2023-2024学年江西省宜春市高二下学期6月期末联考数学质量检测模拟试题(含解析)

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2023-2024学年江西省宜春市高二下学期6月期末联考数学质量检测
模拟试题
一、单选题
1．命题“，”的否定是（ ）00x ∃>2
0030x x -+>A ．，B ．，00x ∃>2
0030x x -+≤0x ∀>2
30
x x -+≤C ．，D ．，00x ∃≤2
0030
x x -+≤0x ∀≤2
30
x x -+≤2．“，且”是“，且”的（ ）2a b +<-1ab >1a <-1b <-A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．已知，，，则（ ）0.5
0.2a =15log 0.2b =lg15c =A ．B ．C ．D ．a b c <<c<a<b
b<c<a
b a c
<<4．已知在上为减函数，则实数的取值范围是（ ）
()(
)212
log 3f x x ax a
=-+[)
2,+∞a A ．
B ．
C ．
D ．
(]
,4∞-(]4,4-()
0,2(]
0,45．某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外，每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为( )A ．10B ．11C ．13
D ．21
6．已知公差不为零的等差数列
满足：，且是与的等比中项，设数列
{}n a 3820a a +=5a 2a 14a 满足，则数列的前项和为（ ）
{}n b ()
*
1
1
N n n n b n a a +=
∈{}n b n n S A ．B ．1212121n n n -=++12212121
n n n ++=++C ．D ．
1112212+1⎛⎫-= ⎪
+⎝⎭n
n n 11+112212+1⎛⎫+= ⎪+⎝⎭n n n 7．已知函数,若关于的方程有四个不同的实数解
()2
2122,02
log ,0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨⎪>⎩x ()f x a =
，且，则的取值范围是（ ）
1234,,,x x x x 1234x x x x <<<212
344x x x x x ++
A ．
B ．
C ．
D ．
()
3,-+∞(),3-∞[)
3,3-(]
3,3-8．已知函数
，且在区间
上单调递增，则()()2
ln 1,,2a f x x x x b a b =
---∈R ()f x ()0,∞+的最小值为（ ）2a b +A ．0B ．C ．D ．-1
1e
ln2
二、多选题
9．下列函数中，是奇函数的是（ ）
A ．
B ．e e
x x
y -=-32
y x x
=-C ．D ．
tan 2y x =2
1log 1x y x
+=-10．已知函数，则（ ）
()1
ln 1x f x x x +=-
-A ．
的定义域为
B ．的图像在处的切线斜率为()
f x ()
0,∞+()f x ()()22f ,5
2
C ．
D ．
有两个零点，且()01f f x x ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭=()
f x 12,x x 121=x x 11．已知函数，
在R 上的导函数分别为，
，若
为偶函数，
()
f x ()
g x ()f x '()
g x '()
2f x +是奇函数，且，则下列结论正确的是（ ）
()12
y g x =+-()()312
f x
g x -+-=A ．
B ．()20220
f '=()20230
g =C ．是R 上的奇函数D ．
是R 上的奇函数
()f x ()
g x '三、填空题
12．计算：=
.
31log 21
lg 2lg
35---13．已知函数
，若，则的取值范围是
.
())ln
f x x x =++()()2120f x f x -+->x 14．若对任意的，不等式
恒成立，则的最大整数值为 .
0x >()e 10x
x a a -++≥a 四、解答题15．已知函数
的图像恒过定点，且点又在函数
()2(1)1(0)
x g x a a -=++>A A
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的图像上.
(
))f x x a =+(1)求的值；
a (2)已知，求函数
的最大值和最小值.
121log 1x -≤≤1
114242x x
y a a -⎛⎫⎛⎫
=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭16．已知数列{ an }的首项
，且满足
．112a =
121n n n a a a +=
+(1)求证：数列{}为等比数列；
1
1n a -(2)若，求满足条件的最大整数n ．1231111
102
n
a a a a ++++< 17．医生将一瓶含量
的A 药在内匀速注射到患者的血液中称为A 药的一次注
()
mg a 0.2h 射．在注射期间，患者血液中A 药的注入量
与注射用时
的关系是，当
()
mg y ()
h t y kt =时，血液中的A 药注入量达到，此后，注入血液中的A 药以每小时的速
0.2h t =()mg a 10%度减少．(1)求k 的值；
(2)患者完成A 药的首次注射后，血液中A 药含量不低于的时间可以维持多少h ？（精
3mg 10a
确到0.1）
(3)患者首次注射后，血液中A 药含量减少到时，立即进行第二次注射，首次注射的A 3mg
10a
药剩余量继续以每小时的速度减少，已知注射期间能保持患者血液中的A 药含量不低于10%，那么，经过两次注射，患者血液中A 药的含量不低于的时间是否可以维持
3mg 10a 3mg 10a （参考数据：，，）
25h lg 20.3010=lg 30.4771=lg13 1.114=18．设函数
．
()()21e 0
x f x m x ax m =-->，(1)当时，求的极值；0a =()f x (2)当时，讨论的单调性；1m =()f x (3)在（1）条件下，若对任意
，有
恒成立，求m 的最大值．
()
1,x ∞∈-+()(
)ln 22e 1
x f x +≤+19．已知函数，
.()()ln f x ax x a R =+∈2
()ln x g x x x =-
（1）当时，求曲线
在处的切线方程；
1a =()
y f x =1x =（2）若恰有三个不同的零点（）.()()()h x f x g x =-123,,x x x 123x x x <<①求实数的取值范围；
a ②求证.
2
312123ln ln ln 1111x x x x x x ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫---
= ⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
1．B
【分析】根据特称命题的否定时全称命题，改量词否结论即可求得结果.
【详解】因为命题“，”的否定是“，”.
00x ∃>20030x x -+>0x ∀>230x x -+≤故选：B.2．B
【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，结合充分、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】若，且，根据不等式的加法和乘法法则可得，且，即1a <-1b <-2a b +<-1ab >必要性成立；当
，满足，且，但是，故充分性不成立，
1
3,2=-=-
a b 2a b +<-1ab >11
2b =->-所以“，且”是“，且”的必要不充分条件.2a b +<-1ab >1a <-1b <-故选：B 3．D
【分析】借助中间值比较大小即可.0,1【详解】因为，，，
0.5
000.2
0.21a <=<=1515log 0.2log 10b =<=lg15lg101c =>=所以，即.01b a c <<<<b a c <<故选：D.4．B 【分析】设，根据复合函数的单调性的求法，列出相应不等式求解即可.()23x x a g ax -+=【详解】设，
()23x x a
g ax -+=因为函数在上是减函数，
()()
212
log 3f x x ax a =-+[)2,+∞可得
在上是增函数，
()23x x a
g ax -+=[)2,+∞
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故有对称轴
，即，且，
22a x =
≤4a ≤()24230g a a =-+>解得，即实数的范围是.
44a -<≤a (]4,4-故选：B.5．A
【分析】首先根据题意得到第年的维护费为，从而得到年平均费用为：n 2n a n =（为正整数），再结合基本不等式求最值即可.
100
1.5y n n =+
+n 【详解】由题意可知：每年的维护费构成一个以为首项，为公差的等差数列，22故第年的维护费为：
，
n 22(1)2n a n n =+-=总的维护费为：，
(22)
(1)2n n n n +=+故年平均费用为：
，
1000.5(1)
n n n y n +++=
即，（为正整数）；100 1.5
y n n =++n 由基本不等式得：
（万元）
，
10015.5 1.521.y n n ≥+==+
当且仅当，100n n =
即时取到等号，即该企业年后需要更新设备．10n =10故选：A 6．C
【分析】设等差数列
的公差为，根据题意，列出方程组，求得，得到，
{}n a d 1,a d 21n a n =-进而得到
，结合裂项法求和，即可求解.11122121n b n n ⎛⎫=- ⎪
-+⎝⎭【详解】设等差数列
的公差为，
{}n a ()d d ≠0因为，且是与的等比中项，可得，3820a a +=5a 2a 14a 382
521420
a a a a a +=⎧⎨=⎩即，解得，所以，
()()()121112920413a d a d a d a d +=⎧⎪⎨+=++⎪⎩11
2a d =⎧⎨=⎩21n a n =-
又由
，
()()1
111212122121n b n n n n ⎛⎫==-
⎪-+-+⎝⎭可得.11111112334212121111221n n S n n n n ⎛⎫=-+-++-⎛⎫=- -⎪
= ⎝⎪+⎭⎭++⎝L 故选：C.7．D
画出函数的图象，根据对称性和对数函数的图象和性质即可求出．
()f x 【详解】
()2
2122,0
2
log ,0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨⎪>
⎩ 可画函数图象如下所示
若关于的方程有四个不同的实数解，且，x ()f x a =1234,,,x x x x 1234x x x x <<<当时解得
或2|log |2x =1
4x =
4
x =12341
0144
x x x x ∴<≤<
≤<<≤3422|log ||log |
x x = 2324
log log x x ∴-=341
x x ∴=
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，关于直线对称，则，
1x 2x 2x =-124x x +=-2
12344444
x x x x x x x +
=+-+∴()
414x <≤令函数
，则函数在上单调递增，
()4
f x x x =+
-(]1,4x ∈(]1,4故当时4x =()()max 34
444f x f -+===故当时1x =()1131
4
f =+
=--所以
()(]
3,3f x ∈-即(]212
344
3,3x x x x x ++
∈-故选：D
本题考查函数方程思想，对数函数的性质，数形结合是解答本题的关键，属于难题.8．C
【分析】根据题意，转化为在
上恒成立，对于使得取得最小值时，
ln ax b x +≥()0,∞+2a b +直线和函数的图象相切，求得上的一点
的切线方程为
y ax b =+ln y x =ln y x =()00,ln x x ，得到
，令，利用导数求得函数的单调性
00
1
ln 1y x x x =
+-0022ln 1a b x x +≥
+-()2ln 1g x x x =+-与最小值，即可求解.【详解】由在区间
上单调递增，()()2
ln 12a f x x x x b =
---()0,∞+所以
在
上恒成立，即在上恒成立，
()ln 0
f x ax b x -'=+≥()0,∞+ln ax b x +≥()0,∞+对于使得取得最小值时，直线和函数的图象相切，
2a b +y ax b =+ln y x =又由，可得
，则
，ln y x =1y x '=
001|x x y x ='=
可得在点的切线为
，即，
ln y x =()00,ln x x ()000
1ln y x x x x -=
-001
ln 1
y x x x =+-令
，所以，00
1
,ln 1
a b x x =
=-0022ln 1a b x x +≥+-令
，所以
，()2ln 1(0)g x x x x =
+->()22122
x g x x x x ='-=-
当
时，
；当
时，
，
()0,2x ∈()0
g x '<()
2,x ∞∈+()0
g x '>所以在
上单调递减，在上单调递增，所以，
()
g x ()0,2()2,∞+()min ()2ln2g x g ==所以的最小值为.2a b +ln2故选：C.
方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解；
2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．9．ACD
【分析】由奇函数定义逐一判断即可.【详解】对于A ，
的定义域为全体实数，关于原点对称，且
()e e x x
y f x -==-，故A 满足题意；()()()e e x x f x f x --=--=-对于B ，若
，则
，故B 不满足题意；
()32
y f x x x ==-()()1012
f f =≠-=-对于C ，的定义域为，它关于原点对称，且()tan 2y f x x ==ππ|,Z 42k x x k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩
⎭，故C 满足题意；
()()()
tan 2tan 2f x x x f x -=-=-=-对于D ，
的定义域为，它关于原点对称，且()2
1log 1x
y f x x +==-()1,1-，故D 满足题意.
()()
2211log log 11x x
f x f x x x -+-==-=-+-故选：ACD.10．BCD
【分析】根据题意直接求出的范围即可判断；求出导函数，进而求得
即可判断B ；
x A ()
2f '求得即可判断C ；易知的单调性，结合零点存在定理及C 即可判断D ．
1f x ⎛⎫
⎪
⎝⎭()f x
9 / 18
【详解】由题意，
，
()12
ln ln 111x f x x x x x +=-
=----对于选项A ，易知且，故选项A 错误，
0x >1x ≠对于选项B ，因为
，则，故选项B 正确，
()212(1)f x x x =
-'+()
2125
22(21)2f -'=+=对于选项C ，因为，所以
，故选项C 正确，
1
1
11ln ln 111x x f x x x x x ++⎛⎫=--=-+
⎪-⎝⎭-()10f f x x ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭对于选项D ，由选项可知
，易知在和上单调递增，
A ()2
ln 11f x x x =--
-()f x ()0,1()1,∞+因为，
()22
e lne 10
e 1e 1
f =--=-<--，
()
22
2
22222e 3
e
lne 110
e 1e 1e 1
f -=--=-=>---所以
，使得
，
()2
0e,e
x ∃∈()00001
ln 01x f x x x +=-
=-又因为，则，结合选项C ，得
，
2
0111e e x <<01
01x <<()0010f f x x ⎛⎫
=-= ⎪⎝⎭即也是的零点，则，，故，故选项D 正确，01
x ()f x 10x x =201x x =
121=x x 故选：BCD.11．AD
【分析】利用函数的奇偶性、周期性、对称性，以及原函数与导函数的奇偶性，即可判断各选项正误.【详解】解：已知为偶函数，可知
关于对称，
()
2f x +()
2f x +0x =所以关于对称，
()
f x 2x =因为是奇函数，可知
关于
对称，
()12
y g x =+-()12
y g x =+-()0,0所以
关于
对称，
()
g x ()1,2又因为，则
，即
，
()()312
f x
g x -+-=()()22
f x
g x -+=()()
22g x f x =--所以
与
关于
对称，
()
f x ()
g x ()1,1
因为关于对称的点为，直线关于对称的直线为，
()1,2()1,1()1,02x =()1,10x =所以关于
对称，关于直线对称，是偶函数，
()
f x ()1,0()
g x 0x =()g x 而关于对称，
，又
，()
f x 2x =()()
4f x f x +=-()()
2f x f x +=--则，
，
，
()()
42f x f x +=-+()()()42f x f x f x +=-+=()()
=f x f x -即是周期为4的偶函数，故C 选项错误；
()
f x 由关于直线对称，
，
关于
对称，，
()
g x 0x =()()
g x g x -=()
g x ()1,2()()24g x g x -++=则
，
，
()()24g x g x ++=()()244g x g x +++=所以，即是周期为4的偶函数，
()()
4g x g x +=()
g x 由于
是周期为4的偶函数，则
，
()
f x ()()
f x f x -=等号两边同时求导，可得，所以
是周期为4的奇函数，()()f x f x ''--=()
f x '同理，由于
是周期为4的偶函数，则
，
()
g x ()()g x g x -=等号两边同时求导，可得，是周期为4的奇函数，
()()
g x g x '--='()
g x '所以与
均是周期为4的奇函数，故D 选项正确；
()f x '()
g x '由于关于对称，
，
，则
，
()
f x 2x =()()
4f x f x +=-()()
4f x f x ''+=--()20
f '=所以
，故A 选项正确；
()()()20225054220
f f f '''=⨯+==，故B 选项错误；
()()()()202350543312
g g g g =⨯+===故选：AD.
关键点点睛：本题的关键是根据函数的对称性得到函数的奇偶性及周期性，再利用复合函数的导数可得导函数的性质进而即得.12．##1.5
3
2【分析】根据对数和根式的运算得解.
【详解】原式
.()13log 2113
lg 2lg 533lg 25321222-=+-⨯=⨯-⨯+=+=
故答案为.3
2
11 / 18
13．
()
1,-+∞【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.
【详解】因为函数，定义域为，且，
(
))ln
f x x x =+R (
))ln f x x x -=--则
()(
)
))ln ln f x f x x x x x -+=-++
，
)()22
ln ln 1ln10x x x x ⎡⎤==+-==⎢⎥⎣⎦即
，即
为奇函数，
()()
f x f x -=-()
f x 当时，，均单调递增，所以
在
0x
>y x =+ln y x =y x =(
))ln
f x x x =+上单调递增，
()0,∞+则在
上单调递增，
()
f x (),0∞-所以是奇函数且在上单调递增，
()
f x R 由
，可得
，则，解得，
()()2120
f x f x -+->()()
212f x f x ->-212x x ->-1x >-即的取值范围为.
x ()1,-+∞故
()
1,-+∞14．2
【分析】分离参数，利用换元法得，构造函数，利
e 1e 1x x x a +≤-ln 11t t a t +≤-()()
ln 1
11t t f t t t +=>-用导数研究其单调性结合隐零点求最小值即可.
【详解】原不等式等价于
在时恒成立，e 1
e 1x x
x a +≤-0x >令，则上式化为，()e 1x t t =>ln 1
1t t a t +≤-构造函数，
()()ln 1
11t t f t t t +=
>-则，
()()
2
2ln 1t t
f t t ---'=
令
，
()()()1
2ln 10t g t t t t g t t '-=-->⇒=
>所以
在
上单调递增，而在，
()
g t ()1,∞+()()31ln 3
0,422ln 20
g g =-=-
故
使得
，故
在
上单调递减，在上单调递增，
()
03,4t ∃∈()00
g t =()
f t ()01,t ()0,t ∞+即
，
()()()0000000021
ln 11
11t t t t f t f t t t t -++≥===---所以，01a t ≤-又
，故的最大整数值为2.
()()
003,412,3t t ∈⇒-∈a 故2
思路点睛：分离参数并换元得，构造函数结合隐零点计算其
ln 11t t a t +≤
-()()
ln 1
11t t f t t t +=>-最小值即可.15．(1)1
(2)最小值为，最大值为15
4
【分析】（1）结合指数函数性质首先求的值；
a （2）通过换元，设，并且求变量的取值范围，转化为二次函数在定义域内的最大值
12x
t ⎛⎫
= ⎪
⎝⎭和最小值.
【详解】（1）由题意知定点的坐标为，且点又在函数的图像上.
A ()2,2A (
))f x x a =+∴
，即
解得
.
()22a =
+2
2a +=
1a =（2）由得，令，则，12
1log 1x -≤≤122x ≤≤12x
t ⎛⎫= ⎪⎝⎭14t ≤≤
.
2
2
144241
2y t t t ⎛⎫
=-+=-+ ⎪⎝⎭∴当
，即，时，，12t =1122x
⎛⎫= ⎪
⎝⎭1x =min 1y =当
，即，时，.14t =1124x
⎛⎫=
⎪⎝⎭2x =max 5
4y =16．(1)证明见解析(2)100
13 / 18
【分析】（1）由题意可得=，可证结论；
1
1(1)n a +-11n a ⎛⎫
÷- ⎪⎝⎭1
2（2）由（1），可求得，可求满足条件的最111()12n n a -=+1
123111112()2n n n a a a a -++++=+- 大整数n ．
【详解】（1）因为，故，所以，110
2a =≠0n a ≠1
1111222n n n n a a a a ++==+所以，而,故，
1111112n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭11110a -=≠1
10n a -≠所以，所以{}是以首项为1，公比为的等比数列．
11
11
1
2
1n n a a +-=
-11n a -12（2）由（1）知，所以，
1111()2n n a --=111
()1
2n n a -=+故．
0111
1231
1[1()]
111111112()1()1()12()1222212n n n n n n a a a a ---++++=++++++=+
=+--
因为
随着n 的增大而增大，n = 100满足题意，n = 101不合题意，1
1
2()2n n -+-所以满足条件的最大整数n = 100．17．(1)；5a (2)；11.4h (3)可以.
【分析】（1）把，
代入计算即得.
0.2h t =()
mg y a =（2）根据给定条件，列出不等式，再利用对数函数单调性解不等式即得.
（3）求出A 药含量为时时间关系，再列出第二次注射完成后患者血液中A 药的含量
3mg 10a
随注射时间变化的函数关系，列出不等式求解即得.
【详解】（1）依题意，，解得，所以k 的值为.0.2a k =5k a =5a （2）血液中的A 药含量达到后，经过x 小时患者血液中A 药含量为
．
()
mg a ()()
10.1mg x
a -由
，得，两边取对数得：，()310.110x
a a -≥
93()1010x ≥93
lg lg
1010x ≥解得，
lg 310.4771111.4
2lg 3120.47711x --≤=≈-⨯-所以患者完成A 药的首次注射后，血液中A 药含量不低于的时间可以维持.3mg 10a 11.4h （3）设第一次注射开始后经过患者血液中A 药的含量为，即
，0h t 310a 00.2
30.910t -=记第二次注射完成后患者血液中A 药的含量为，其中
为第一次注射开始
()
f x ()
00.2x x t ≥+后经过的时间，则
000.20.20.20.20.40.20.410
()0.90.90.90.90.9)0(.9(90.)3
x t t x x x x x f x a a a a ---+-----=+=+⨯=+
⨯，
0.20.20.21013
0.90.9)0.933(x x x a a --->+
⨯=⨯由，得，即，两边取对数得：0.21330.93
10x a a
-⨯>0.2130.90.9x -⨯> 1.2130.91x -⨯>，解得，又，
()lg13 1.0lg 20.9x +->lg13 1.114
1.2 1.225.5
12lg 3120.4771x <+=+≈--⨯25.50.225.3-=所以经过两次注射后，患者血液中A 药的含量不低于的时间可以维持．
3mg 10a
25h 18．(1)极小值为，无极大值m -(2)详解见解析(3)2
e
【分析】（1）求导，判断函数单调性即可确定极值；（2）求导可得，分类讨论当、、、
时函数()e 2(e 2)x
x
f x x ax a x '=-=-0a ≤12a >
1
2a =
102a <<对应的单调性，即可求解；
（3）分离参数并构造新函数，求导可得，判断函数单调性求出
()1
2e 1(1)1x g x x x =-
->-+'最小值即可求解.
【详解】（1）当时，，则，，
0a =()(1)e x f x m x =-()e x
f x mx '=0m >
15 / 18
令，得，令
，得.
()0f x '>0x >()0
f x '<0x <故
在上单调递增，在上单调递减，
()
f x (0,)+∞(,0)-∞在处取得极小值，无极大值.
()f x ∴0x =()0f m =-（2）当时，，则，
1m =()()2
1e x f x x ax =--()e 2(e 2)x x f x x ax a x '=-=-当时，，
0a ≤20x
e a ->令
，，
()0f x '<⇒0x <()00
f x x >'⇒>所以函数在上单调递减，在上单调递增；()f x (,0)-∞(0,)+∞当时，由，解得或0，0a >()0f x '=ln 2x a =若即
时，令，或，
0ln 2a <1
2a >
()00ln 2f x x a <⇒<<'()00f x x >'⇒<ln 2x a >所以函数在上单调递减，在、上单调递增；()f x (0,ln 2)a (,0)-∞(ln 2,)a +∞若即时，，所以函数在R 上单调递减；
0ln 2a =1
2a =
()0f x '≥()f x 若即
时，令，或，
0ln 2a >1
02a <<
()0ln 20f x a x <'⇒<<()0ln 2f x x a <'>⇒0x >所以函数在上单调递减，在、上单调递增.()f x (ln 2,0)a (,ln 2)a -∞(0,)+∞（3）
对
恒成立，即
对
()ln 22(e 1)
x f x +≤+()
1,x ∞∀∈-+()ln 2e ln 1x m x x
≤-+-恒成立.
()
1,x ∞∀∈-+令
，则只需即可.
()()2e ln 1(1)
x g x x x x =-+->-min ln ()m g x ≤.
()1
2e 1(1)1x g x x x =-
->-+'易知
均在上单调递增，故在上单调递增且
1
2e 1
1,x y x y =-
-+=()1,∞-+()g x '()1,∞-+.
()00
g '=当
时，
单调递减；当
时，
单调递增.
()1,0x ∈-()()
0,g x g x '<()
0,x ∞∈+()()
0,g x g x '>.
()min ()02
g x g ∴==故，即的最大值为.
2
ln 20e m m ≤⇒<≤m 2
e 方法点睛：利用导数证明不等式的恒成立问题的求解策略：
形如
的恒成立的求解策略：
()()
f x
g x ≥1、构造函数法：令
，利用导数求得函数
的单调性与最小值，只需
()()()
F x f x g x =-()
F x 恒成立即可；
()min 0
F x ≥2、参数分离法：转化为或
恒成立，即
或
恒成立，只
()
a x ϕ≥()
a x ϕ≤()max
a x ϕ≥()min
a x ϕ≤需利用导数求得函数
的单调性与最值即可；
()
x ϕ3，数形结合法：结合函数的图象在
的图象的上方（或下方），进而得到不
()
y f x =()
y g x =等式恒成立.
19．（1）;（2）①
;②证明见解析
210x y --=(1
1,
1e e e --【分析】（1）求出导数，继而可得切线斜率为在的导数值，由，结合直线的点
1x =()11
f =斜式，可求出切线方程.
（2）①由题意知关于的方程
在上有三个不同的解，令，x ln ln x x
a x x x =
-
-(0,)+∞()0F x '=可得或，从而可求出函数的极值，又结合当时，，当
1x =e 0x →()F x →+∞，即可求出实数的取值范围.
,()1x F x →+∞→a ②令
，则
，即，ln x
t x =
11a t t =--2
1212(1)10,10,10t a t a t t a t t a +-+-=+=-<=-<通过导数探究函数
的性质，可知
，从而可证明ln ()x t x x =
12312123ln ln ln ,x x x t t x x x ===
.
2
312123ln ln ln 1111x x x x x x ⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫---
= ⎪ ⎪
⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭【详解】（1）解：当时，
，所以
.
1a =()ln f x x x
=+()'1
1f x x =+
则当时，，即切线的斜率为2，又由，则，
1x =()'12f =()11f =()121y x -=-所以曲线在处的切线方程为.
()y f x =1x =210x y --=（2）①解：由题意可得，关于的方程在上有三个不同的解.
x 2
ln ln x ax x
x x =+-(0,)+∞即关于的方程
在上有三个不同的解.令
.x ln ln x x
a x x x =
-
-(0,)+∞ln ()ln x x F x x x x =--
17 / 18
所以
.
2222
1ln 1ln ln (1ln )(2ln )
(),0
(ln )(ln )x x x x x x F x x x x x x x x '----=-=>--显然，当时，，证明如下：
(0,)x ∈+∞2ln 0x x ->令
.
1212ln (0),2x y x x x y x x '-=->=-
=当时，，函数在单调递减；10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭0'<y 2ln y x x =-10,2⎛⎫
⎪⎝⎭当时，，函数在上单调递增.
1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭0'>y 2ln y x x =-10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭所以当
时，取最小值.所以，当时，.
12x =
2ln y x x =-1
1ln 0
2->(0,)x ∈+∞2ln 0x x ->令，可得或.将变化情况列表如下
()0F x '=1x =e ,(),()x F x F x 'x
(0,1)1
()
1,e e
(,)
e +∞()
F x '
-0+
0-
()
F x 极小值(1)1
F =
极大值
1
()1e F e e e
=
--
又当时，，当.0x →()F x →+∞,()1x F x →+∞→所以，实数的取值范围为
.
a ()11,
1e e e --②由①可知，当时，
.
12301x x e x <<<<<ln 1ln ln ln 1x x x
a x x x x x x =
-=-
--令，则，即.ln x
t x =11a t t =--2
1212(1)10,10,10t a t a t t a t t a +-+-=+=-<=-<不妨设，则.又
，
12t t <120t t <<2ln 1ln ()(0),()x x
t x x t x x x '-=
>=当时，在上单调递增；(0,)x e ∈()0,()t x t x '
>(0,)e 当时，在上单调递减.
(,)x e ∈+∞()0,()t x t x '
<(,)e +∞显然，当时，；当时，.
(,)x e ∈+∞()0t x >(,)x e ∈+∞()0t x >所以
.
123
12123ln ln ln ,x x x t t x x x ===
所以
2
2
2
3121212312ln ln ln ln ln 11111x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
---=-- ⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪
⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎝
⎭⎝⎭()()()()()()2
2
2
122121212111111t t t t t t t t t =---=--=-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦
.
2[1(1)(1)]1a a =--+-=即.
2
312123ln ln ln 1111x x x x x x ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫---
= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭本题考查了函数切线方程的求解，考查了函数的零点与方程的根，考查了导数判断函数单调性，考查了导数求极值.求函数的切线方程时，常用的等量关系有两个，一是切点处的导数值为切线的斜率，二是切点既在切线上又在函数的图像上.。