灰色预测模型理论及其应用

灰色预测模型理论及其应用
灰色系统理论认为对既含有已知信息又含有未知或非确定信息的系统进行预测，就是对在一定方位内变化的、与时间有关的灰色过程的预测. 尽管过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的，但毕竟是有序的、有界的，因此这一数据集合具备潜在的规律，灰色预测就是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测.
灰色预测模型只需要较少的观测数据即可，这和时间序列分析，多元回归分析等
这
1.2灰色预测
灰色系统分析方法是通过鉴别系统因素之间发展趋势的相似或相异程度，即进行关联度分析，并通过对原始数据的生成处理来寻求系统变动的规律。

生成数据序列有较强的规律性，可以用它来建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来的发展趋势和未来状态。

灰色预测是用灰色模型GM(1,1)来进行定量分析的，通常分为以下几类：
(1) 灰色时间序列预测。

用等时距观测到的反映预测对象特征的一系列数量（如产量、销量、人口数量、存款数量、利率等）构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或
者达到某特征量的时间。

(2) 畸变预测（灾变预测）。

通过模型预测异常值出现的时刻，预测异常值什么时候出现在特定时区内。

(3) 波形预测，或称为拓扑预测，它是通过灰色模型预测事物未来变动的轨迹。

(4) 系统预测，是对系统行为特征指标建立一族相互关联的灰色预测理论模型，在预测系统整体变化的同时，预测系统各个环节的变化。

上述灰预测方法的共同特点是：
用
列转化为微分方程，通过灰色微分方程可以建立抽象系统的发展模型. 经证明，经一阶线性微分方程的解逼近所揭示的原始时间数列呈指数变化规律时，灰色预测GM(1,1)模型的预测将是非常成功的.
2.2GM(1,1)模型的建立
GM(1,1)模型是指一阶，一个变量的微分方案预测模型，是一阶单序列的线性动态模型，用于时间序列预测的离散形式的微分方程模型.
模型符号含义为
G M （1， 1）
Grey Model 1阶方程 1个变量 设时间序列()
0X
有n 个观察值，()
()()()()()(){}
00001,2,,X
x x x n =L ，为了使其成为
有规律的时间序列数据，对其作一次累加生成运算，即令
()
()10t
形式为
()()()11a t u u x t x e a a --⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭
其中，ax 项中的x 为
dx
dt
的背景值，也称初始值；a ，u 是待识别的灰色参数，a 为发展系
数，反映x 的发展趋势；u 为灰色作用量，反映数据间的变化关系.
按白化导数定义有
0()()lim t dx x t t x t dt t
→+-=V V V 显然，当时间密化值定义为1时，当1t →V 时，则上式可记为
的）(1)(1)
(0)(1)(1)(0)(0)(1)(1)
(1)(2)2(2)1(2)(3)(3)2()1(1)()2x x x x x x a u x n x n x n ⎡⎤-+ ⎪⎣⎦⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎡⎤-+ ⎪⎣
⎦ ⎪=+ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭ ⎪⎡⎤--+ ⎪⎣⎦⎝⎭
M L L L L 令 (0)(0)(0)
(2),(3),,()T
Y x x x n ⎡⎤=⎣⎦L L
(1)(1)(1)(1)(1)(1)
11(1)(2)211(2)(3)21(1)()12x x x x B x n x n ⎛⎫⎡⎤-+ ⎪⎣⎦ ⎪
⎪⎡⎤-+⎣⎦ ⎪= ⎪
⎪
⎪⎡⎤--+ ⎪⎣⎦⎝⎭
M ()T
a u α=
对序列()
()1ˆx
t 再作累减生成可进行预测. 即
()(0)(1)(1)(0)(1)
ˆˆˆ()()(1)(1)1a a t x
t x t x t u x e e
a --=--⎛⎫=-- ⎪⎝
⎭ 上式便是GM(1,1)模型的预测的具体计算式.
2.3 GM(1,1)模型的检验
GM(1,1)模型的检验包括残差检验、关联度检验、后验差检验三种形式.
每种检验对应不同功能：残差检验属于算术检验，对模型值和实际值的误差进行逐点检验；关联度检验属于几何检验范围，通过考察模型曲线与建模序列曲线的几何相似程度进行检验，关联度越大模型越好；后验差检验属于统计检验，对残差分布的统计特性进行检验，衡量灰色模型的精度. ➢ 残差检验
关联度是用来定量描述各变化过程之间的差别. 关联系数越大，说明预测值和实际值越接近.
设 {}(0)
(0)(0)(0)ˆˆˆˆ()(1),(2),,()X
t x
x x n =⋯ {}(0)(0)(0)(0)()(1),(2),,()X t x x x n =⋯
序列关联系数定义为
式中,
(0)(0)ˆ()()x
t x t -为第t 个点(0)x 和(0)ˆx 的绝对误差，()t ξ为第t 个数据的关联系数，ρ称为分辨率，即取定的最大差百分比，0ρ<<1,一般取0.5ρ=.
(0)()x t 和(0)ˆ()x
t 的关联度为
其中(0)
(0)(0)ˆ()()(),1,2,,e
t x t x
t t n =-=L 为残差数列. 3、计算后验差比值
21C S S =
4、计算小误差频率
(){}
{
}
{
}
(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)ˆˆmin ()()max ()()
,0ˆˆ()()max ()()1
,0x t x t x t x t t t x t x t x t x t t ρξρ⎧-+-⎪≠⎪=-+-⎨⎪
=⎪⎩
{}
(0)1()0.6745P P e t e S =-<
令0S =0.67451S ，(0)
()|()|t e
t e ∆=-，即{}0()P P t S =∆<.
若对给定的00C >，当0C C <时，称模型为方差比合格模型；若对给定的
00P >，当0P P >时，称模型为小残差概率合格模型.
.
, t+1, …, n ，则对应的残差序列为
{}(0)(0)(0)(0)()(1),(2),,()e k e e e n =L
计算其生成序列(1)
()e k ，并据此建立相应的GM(1,1)模型
(1)(0)ˆ(1)[(1)e a k e e
e e
u u e
t e e a a -+=-+
得修正模型
(1)(0)(0)(1)(1)()()(1)e a k ak e e e u u u x t x e k t a e e a a a δ--⎡⎤⎡
⎤+=-++---⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣
⎦
其中1()0k t
k t k t
δ≥⎧-=⎨
≤⎩为修正参数.
)
432.166()
37.77625,66.3355,99.71975,138.41815,180.7912,226.8612,281.5662,340.5662,400.6161则数据矩阵B 及数据向量Y 为
(1)(1)
(1)(1)(1)
(1)(1)(1)
-37.776251(2)1-66.33551(3)1-99.719751(4)1-138.418151(5)1=-180.79121(6)1-226.86121(7)1-281.56621(8)1-340.566(9)
1z z z z B z z z z ⎡⎤-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢
⎥⎢⎥-=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢
⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦ 21-400.6161⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 1， (0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)26.730730.387836.380741.016143.7348.4161
5(2)(3)(4)(5)(6)(7763)(8)().91x x x x Y x x x x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
预测值：
{24.4109,29.2310,32.3578,35.8190,39.6504,43.8917,48.5867,53.7839,59.5371,65.9056}
计算得到关联系数为：
{1，0.906683，0.444273，0.416579，0.82377，0.357133，0.715694，0.843178，0.333333，0.770986}
于是灰色关联度：r=0.661163
关联度r=0.661163满足分辨率ρ=0.5时的检验准则r>0.60，关联性检验通过。

第五步：后验差检验。

计算真实值的均值与标准差：()
0254.14,2166.4310==S X
计算残差的均值和标准差：6134
.49295.12==∆
S ，
}
8761.04 35.818976 -.561724 -1.544016 5 39.650442 -1.365658 -3.329566 6 43.891749 .161749 .369881 7 48.586737 .176737 .365084 8 53.783938 -7.216062 -11.82961
9 59.537068 2.537068 4.450996 10 65.905597 2.805597 4.446271
相对误差序列中有的相对误差很大，所以要对原模型
()()858996
.248269896.2731101624.01-=+⋅k e k X
进行残差修正，以提高精度。

，
这样就得到经过残差修正后的灰色预测GM(1,1)模型：
()()858996
.248269896.2731101624.01-=+⋅k e k X
()k e k ⋅-+183488.09403.01δ
其中： ()⎭
⎬⎫
<≥⎩⎨⎧=-22,0,11k k k δ 为修正系数（k=0，1，2，……）。

修正后，精度有所提高。

修正后的残差计算见下表：
()()0180
.51210,91==X k
于是得到
2014
年南昌市民用汽车保有量的预测值为
()()()()9425
.7391011=-X X （万辆）
同理可以得到2020年南昌市民用汽车保有量的预测值为137.2035万辆。