广东省佛山市高考数学一模试卷 文(含解析)

广东省佛山市2015届高考数学一模试卷（文科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）复数等于（）
A．1+2i B．1﹣2i C．2﹣i D．2+i
2．（5分）已知集合M={x∈R|0＜x＜2}，N={x∈R|x＞1}，则M∩（∁R N）=（）
A．[1，2）B．（1，2）C．[0，1）D．（0，1]
3．（5分）若函数y=的图象关于原点对称，则实数a等于（）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
4．（5分）已知x，y满足不等式组，则目标函数z=3x+y的最大值为（）
A．12 B．24 C．8 D．
5．（5分）已知两个单位向量的夹角为45°，且满足⊥（λ﹣），则实数λ的值为（）
A．1 B．C．D．2
6．（5分）在空间中，有如下四个命题：
①平行于同一个平面的两条直线是平行直线；
②垂直于同一条直线的两个平面是平行平面；
③若平面α内有不共线的三个点到平面β距离相等，则α∥β；
④过平面α的一条斜线有且只有一个平面与平面α垂直．
其中正确的两个命题是（）
A．①、③B．②、④C．①、④D．②、③
7．（5分）某校2015届高三年级学生会主席团有共有5名同学组成，其中有3名同学来自同一班级，另外两名同学来自另两个不同班级．现从中随机选出两名同学参加会议，则两名选出的同学来自不同班级的概率为（）
A．0.35 B．0.4 C．0.6 D．0.7
8．（5分）已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与该双曲线的右支
交于A、B两点，若|AB|=5，则△ABF1的周长为（）
A．16 B．20 C．21 D．26
9．（5分）已知f（x）=x﹣x2，且a，b∈R，则“a＞b＞1”是“f（a）＜f（b）”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
10．（5分）有10个乒乓球，将它们任意分成两堆，求出这两堆乒乓球个数的乘积，再将每堆乒乓球任意分成两堆并求出这两堆乒乓球个数的乘积，如此下去，直到不能再分为止，则所有乘积的和为（）
A．45 B．55 C．90 D．100
二、填空题：本大共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分．（一）必做题（11～13题）
11．（5分）如果f（x）=，那么f[f（2）]=．
12．（5分）已知点A（﹣2，0），B（0，4）到直线l：x+my﹣1=0的距离相等，则m的值为．
13．（5分）如图，为了测量河对岸A、B两点之间的距离，观察者找到一个点C，从C点可以观察到点A、B；找到一个点D，从D点可以观察到点A、C；找到一个点E，从E点可以观察到点B、C；并测量得到一些数据：CD=2，CE=2，∠D=45°，∠ACD=105°，∠ACB=48.19°，
∠BCE=75°，∠E=60°，则A、B两点之间的距离为．（其中cos48.19°取近似值）
三、几何证明选讲
14．（5分）如图，P是圆O外一点，PA，PB是圆O的两条切线，切点分别为A，B，PA中点为M，过M作圆O的一条割线交圆O于C，D两点，若PB=2，MC=1，则CD=．
四、坐标系与参数方程
15．在极坐标系中，曲线C1：ρ（cosθ+sinθ）=1与曲线C2：ρ=a（a＞0）的一个交点在极轴上，则a=．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）已知函数f（x）=sin（ωx﹣）（ω＞0，x∈R）的最小正周期为π．
（1）求f（）．
（2）在图3给定的平面直角坐标系中，画出函数y=f（x）在区间[﹣，]上的图象，并根据图象写出其在（﹣，）上的单调递减区间．
17．（12分）某地区“腾笼换鸟”的政策促进了区内环境改善和产业转型，空气质量也有所改观，现从当地天气网站上收集该地区近两年11月份（30天）的空气质量指数（AQI）（单位：μg/m3）资料如下：（图1和表1）
2014年11月份AQI数据
日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
AQI 89 55 52 87 124 72 65 26 46 48
日期11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
AQI 58 36 63 78 89 97 74 78 90 117
日期21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
AQI 137 139 77 63 63 77 64 65 55 45
表1
2014年11月份AQI数据频率分布表
分组频数频率
[20，40）
[40，60）
[60，80）
[80，100）
[100，120）
[120，140]
表2
（Ⅰ）请填好2014年11月份AQI数据的频率分布表（表2）并完成频率分布直方图（图2）；
（Ⅱ）该地区环保部门2014年12月1日发布的11月份环评报告中声称该地区“比去年同期空气质量的优良率提高了20多个百分点”（当AQI＜100时，空气质量为优良）．试问此人收集到的资料信息是否支持该观点？
18．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是∠ABC=60°的菱形，M为PC的中点．
（Ⅰ）求证：PC⊥AD；
（Ⅱ）在棱PB上是否存在一点Q，使得A，Q，M，D四点共面？若存在，指出点Q的位置并证明；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）求点D到平面PAM的距离．
19．（14分）已知数列{a n}的前n项和为S n，若4S n=（2n﹣1）a n+1+1（n∈N），且a1=1．
（1）求证：数列{a n}为等差数列；
（2）设bn=，数列{b n}的前n项和为T n，证明：T n＜（n∈N）．
20．（14分）已知点M（2，1），N（﹣2，1），直线MP， NP相交于点P，且直线MP的斜率减直线NP的斜率的差为1．设点P的轨迹为曲线E．
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）已知点A（0，1），点C是曲线E上异于原点的任意一点，若以A为圆心，线段AC为半径的圆交y轴负半轴于点B，试判断直线BC与曲线E的位置关系，并证明你的结论．
21．（14分）设函数f（x）=的导函数为f'（x）（a为常数，e=2.71828…是自然对数的
底数）．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）求实数a，使曲线y=f（x）在点（a+2，f（a+2））处的切线斜率为﹣；（Ⅲ）当x≠a时，若不等式||+k|x﹣a|≥1恒成立，求实数k的取值范围．
广东省佛山市2015届高考数学一模试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）复数等于（）
A．1+2i B．1﹣2i C．2﹣i D．2+i
考点：复数代数形式的乘除运算．
专题：数系的扩充和复数．
分析：利用复数的运算法则即可得出．
解答：解：原式===2﹣i，
故选：C．
点评：本题考查了复数的运算法则，属于基础题．
2．（5分）已知集合M={x∈R|0＜x＜2}，N={x∈R|x＞1}，则M∩（∁R N）=（）
A．[1，2）B．（1，2）C．[0，1）D．（0，1]
考点：交、并、补集的混合运算．
专题：集合．
分析：求出N的补集，从而求出其与M的交集．
解答：解：∵集合M={x∈R|0＜x＜2}=（0，2），N={x∈R|x＞1}=（1，+∞）
∴∁R N=（﹣∞，1]
∴M∩∁R N=（（0，2）∩[1，+∞）=（0，1]
故选：D．
点评：本题考查了集合的运算，是一道基础题．
3．（5分）若函数y=的图象关于原点对称，则实数a等于（）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
考点：函数奇偶性的性质；函数的图象．
专题：函数的性质及应用．
分析：根据函数y=的图象关于原点对称，得到函数y=f（x）是R上的奇函数，根据
奇函数的定义求出a的值即可．
解答：解：令y=f（x），
∵函数y=的图象关于原点对称，
∴函数y=f（x）是R上的奇函数，
∴f（﹣x）=
=
=
=﹣=﹣f（x）
=﹣，
∴a=﹣1，
故选：B．
点评：本题考查了函数的奇偶性，是一道基础题．
4．（5分）已知x，y满足不等式组，则目标函数z=3x+y的最大值为（）
A．12 B．24 C．8 D．
考点：简单线性规划．
专题：不等式的解法及应用．
分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的四边形OABC及其内部，再将目标函数z=2x+y对应的直线进行平移，可得当x=4，y=0时，z=3x+y取得最大值为12．
解答：解：作出不等式组表示的平面区域，
得到如图的四边形OABC及其内部，
其中O（0，0），A（4，0），B（，），C（0，8）
设z=F（x，y）=3x+y，将直线l：z=3x+y进行平移，
当l经过点A时，目标函数z达到最大值
∴z最大值=F（4，0）=12
故选：A．
点评：本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=3x+y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．
5．（5分）已知两个单位向量的夹角为45°，且满足⊥（λ﹣），则实数λ
的值为（）
A．1 B．C．D．2
考点：平面向量数量积的运算．
专题：计算题；平面向量及应用．
分析：运用向量的数量积的定义，可得两个单位向量的数量积，再由向量垂直的条件：数量积为0，计算即可得到所求值．
解答：解：由单位向量的夹角为45°，
则•=1×1×cos45°=，
由⊥（λ﹣），
可得，•（λ﹣）=0，
即λ﹣=0，
则﹣1=0，
解得λ=．
故选B．
点评：本题考查平面向量的数量积的坐标定义和性质，考查向量垂直的条件，考查运算能力，属于基础题．
6．（5分）在空间中，有如下四个命题：
①平行于同一个平面的两条直线是平行直线；
②垂直于同一条直线的两个平面是平行平面；
③若平面α内有不共线的三个点到平面β距离相等，则α∥β；
④过平面α的一条斜线有且只有一个平面与平面α垂直．
其中正确的两个命题是（）
A．①、③B．②、④C．①、④D．②、③
考点：平面与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系．
专题：作图题．
分析：我们可以从正方体去观察理解，①从空间两条直线的位置关系判断．②由线面垂直的性质定理判断；③从两平面的位置关系判断；④由射影的条数判断．
解答：解：①平行于同一个平面的两条直线，可能平行，相交或异面．不正确；
②垂直于同一条直线的两个平面是平行平面，由线面垂直的性质定理知正确；
③若平面α内有不共线的三个点到平面β距离相等，可能平行，也可能相交，不正确；
④过平面α的一条斜线有且只有一个平面与平面α垂直．正确，因为一条斜线只有一条射影，只能确定一个平面．
故选B
点评：本题主要考查了两直线的位置关系，两平面的位置关系及线面垂直的性质定理，斜线，垂线，射影等概念，作为客观题要多借助空间几何体来判断．
7．（5分）某校2015届高三年级学生会主席团有共有5名同学组成，其中有3名同学来自同一班级，另外两名同学来自另两个不同班级．现从中随机选出两名同学参加会议，则两名选出的同学来自不同班级的概率为（）
A．0.35 B．0.4 C．0.6 D．0.7
考点：古典概型及其概率计算公式；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式．
专题：概率与统计．
分析：分别计算出从5名学生中选出2名学生进入学生会的基本事件总数和满足这两名选出的同学来自不同班级的基本事件个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案
解答：解：来自同一班级的3名同学，用1，2，3表示，来自另两个不同班级2名同学用，A，B表示，
从中随机选出两名同学参加会议，共有12，13，1A，1B，23，2A，2B，3A，3B，AB共10种，这两名选出的同学来自不同班级，共有1A，1B，2A，2B，3A，3B共6种，
故这两名选出的同学来自不同班级概率P==0.6
故选：C．
点评：本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，其中熟练掌握利用古典概型概率计算公式求概率的步骤，是解答的关键．
8．（5分）已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与该双曲线的右支
交于A、B两点，若|AB|=5，则△ABF1的周长为（）
A．16 B．20 C．21 D．26
考点：双曲线的简单性质．
专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：根据双曲线的定义和性质，即可求出三角形的周长．
解答：解：由双曲线的方程可知a=4，
则|AF1|﹣|AF2|=8，|BF1|﹣|BF2|=8，
则|AF1|+|BF1|﹣（|BF2|+|AF2|）=16，
即|AF1|+|BF1|=|BF2|+|AF2|+16=|AB|+16=5+16=21，
则△ABF1的周长为|AF1|+|BF1|+|AB|=21+5=26，
故选D．
点评：本题主要考查双曲线的定义，根据双曲线的定义得到A，B到两焦点距离之差是个常数是解决本题的关键．
9．（5分）已知f（x）=x﹣x2，且a，b∈R，则“a＞b＞1”是“f（a）＜f（b）”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题：简易逻辑．
分析：根据二次函数的性质分别判断其充分性和必要性．
解答：解：画出函数f（x）=x﹣x2的图象，
如图示：
，
由图象得：f（x）在（，+∞）递减，
∴a＞b＞1时，f（a）＜f（b），是充分条件，
反之不成立，
如f（0）=0＜f（）=1，不是必要条件，
故选：A．
点评：本题考查了二次函数的性质，考查了充分必要条件，是一道基础题．
10．（5分）有10个乒乓球，将它们任意分成两堆，求出这两堆乒乓球个数的乘积，再将每堆乒乓球任意分成两堆并求出这两堆乒乓球个数的乘积，如此下去，直到不能再分为止，则所有乘积的和为（）
A．45 B．55 C．90 D．100
考点：归纳推理．
专题：等差数列与等比数列；推理和证明．
分析：用特殊值法，假设每次分出一个，分别求出每一次的乘积，然后等差数列的性质相加可得答案．
解答：解：假设每次分堆时都是分出1个球，
第一次分完后应该一堆是1个球，另一堆n﹣1个，则乘积为1×（n﹣1）=n﹣1；
第二次分完后应该一堆是1个球，另一堆n﹣2个，则乘积为1×（n﹣2）=n﹣2；
依此类推
最后一次应该是应该一堆是1个球，另一堆1个，则乘积为1×1=1；
设乘积的和为T n，
则T n=1+2+…+（n﹣1）=n（n﹣1）
当n=10时，T10=×10×（10﹣1）=45
故选：A
点评：本题主要考查等差数列的求和．属基础题．在解答选择填空题时，特殊值法是常用方法之一．解决本题的关键在于特殊值法的应用．
二、填空题：本大共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分．（一）必做题（11～13题）
11．（5分）如果f（x）=，那么f[f（2）]=1．
考点：函数的值．
专题：计算题；函数的性质及应用．
分析：根据x的范围，分别求出相对应的函数值，从而得到答案．
解答：解：∵f（2）=0，
∴f（0）=1，
即f[f（2）]=1，
故答案为：1．
点评：本题考查了分段函数问题，考查了函数求值问题，是一道基础题．
12．（5分）已知点A（﹣2，0），B（0，4）到直线l：x+my﹣1=0的距离相等，则m的值为
或1．
考点：点到直线的距离公式．
专题：直线与圆．
分析：利用点到直线的距离公式即可得出．
解答：解：由点到直线的距离公式可得=，
即|4m﹣1|=3，
解得m=或1．
故答案为：或1．
点评：本题考查了点到直线的距离公式，属于基础题．
13．（5分）如图，为了测量河对岸A、B两点之间的距离，观察者找到一个点C，从C点可以观察到点A、B；找到一个点D，从D点可以观察到点A、C；找到一个点E，从E点可以观察到点B、C；并测量得到一些数据：CD=2，CE=2，∠D=45°，∠ACD=105°，∠ACB=48.19°，
∠BCE=75°，∠E=60°，则A、B两点之间的距离为．（其中cos48.19°取近似值）
考点：解三角形的实际应用．
专题：应用题；解三角形．
分析：求出AC，通过正弦定理求出BC，然后利用余弦定理求出AB．
解答：解：依题意知，在△ACD中，∠A=30°由正弦定理得AC==2
在△BCE中，∠CBE=45°，由正弦定理得BC==3
在△ABC中，由余弦定理AB2=AC2+BC2﹣2AC•BCcos∠ACB=10
∴AB=．
故答案为：．
点评：本题考查三角形的面积的求法，正弦定理与余弦定理的应用，考查计算能力．
三、几何证明选讲
14．（5分）如图，P是圆O外一点，PA，PB是圆O的两条切线，切点分别为A，B，PA中点为M，过M作圆O的一条割线交圆O于C，D两点，若PB=2，MC=1，则CD=2．
考点：与圆有关的比例线段．
专题：立体几何．
分析：由切割线定理，得MA2=MC•MD，由此能求出CD．
解答：解：由已知得MA=，
∵MA是切线，MCD是割线，
∴MA2=MC•MD，
∵MC=1，∴3=1×（1+CD），
解得CD=2．
故答案为：2．
点评：本题考查与圆有关的线段长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意切割线定理的合理运用．
四、坐标系与参数方程
15．在极坐标系中，曲线C1：ρ（cosθ+sinθ）=1与曲线C2：ρ=a（a＞0）的一个交点在极轴上，则a=．
考点：简单曲线的极坐标方程．
专题：计算题．
分析：根据ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2将极坐标方程化成普通方程，利用交点在极轴上进行建立等式关系，从而求出a的值．
解答：解：∵曲线C1的极坐标方程为：ρ（cosθ+sinθ）=1，
∴曲线C1的普通方程是x+y﹣1=0，
∵曲线C2的极坐标方程为ρ=a（a＞0）
∴曲线C2的普通方程是x2+y2=a2
∵曲线C1：ρ（cosθ+sinθ）=1与曲线C2：ρ=a（a＞0）的一个交点在极轴上
∴令y=0则x=，点（，0）在圆x2+y2=a2上
解得a=
故答案为：
点评：本题主要考查了简单曲线的极坐标方程与普通方程的转化，同时考查了计算能力和分析问题的能力，属于基础题．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）已知函数f（x）=sin（ωx﹣）（ω＞0，x∈R）的最小正周期为π．
（1）求f（）．
（2）在图3给定的平面直角坐标系中，画出函数y=f（x）在区间[﹣，]上的图象，并根据图象写出其在（﹣，）上的单调递减区间．
考点：五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象；正弦函数的图象．
专题：作图题；三角函数的图像与性质．
分析：（1）依题意先解得ω=2，可得解析式f（x）=sin（2x﹣），从而可求f（）的
值．
（2）先求范围2x﹣∈[﹣，]，列表，描点，连线即可五点法作图象，并根据图象写出其在（﹣，）上的单调递减区间．
解答：解：（1）依题意得=π，解得ω=2，
∴f（x）=sin（2x﹣），
∴f（）=sin（）=sin cos﹣cos sin==
（2）∵x∈[﹣，]
∴2x﹣∈[﹣，]，
列表如下：
2x﹣﹣﹣π﹣0
x ﹣﹣﹣
f（x）0 ﹣1 0 1
画出函数y=f（x）在区间[﹣，]上的图象如下：
由图象可知函数y=f（x）在（﹣，）上的单调递减区间为（﹣，﹣），（，）
点评：本题主要考察了五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象，三角函数的图象与性质，属于基础题．
17．（12分）某地区“腾笼换鸟”的政策促进了区内环境改善和产业转型，空气质量也有所改观，现从当地天气网站上收集该地区近两年11月份（30天）的空气质量指数（AQI）（单位：μg/m3）资料如下：（图1和表1）
2014年11月份AQI数据
日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
AQI 89 55 52 87 124 72 65 26 46 48
日期11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
AQI 58 36 63 78 89 97 74 78 90 117
日期21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
AQI 137 139 77 63 63 77 64 65 55 45
表1
2014年11月份AQI数据频率分布表
分组频数频率
[20，40）
[40，60）
[60，80）
[80，100）
[100，120）
[120，140]
表2
（Ⅰ）请填好2014年11月份AQI数据的频率分布表（表2）并完成频率分布直方图（图2）；
（Ⅱ）该地区环保部门2014年12月1日发布的11月份环评报告中声称该地区“比去年同期空气质量的优良率提高了20多个百分点”（当AQI＜100时，空气质量为优良）．试问此人收集到的资料信息是否支持该观点？
考点：频率分布直方图．
专题：概率与统计．
分析：（Ⅰ）根据题意，填写2014年11月份AQI数据的频率分布表，画出频率分布直方图；
（Ⅱ）利用数据计算2013年与2014年的11月优良率是多少，比较数据信息得出结论．
解答：解：（Ⅰ）根据题意，填写2014年11月份AQI数据的频率分布表，如下；
分组频数频率
[20，40） 2
[40，60）7
[60，80）12
[80，100）5
[100，120） 1
[120，140] 3
；
根据频率分布表，画出频率分布直方图如下；
（Ⅱ）支持，理由如下：
2013年11月的优良率为：，
2014年11月的优良率为：，
∴；
∴利用数据信息得出“比去年同期空气质量的优良率提高了20多个百分点”．
点评：本题考查了频率分布表与频率分布直方图的应用问题，是基础题目．
18．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是∠ABC=60°的菱形，M为PC的中点．
（Ⅰ）求证：PC⊥AD；
（Ⅱ）在棱PB上是否存在一点Q，使得A，Q，M，D四点共面？若存在，指出点Q的位置并证明；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）求点D到平面PAM的距离．
考点：点、线、面间的距离计算；空间中直线与直线之间的位置关系．
专题：空间位置关系与距离．
分析：（Ⅰ）法一：取AD中点O，连结OP，OC，AC，依题意可知△PAD，△ACD均为正三角形，从而AD⊥平面POC，由此能证明PC⊥AD．
法二：连结AC，依题意可知△PAD，△ACD均为正三角形，从而AM⊥PC，DM⊥PC，由此能证明PC⊥AD．
（Ⅱ）当点Q为棱PB的中点时，A，Q，M，D四点共面．取棱PB的中点Q，连结QM，QA，由已知得QM∥BC，由此能证明A，Q，M，D四点共面．
（Ⅲ）点D到平面PAM的距离即点D到平面PAC的距离，由已知得得PO为三棱锥P﹣ACD的体高，由V D﹣PAC=V P﹣ACD，能求出点D到平面PAM的距离．
解答：（Ⅰ）证法一：取AD中点O，连结OP，OC，AC，
依题意可知△PAD，△ACD均为正三角形，
所以OC⊥AD，OP⊥AD，又OC∩OP=O，OC⊂平面POC，OP⊂平面POC，
所以AD⊥平面POC，又PC⊂平面POC，
所以PC⊥AD．
证法二：连结AC，依题意可知△PAD，△ACD均为正三角形，
又M为PC的中点，所以AM⊥PC，DM⊥PC，
又AM∩DM=M，AM⊂平面AMD，DM⊂平面AMD，
所以PC⊥平面AMD，
又AD⊂平面AMD，所以PC⊥AD．
（Ⅱ）解：当点Q为棱PB的中点时，A，Q，M，D四点共面，
证明如下：
取棱PB的中点Q，连结QM，QA，又M为PC的中点，所以QM∥BC，
在菱形ABCD中AD∥BC，所以QM∥AD，
所以A，Q，M，D四点共面．
（Ⅲ）解：点D到平面PAM的距离即点D到平面PAC的距离，
由（Ⅰ）可知PO⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD，即PO为三棱锥P﹣ACD的体高．
在Rt△POC中，，，
在△PAC中，PA=AC=2，，边PC上的高AM=，
所以△PAC的面积，
设点D到平面PAC的距离为h，
由V D﹣PAC=V P﹣ACD得
，
又，
所以，
解得，
所以点D到平面PAM的距离为．
点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查四点共面的判断与求法，考查点到平面的距离的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．
19．（14分）已知数列{a n}的前n项和为S n，若4S n=（2n﹣1）a n+1+1（n∈N），且a1=1．（1）求证：数列{a n}为等差数列；
（2）设bn=，数列{b n}的前n项和为T n，证明：T n＜（n∈N）．
考点：数列的求和；数列递推式．
专题：等差数列与等比数列．
分析：（1）由已知得4a n=（2n﹣1）a n+1﹣（2n﹣3）a n，从而=，由此能证明数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列．
（2）由a n=2n﹣1，S n=n+=n2，得
bn===，由此利用裂项求和法能证明T n＜
（n∈N）．
解答：（1）证明：∵4S n=（2n﹣1）a n+1+1，①
∴n≥2时，4S n﹣1=（2n﹣3）a n+1，②
①﹣②，得4a n=（2n﹣1）a n+1﹣（2n﹣3）a n，n≥2
∴（2n+1）a n=（2n﹣1）a n+1，
∴=，
∴a n==1×=2n﹣1，
∴a n﹣a n﹣1=（2n﹣1）﹣（2n﹣3）=2，
∴数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列．
（2）解：∵数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，
∴a n=2n﹣1，S n=n+=n2，
∴bn====，n≥2
∴T n＜（1+++…+）
=．
∴T n＜（n∈N）．
点评：本题考查数列{a n}为等差数列的证明，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意累乘法和裂项求和法的合理运用．
20．（14分）已知点M（2，1），N（﹣2，1），直线MP，NP相交于点P，且直线MP的斜率减直线NP的斜率的差为1．设点P的轨迹为曲线E．
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）已知点A（0，1），点C是曲线E上异于原点的任意一点，若以A为圆心，线段AC为半径的圆交y轴负半轴于点B，试判断直线BC与曲线E的位置关系，并证明你的结论．
考点：圆与圆锥曲线的综合．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：（Ⅰ）设出P点坐标，依题意得列关于P点坐标的方程，化简后得答案；
（Ⅱ）证法一、设出C点坐标，把c的坐标代入E的轨迹方程，再求出圆A的方程，求出点B的坐标，进一步求出直线BC的方程，和抛物线方程联立后由判别式等于0可证直线BC与曲线E相切．
证法二：设出C点坐标，把c的坐标代入E的轨迹方程，再求出圆A的方程，求出点B的坐标，进一步求得直线BC的斜率，然后利用导数求出抛物线在过C点的切线的斜率，可得直线BC
与曲线x2=4y过点C的切线重合，即说明直线BC与曲线E相切．
解答：解：（Ⅰ）设P（x，y），依题意得，
化简得x2=4y（x≠±2），
∴曲线E的方程为x2=4y（x≠±2）；
（Ⅱ）结论：直线BC与曲线E相切．
证法一：设C（x0，y0），则，圆A的方程为，
令x=0，则，
∵y0＞0，y＜0，∴y=﹣y0，点B的坐标为（0，﹣y0），
直线BC的斜率为，直线BC的方程为，即，
代入x2=4y得，，即，
，
∴直线BC与曲线E相切．
证法二：设C（x0，y0），则，圆A的方程为，令x=0，则，
∵y0＞0，y＜0，∴y=﹣y0，点B的坐标为（0，﹣y0），
直线BC的斜率为，
由x2=4y得，得，，过点C的切线的斜率为，
而，
∴k=k1，
∴直线BC与曲线x2=4y过点C的切线重合，
即直线BC与曲线E相切．
点评：本题考查了曲线方程的求法，考查了圆与圆锥曲线的综合，考查了直线与圆的位置关系，对于（Ⅱ）的第二种证明方法，运用了利用导数研究过曲线上某点的切线的斜率，体现了导数在解题中的广泛应用，该题属中高档题．
21．（14分）设函数f（x）=的导函数为f'（x）（a为常数，e=2.71828…是自然对数的
底数）．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）求实数a，使曲线y=f（x）在点（a+2，f（a+2））处的切线斜率为﹣；（Ⅲ）当x≠a时，若不等式||+k|x﹣a|≥1恒成立，求实数k的取值范围．
考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题：导数的综合应用．
分析：（Ⅰ）根据导数和函数的单调性的关系即可求出单调区间；
（Ⅱ）根据导数的几何意义，令a+2=t，则有e t+t3﹣1=0，构造函数，利用导数求出即可；（Ⅲ）原不等式可化为，在分类讨论，继而求出实数k的取值范围．解答：解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（﹣∞，a）∪（a，+∞），…（1分）
对f（x）求导得：，…（2分）
由f'（x）＞0得x＞a+1；由f'（x）＜0得x＜a或a＜x＜a+1，…（4分）
所以f（x）在（﹣∞，a），（a，a+1）上单调递减，在（a+1，+∞）上单调递增．…（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得…（6分）
令得 e a+2+a3+6a2+12a+7=0…①
令a+2=t，则有e t+t3﹣1=0，…（8分）
令h（t）=e t+t3﹣1，则h'（t）=e t+3t2＞0，…（9分）
故h（t）是R上的增函数，又h（0）=0，因此0是h（t）的唯一零点，即﹣2是方程①的唯一实数解，
故存在唯一实数a=﹣2满足题设条件．…（10分）
（Ⅲ）因为，故不等式可化为
，
令x﹣a=t，则t≠0，…（11分）且有…（12分）
①若t＜0，则，即，此时k≥0；
②若0＜t≤1，则，即，此时k≥1；
③若t＞1，则，即，此时k≥1．
故使不等式恒成立的k的取值范围是[1，+∞）．…（14分）
点评：本题考查了导数和函数单调性的关系，以及导数的几何意义，以及不等式恒成立的问题，培养了学生的转化能力，属于中档题。