2021年高三数学上学期期末考试卷含答案

数学
本卷须知：
1．本试卷由填空题和解答题两部分组成。

总分值160分，考试时间为120分钟。

2．答题前请您务必将自己的学校，姓名，考试号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上规定的地方。

3．答题时必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的规定位置，在其他位置做大一律无效。

第I 卷〔填空题〕
【一】填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分。

请把答案填写在答题卡相应位置上。

1.全集U =R ，集合A =(),0-∞，{}1,3,B a =--，假设()U C A B ≠∅，那么实数a
的取值范围是 。

2.
2(,)34i
a bi a
b R i
-=+∈-，那么a +b = 。

3.等差数列{}n a ，4610a a +=，前5项的和55S =，那么其公差为 。

4.命题〝20,0x x x ∀>+>〞的否定是 。

5.圆222x y r +=在点()00,x y 处的切线方程为200x x y y r +=，类似的，可以
求得椭圆22
182x y +=在〔2，1〕处的切线方程为 。

6.以双曲线2
213
x y -=的右焦点为焦点的抛物线标准方程
为 。

7.如图，矩形ABCD 由两个正方形拼成，那么∠CAE 的正切值为 。

8.直线sin 2xcos y θθ+=与圆224x y +=的公共点的个数是 。

9.在△ABC 中，假设2AB AC AB CB •=•=，那么边AB 的长等于 。

10.P
是椭圆22
1124
x y +=上的动点，12,F F 是椭圆的两个焦点，那么
12PF PF •的取值范围是 。

11.计算：sin10cos 20sin 30cos 40= 。

12.函数()y f x =在点(2,(2))f 处的切线为由y =2x -1，那么函数
2()()g x x f x =+在点(2,(2))g 处的切线方程为 。

13.方程
1
2sin()1
x x π=-在区间[-2018，2019]所有根之和等于 。

14.不等式228()a b b a b λ+≥+对于任意的,a b R ∈恒成立，那么实数λ的取值范围为 。

第II 卷〔解答题〕
【二】解答题：本大题共6小题，共90分。

请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、求证过程或演算步骤。

15.集合{}2|320A x x x =-+≤，集合B 为函数22y x x a =-+的值域，集合
{}2|40C x x ax =--≤，命题p :A B ≠∅;命题q :A C ⊆。

〔1〕假设命题p 为假命题，求实数a 的取值范围； 〔2〕假设命题p q ∧为真命题，求实数a 的取值范围。

16.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 满足bcosC +
1
2
c =a 。

〔1〕求角B ；
〔2〕假设a ，b ，c 成等比数列，判断△ABC 的形状。

17.实数0q ≠，数列{}n a 的前n 项和n S ，10a ≠，对于任意正整数m ，
n 且m >n ，m n m n m S S q S --=恒成立。

〔1〕证明数列{}n a 是等比数列；
〔2〕假设正整数i ，j ，k 成公差为3的等差数列，i S ，j S ，k S 按一定顺序排列成等差数列，求q 的值。

18.有一海湾，海岸线为近似半个椭圆〔如图〕，椭圆长轴端点为A ，
B ，AB 间距离为3km ，椭圆焦点为
C ，
D ，CD 间距离为2km ，在C ，D 处分别有甲，乙两个油井，现准备在海岸线上建一度假村P ，不考
虑风向等因素影响，油井对度假村废气污染程度与排出废气的浓度成正比〔比例系数都为1k 〕，与距离的平方成反比〔比例系数都为2k 〕，又知甲油井排出的废气浓度是乙的8倍。

〔1〕设乙油井排出的浓度为α〔α为常数〕度假村P 距离甲油井xkm ，度假村P 受到甲乙两油井的污染程度和记为()f x ，求()f x 的表达式并求定义域；
〔2〕度假村P 距离甲油井多少时，甲乙两油井对度假村的废气污染程度和最小？
19.函数4()1
x
x e f x e =+〔e 为自然对数的底数〕设方程()f x x =的一个根为
t ，且a >t ，()f a b =。

〔1〕求函数()f x 的导函数'()f x ；求导函数'()f x 的值域； 〔2〕证明：①a b >，②()()a f a b f b +>+。

20.，椭圆E :2
221(1)x y a a
+=>的上顶点为M 〔0，1〕，两条过M 点动弦
MA 、MB 满足MA MB ⊥。

〔1〕当坐标原点到椭圆E 的准线距离最短时，求此时椭圆E 的方程； 〔2〕假设直角三角形MAB 的面积的最大值为
27
8
，求a 的值； 〔3〕对于给定的实数a 〔a >1〕，动直线是否经过一个定点？如果经过，求出该定点的坐标〔用a 表示〕否那么，说明理由。

参考答案
1.0a ≥
； 2.35； 3.2； 4. 20,0x x x ∃>+≤； 5.142
x y +=； 6.28y x =； 7.13
； 8.1； 9.2； 10.[]4,4-； 11.1
16
； 12.6x -y -5=0； 13.4 020； 14.[]8,4-
16.解：〔1〕
1
sin cos sin sin 2
B C C A
+=，
1
sin cos sin sin cos cos sin 2B C C B C B C +=+，
1cos 2B =，3
B π
=，
〔2〕2222,b ac b a c ac ==+-，2220a c ac +-=，a =b =c ，所以三角形为等边三角形。

17.解;〔1〕令m =1， 11n n S a qS --=，11n n S a qS +-=，两式相减得：
1(2)n n a qa n +=≥，
令n =2， 21a qa =，所以数列{}n a 是等比数列，
〔2〕不妨设,3,6i i i ++，假设36,,i i i S S S ++成等比数列，362i i i S S S ++=+，
333i i q S q S +=，q =1，
假设36,,i i i S S S ++成等比数列，362i i i S S S ++=+，360i i q S q S +=，32q =， 假设36,,i i i S S S ++成等比数列，632i i i S S S ++=+，3360i i q S q S ++=，32
q =，
19.解：〔1〕'
244
()11(1)2x x x x e f x e e e
==
≤+++，导函数'()f x 的值域(]0,1， 〔2〕设()()g x f x x =-，那么''()()10g x f x =-≤，所以()g x 在R 上是减函
数，a >t
()()0g a g t <=，()()0g a f a a =-<，()f a a <，()f a b =，即a b >，设
()()h x f x x =+，那么''()()10h x f x =+≥，所以()g x 在R 上是增函数，a b >，
()()h a h b >，即()()a f a b f b +>+。

20.〔1〕2212a c d c c +==
≥，当且仅当c =1， 椭圆E 的方程为2
212
x y += 〔2〕由0MA MB ⋅=知MA MB ⊥，从而直线MA 与坐标轴不垂直， 故可设直线MA 的方程为1y kx =+，直线MB 的方程为11y x k
=-+ 将1y kx =+代入椭圆C 的方程，整理得 2222(1)20a k x a kx ++=
解得0x =或22221a k x a k -=+，故点A 的坐标为222
2222
21(,)11a k a k a k a k --++ 同理，点B 的坐标为222
22222(,)a k k a k a k a
-++
S =42422222
22
21
2(1)2(1)()
(1)(1)
k a k k k
a a a k k a a k k
+
+=⨯++++
=4
4
24422
222(12)(1)(2)
t a a a a a a t a t
t
⨯=-+++-+43222272(1)18a a a a a ≤==--， 所以a =3
〔3〕由〔2〕知直线l 的斜率为2222
2222222222
11221k a a k k a a k a k a k
k a a k ---++--
++=221(1)k a k -+
直线l 的方程为
2222
222
2
2
12()(1)k a k k a y x a k k a k a --=-++++，即
222211(1)1
k a y x a k a --=-++ ∴直线l 过定点2210,1a a ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭。