCEFA．
此时 CE＝CP＝2t－3．所以 BE＝BF＝1－(2t－3)＝4－2t．
所以 S＝ 1 (3 2) 1 1 (4 2t)2 2t2 8t 11 ．
2
2
图1
图2
例 6 2017 淮安市中考第 28 题
如图 1，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点 P 在 AB 上，AP＝2．点 E、 F 同时从点 P 出发，分别沿 PA、PB 以每秒 1 个单位长度的速度向点 A、B 匀速运动，点 E 到达点 A 后立刻以原速度沿 AB 向点 B 运动，点 F 运动到点 B 时停止，点 E 也随之停止．在 点 E、F 运动过程中，以 EF 为边作正方形 EFGH，使它与△ABC 在线段 AB 的同侧．设 E、 F 运动的时间为 t 秒(t＞0)，正方形 EFGH 与△ABC 重叠部分的面积为 S．
2.2 由面积产生的函数关系问题
例 1 2018 上海市徐汇区中考模拟第 25 题
如图 1，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝4，cosA＝ 1 ，点 P 是边 AB 上的动点， 4
以 PA 为半径作⊙P． （1）若⊙P 与 AC 边的另一个交点为 D，设 AP＝x，△PCD 的面积为 y，求 y 关于 x 的
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“14 黄冈 25”，拖动点 P 从 O 开始向右运动，可以体验到，重 叠部分的形状依次为等腰直角三角形、等腰梯形和五边形．点 O′和点 Q′各有一次机会落在 抛物线上．
思路点拨
1．△OPQ 在旋转前后保持等腰直角三角形的形状． 2．试探取不同位置的点 P，观察重叠部分的形状，要分三种情况讨论．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“13 菏泽 21”，拖动点 P 由 A 向 D 运动，观察 S 随 P 变化的图 像，可以体验到，当 S 最小时，点 Q 恰好是 AC 的中点．
请打开超级画板文件名“13 菏泽 21”，拖动点 P 由 A 向 D 运动，观察 S 随 P 变化的图 像，可以体验到，当 S 最小时，点 Q 恰好是 AC 的中点．
图1
例 3 2017 菏泽市中考第 21 题
如图 1， △ABC 是以 BC 为底边的等腰三角形，点 A、C 分别是一次函数 y 3 x 3 4
的图像与 y 轴、x 轴的交点，点 B 在二次函数 y 1 x2 bx c 的图像上，且该二次函数图 8
像上存在一点 D 使四边形 ABCD 能构成平行四边形． （1）试求 b、c 的值，并写出该二次函数的解析式； （2）动点 P 从 A 到 D，同时动点 Q 从 C 到 A 都以每秒 1 个单位的速度运动，问： 何处时，四边形 PDCQ 的面积最小？此时四边形 PDCQ 的面积是多少？
由于 CM＝CN＝1，MN＝ 2 ，所以△CMN 是等腰直角三角形，CG＝NG＝ 2 ． 2
如图 5，作 CH⊥AB 于 H，由 AC＝4，那么 AH＝1，CH2＝15．
所以 CP＝ CH 2 PH 2 ＝ 15 (x 1)2 ．因此 PG＝ 15 (x 1)2 2 （如图 4）． 2
如图 4，在 Rt△PNG 中，由勾股定理，得 x2 ( 15 ( x 1)2 2 )2 ( 2 )2．
2
2
整理，得
2x2－64x＋257＝0．解得
x1
32
2
510
，
x2
32+ 510 2
（舍去）．
图4
图5
考点伸展
第（2）题也可以这样计算：由于 PF＝ 1 BP＝ 1 (16 x) ，由 PE＝PF，得
4
4
15 x 1 (16 x) ．解得 x 8 15 8 ．
44
7
例 2 2017 黄冈市中考第 25 题
2
图6
考点伸展
在本题情景下，重叠部分的周长 l 与 t 之间有怎样的函数关系？ 如图 4， l (2 2 2)t ．如图 5， l 4t 2 2 2 ．
如图 6， l (4 2 2)t 5 2 2 ．
例 3 2017 菏泽市中考第 21 题
如图 1， △ABC 是以 BC 为底边的等腰三角形，点 A、C 分别是一次函数 y 3 x 3 4
（1）求经过 O、A、B 三点的抛物线的解析式，并确定顶点 M 的坐标； （2）用含 t 的代数式表示点 P、Q 的坐标； （3）如果将△OPQ 绕着点 P 按逆时针方向旋转 90°，是否存在 t，使得△OPQ 的顶点 O 或 Q 在抛物线上？若存在，请求出 t 的值；若不存在，请说明理由； （4）求出 S 与 t 的函数关系式．
（1）求经过 O、A、B 三点的抛物线的解析式，并确定顶点 M 的坐标； （2）用含 t 的代数式表示点 P、Q 的坐标； （3）如果将△OPQ 绕着点 P 按逆时针方向旋转 90°，是否存在 t，使得△OPQ 的顶点 O 或 Q 在抛物线上？若存在，请求出 t 的值；若不存在，请说明理由； （4）求出 S 与 t 的函数关系式．
例 1 2018 上海市徐汇区中考模拟第 25 题
如图 1，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝4，cosA＝ 1 ，点 P 是边 AB 上的动点， 4
以 PA 为半径作⊙P． （1）若⊙P 与 AC 边的另一个交点为 D，设 AP＝x，△PCD 的面积为 y，求 y 关于 x 的
函数解析式，并直接写出函数的定义域； （2）若⊙P 被直线 BC 和直线 AC 截得的弦长相等，求 AP 的长；
图1
例 4 2017 广东省中考第 22 题
如图 1，抛物线 y 1 x2 3 x 9 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，联结 BC、 22
AC． （1）求 AB 和 OC 的长； （2）点 E 从点 A 出发，沿 x 轴向点 B 运动（点 E 与点 A、B 不重合），过点 E 作 BC 的
（3）若⊙C 的半径等于 1，且⊙P 与⊙C 的公共弦长为 2 ，求 AP 的长．
图1
备用图
动感体验
请打开几何画板文件名“15 徐汇 25”，拖动点 P 在 AB 上运动，观察 MN 的度量值，可 以体验到，MN≈1.41 的时刻只有一个，MN 与圆心距 CP 相交．
思路点拨
1．△PCD 的底边 CD 上的高，就是弦 AD 对应的弦心距． 2．若⊙P 被直线 BC 和直线 AC 截得的弦长相等，那么对应的弦心距相等．
3．⊙C 的半径等于 1，公共弦 MN＝ 2 ，那么△CMN 是等腰直角三角形．在四边形 CMPN 中，利用勾股定理列关于 x（⊙P 的半径）的方程．
满分解答
（1）如图 2，在 Rt△ABC 中， AC＝4，cosA＝ 1 ，所以 AB＝16，BC＝ 4 15 ． 4
设弦 AD 对应的弦心距为 PE，那么 AE＝ 1 AP＝ 1 x，PE＝ 15 AP＝ 15 x．
3
3
3
3
3
（2）△OPQ 是等腰直角三角形，P(2t, 0)，Q(t,－t)．
（3）旋转后，点 O′的坐标为(2t,－2t)，点 Q′的坐标为(3t,－t)．
将 O′(2t,－2t)代入 y 1 x(x 4) ，得 2t 1 2t(2t 4) ．解得 t 1 ．
3
3
2
将 Q′(3t,－t)代入 y 1 x(x 4) ，得 t 1 3t(3t 4) ．解得 t＝1．
如图 1，在四边形 OABC 中，AB//OC，BC⊥x 轴于点 C，A(1,－1)，B(3,－1)，动点 P 从 O 出发，沿着 x 轴正方向以每秒 2 个单位长度的速度移动．过点 P 作 PQ 垂直于直线 OA， 垂足为 Q．设点 P 移动的时间为 t 秒（0＜t＜2），△OPQ 与四边形 OABC 重叠部分的面积为 S．
3
3
因此，当 t 1 时，点 O′落在抛物线上（如图 2）；当 t＝1 时，点 Q′落在抛物线上（如 2
图 3）．
图2
图3
（4）①如图 4，当 0＜t≤1 时，重叠部分是等腰直角三角形 OPQ．此时 S＝t2．
②如图 5，当 1＜t≤1.5 时，重叠部分是等腰梯形 OPFA．此时 AF＝2t－2．
如图 1，图 2，在△ABC 中，AB＝13，BC＝14， cos ABC 5 ． 13
探究 如图 1，AH⊥BC 于点 H，则 AH＝_____，AC＝______，△ABC 的面积 S△ABC＝ ________．
拓展 如图 2，点 D 在 AC 上（可与点 A、C 重合），分别过点 A、C 作直线 BD 的垂线， 垂足为 E、F．设 BD＝x，AE＝m，CF＝n．（当点 D 与点 A 重合时，我们认为 S△ABD＝0）