2011年广东省教研室推荐高考必做38套(33)(数学理)

2011年广东省教研室推荐高考必做38套（33）
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1.集合{4,5,3(3)}M m m i =-+-（其中i 为虚数单位），{9,3}N =-，且M N ≠∅，则实数m 的值为
( )
A ．3-
B ．3
C ．3或3-
D ．1- 2.函数()cos f x x x =的导函数()f x '在区间[],ππ-上的图像大致是
A. B. C. D. 3. 若||1,||2,a b c a b ===+且c a ⊥,则向量a 与b 的夹角为
A . 0
30 B. 0
60 C. 0
120 D. 0
150 4.如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2
的等腰三角形，俯视图是
半径为1的半圆，则该几何体的体积是（ ） A B ．1
2
π C D 5.等比数列{}n a 中，36a =，前三项和3
30
4S xdx =⎰
，则公比q 的值为
A. 1
B.12-
C.1或12-
D.－1或1
2-
6.函数()sin()(0,0,||)2
f x A x A π
ωφωφ=+>><的部分图象如图示，
则将()y f x =的图象向右平移
6
π
个单位后，得到的图象解析式为 A.y =sin 2x B. y =cos2x C. y =2sin(2)3x π+ D. y =sin(2)6x π-
7. 过双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交
点分别为,B C ．若1
2
AB BC =
，则双曲线的离心率是 ( ) 正视图
俯视图
侧视图
N
M C A
B
O
第9题图
8. 用四个单位正方形拼成一个边长为2的正方形C ，在C 的内部或边界上任意取五个点， 则必存在某两点的距离一定不大于常数d ，d 的最小值为（ ） A.1 B.2 C.2 D.22
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 把答案填在题中横线上 . 9. 一个算法的程序框图如右图所示,则该程序输出的结果为________ 10. 若2
9
1(ax x
-的展开式中常数项为84，则a =________，其展开式中二项式系数之和为________________. (用数字作答)
11.设O 为坐标原点，点M 坐标为)1,2(，若),(y x N 满足不等式组：
⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤-+≤+-,1,0122,034x y x y x 则OM ⋅的最大值为 12. 给出下列四个命题：
①命题“0,2
≥∈∀x R x ”的否定是“0,2
≤∈∃x R x ”；
②线性相关系数r 的绝对值越接近于1，表明两个随机变量线性相关性越强； ③若a,b []；成立的概率是则不等式4
41,1,022π<+∈b a
④函数)2(log 22+-=ax x y 在[)∞+，
2上恒为正，则实数a 的取值范围是⎪⎭
⎫ ⎝⎛
∞-25， 其中真命题的序号是 。

（请填上所有真命题的序号） （二）选做题（13～15题，考生只能从中选做两题）
13． (坐标系与参数方程选做题) 如图，AB 是半径为１的圆的一条直径， C 是此圆上任意一点，作射线AC ，在AC 上存在点P ，使得
1AP AC ⋅=, 以A 为极点，射线AB
为极轴建立极坐标系，则圆的方程为 、 动点P 的轨迹方程为 ．
14．（几何证明选讲选做题）如图，点B 在⊙O 上， M 为直径AC 上一点，BM 的延长线交⊙O 于N ，45BNA ∠= ，若⊙O 的半径为，OM ， 则MN 的长为 ．
15．(不等式选讲选做题)若关于x 的不等式2
124x x a a +--<-有实数解，则实数a 的取值范围是
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）
在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知.3tan )(2
22bc A a c b =
-+
（I ）求角A ； （II ）若a=2，求△ABC 面积S 的最大值。

17.(本题满分12分)
在高二年级某班学生在数学校本课程选课过程中，已知第一小组与第二小组各有六位同学.每位同学都只选了一个科目，第一小组选《数学运算》的有1人，选《数学解题思想与方法》的有5人，第二小组选《数学运算》的有2人，选《数学解题思想与方法》的有4人，现从第一、第二两小组各任选2人分析选课情况.
（Ⅰ）求选出的4 人均选《数学解题思想与方法》的概率；
（Ⅱ）设ξ为选出的4个人中选《数学运算》的人数，求ξ的分布列和数学期望．
18．（本小题满分14分）
如图，△ABC 内接于圆O,AB 是圆O 的直径，2AB =，1BC =，设AE 与平面ABC 所成的角为θ,且
tan 2
θ=
,四边形DCBE 为平行四边形，DC ⊥平面ABC ． （1）求三棱锥C －ABE 的体积；
（2）证明：平面ACD ⊥平面ADE ；
（3）在CD 上是否存在一点M ，使得MO//平面ADE ？ 证明你的结论．
19.（本小题满分14分）
已知A 、B 、C 是椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x m 上的三点，其中点A 的坐标为)0,32(，BC 过椭圆m 的
中心，且||2||,0==∙． （1）求椭圆m 的方程；
（2）过点),0(t M 的直线l （斜率存在时）与椭圆m 交于两点P ，Q ，设D 为椭圆m 与y 轴负半轴的交点，且||||=.求实数t 的取值范围．
20.（本小题满分14分） 已
知
二
次
函
数
t t t t y l c bx ax x f .20(8:,)(212≤≤+-=++=其中直线为常数）；
2:2=x l .若直线l 1、l 2与函数f （x ）的图象以及l 1，y 轴与函数f （x ）
的
图象所围成的封闭图形如阴影所示. （Ⅰ）求a 、b 、c 的值
（Ⅱ）求阴影面积S 关于t 的函数S （t ）的解析式；
（Ⅲ）若,ln 6)(m x x g +=问是否存在实数m ，使得y=f （x ）的图象与y=g （x ）的图象有且只有两个
不同的交点？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由.
21. （本小题满分14分）
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1(1)
4,2,(2,)2
n n n n a S na n n -==+-≥∈N * （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设数列{}n b 满足：14b =，且2
1(1)2,()n n
n b b n b n +=---∈N *， 求证：,(2,)n n b a n n >≥∈N *；
（3
）求证：233445
1
1111
(1)(1)(1)(1)n n b b b b
b b b b +++++
<
2011年广东省教研室推荐高考必做38套
数学（理科）参考答案
1.B 解析：M
N ≠∅则M 中的复数必须为实数，所以m=3；实部恰为-9, ∴选：B
2.A 解析：x x x x f sin cos )(-='，由1)0(='f 及02)2
(<-
='π
πf 而函数()f x '在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡2,0π上为减函数。

故选A
3. C 解析：由><⋅⨯=-=⋅⇒=⋅+=⋅b a b a b a a c a
,cos 21102，得：
120,>=<b a
4.D 解析：由三视图知几何体的直观图是半个圆锥，21
132v π⋅==，
5.C 解析：∵3
30
4S xdx =
⎰
＝18，∴23
122(1)12210a a a q q q q +=
+=⇒--=
1q ⇒=或1
2
q =-
6. D 解析： 由图像知A=1,
311341264
T πππ
=-=
,T π=⇒2ω=,由 sin(2)16π
φ⨯
+=,||2πφ<
得
32π
π
φ+=
⇒6π
φ=
⇒()sin(2)6f x x π=+，则图像向右平移6
π
个单位后
得到的图像解析式为sin[2()]sin(2)666
y x x πππ
=-+=-
7. C 解析：对于(),0A a ，则直线方程为0x y a +-=，直线与两渐近线的交点为B ，C ，
22,,(,)a ab a ab B C a b a b a b a b ⎛⎫- ⎪
++--⎝⎭
，则有 22
2222
22(,),,a b a b ab ab BC AB a b a b a b a b ⎛⎫=-=- ⎪--++⎝⎭
，因22
2,4,AB BC a b e =∴=∴=8. B 解析：由题意知必有两点位于同一小正方形内.故d 的最小值应为小正方形的对角线长2。

9.
45
解析： 5
4541431321211=⨯+⨯+⨯+⨯=
s 10. 1, 512
解析： 通项为()
)9,...,1,0(19291=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=-+k x ax
C T k
k
k
k ，当6=k 时，1843
69=⇒=a a C 。

展开式中二
项式系数之和为51229
= 11. 12
解析：OM ⋅y x +=2，由线性规划的知识，可知：当10,1==y x 时，y x +2有最大值为12。

12. ②④
解析： 由几何概型求法知：16
121412
ππ=⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=P ，故③错误；
由1202
>+-⇒>ax x y 在[)+∞,2上恒成立，分离变量得：x x a 1+
<.故2
5
)1(min =+<x x a 故④正确。

13. 2cos ρθ=，1
cos 2ρθ=
解析：易得圆的方程为2cos ρθ=，设0(,),(,)C P ρθρθ，则002cos ,1ρθρρ== ∴动点P 方程为
1cos 2ρθ=.
14．2
解析：∵45BNA ∠=∴90BOA ∠=,∵OM=2,BO=∴BM=4,
∵BM·MN=CM·MA=(+2)(-2)=8，∴MN=2． 15. 3a >或1a < 解析：
()()12123x x x x +--≤+--= 3123x x ∴-≤+--≤
由不等式2
412a a x x ->+--有实数解，知243a a ->-，解得3a >或1a <.
16.解：（I ）由已知得2
3
sin 23cos sin 2222A A A bc a c b ⇒=⋅-+ ……3分
又在锐角△ABC 中，所以A=60° ……5分 （II ）因为a=2，A=60°所以bc A bc S bc c b 4
3
sin 21,42
2
==
+=+ ……7分 而42422
2
≤⇒≥+⇒≥+bc bc bc bc c b ……9分 又344
3
43sin 21=⨯≤==
bc A bc S ……12分 所以△ABC 面积S 的最大值等于3
17. 解：（Ⅰ）设“从第一小组选出的2人选《数学解题思想与方法》”为事件 A ，“从第二小组选出的2
人选《数学解题思想与方法》”为事件B .由于事 件A 、B 相互独立， 且
25262
()3C p A C ==, 242
62()5
C P B C ==.……4分
所以选出的4人均考《数学解题思想与方法》的概率为
224
()()()3515
P A B P A P B ⋅=⋅=⨯= …………………………… 6分
（Ⅱ）设ξ可能的取值为0,1,2,3.得
4(0)15P ξ==,21112
552442222
666622
(1)45
C C C C C P C C C C ξ===+=, 15226611
(3).45
c p c c ξ===
2
(2)1(0)(1)(3)9
p p p p ξξξξ==-=-=-==
…………… 9分 ξ
∴ ξ
的数学期望 42221
0123115459
45
E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯= …………12分 18. 解：
（１）∵四边形DCBE 为平行四边形
∴//CD BE
∵ DC ⊥平面ABC ∴BE ⊥平面ABC
∴
EAB ∠为AE 与平面ABC 所成的角，即EAB ∠＝θ--------------------2分
在R ｔ△ABE 中，由tan BE AB θ=
=2AB =
得BE
=分 ∵AB 是圆O 的直径 ∴BC AC ⊥ ∴AC =
= ∴122
ABC S AC BC ∆=
⋅=----------------------------------------4分 ∴1
3
C ABE E ABC ABC V V S BE --∆==
⋅1132==------------------5分 （2）证明：∵ DC ⊥平面ABC ,BC ⊂平面ABC ∴DC BC ⊥． --------------------6分
∵BC AC ⊥且DC AC C = ∴BC ⊥平面ADC ．
∵DE//BC ∴DE ⊥平面ADC ---------------------------------------8分 又∵DE ⊂平面ADE ∴平面ACD ⊥平面ADE --------9分
（3）在CD 上存在点M ，使得MO
平面ADE ，该点M 为DC 的中点．------------10分
证明如下：
如图，取BE 的中点N ，连MO 、MN 、NO ，
∵M 、N 、O 分别为CD 、BE 、AB 的中点，
∴．DE MN //----------------------------------------------11分 ∵DE ⊂平面ADE ，MN ⊄平面ADE ，
∴ADE MN 平面// ------------------------------------------------------12分 同理可得NO//平面ADE ．
∵MN NO N =，∴平面MNO//平面ADE ．--------------------13分
∵MO ⊂平面MNO ，∴MO//平面ADE ． -------------14分（其它证法请参照给分） 19. 解（1）∵BC AC BC 且||2||=过（0，0） 则0|
|||=⋅=BC AC AC OC 又
∴∠OCA=90°， 即)3,3(C …………2分
又∵11212:
,322
2
2=-+=c y x m a 设将C 点坐标代入得
11231232
=-+C
解得 c 2=8，b 2
=4 ∴椭圆m ：14
122
2=+y x …………5分 （2）由条件D （0，－2） ∵M （0，t ）
1°当k=0时，显然－2<t<2 …………6分 2°当k≠0时，设t kx y l +=:
⎪⎩
⎪⎨⎧+==+t kx y y x 14
122
2 消y 得 01236)31(2
22=-+++t ktx x k …………8分 由△>0 可得 22124k t +< ①………………9分 设),(),,(),,(002211y x H PQ y x Q y x P 中点 则22103132k kt x x x +=+= 2
031k t
t kx y +=+= ∴)31,313(2
2k
t
k kt H ++-
…………11分 由k
k PQ
OH DH 1
||||-=⊥∴=即
∴
22
23110313231k t k k kt k t
+=-=-+-++化简得 ②
∴t>1 将①代入②得 1<t<4
∴t 的范围是（1，4）………………13分 综上t ∈（－2，4） ………………14分 20. 解：（I ）由图形可知二次函数的图象过点（0，0），（8，0），并且f(x)的最大值为16
则2
2
0188080416,4c a a b c b c ac b a
⎧
⎪==-⎧⎪⎪⋅+⋅+==⎨⎨=⎪-⎪⎩=⎪⎩解之得：， ∴函数f （x ）的解析式为x x x f 8)(2
+-=…………………………4分
（Ⅱ）由⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=x
x y t t y 882
2
得,8,,0)8(8212
t x t x t t x x -==∴=---
∵0≤t ≤2，∴直线l 1与f （x ）的图象的交点坐标为（)8,2
t t t +-………………6分 由定积分的几何意义知：
2
22220
()[(8)(8)][(8)(8]t t
S t t t x x dx x x t t dx =-+--++-+--+⎰⎰
2
3322220[(8)(4)][(4)(8)]33t
t
x x t t x x x t t x =-+--++-+--+⋅
32440
101633
t t t =-+-+
………………………………9分 （Ⅲ）令.ln 68)()()(2
m x x x x f x g x ++-=-=ϕ
因为x ＞0，要使函数f （x ）与函数g （x ）有且仅有2个不同的交点，则函数
m x x x x ++-=ln 68)(2ϕ的图象与x 轴的正半轴有且只有两个不同的交点
)0()3)(1(2682682)(2'
>--=+-=+-=∴x x
x x x x x x x x ϕ
∴x=1或x=3时，0)('
=x ϕ
当x ∈（0，1）时，)(,0)('
x x ϕϕ>是增函数； 当x ∈（1，3）时，)(,0)('x x ϕϕ<是减函数 当x ∈（3，+∞）时，)(,0)('x x ϕϕ>是增函数
∴;7)1()(-=m x ϕϕ极大值为153ln 6)3()(-+=m x ϕϕ极小值为 ……12分 又因为当x →0时，-∞→)(x ϕ；当+∞→+∞→)(x x ϕ时，
所以要使0)(=x ϕ有且仅有两个不同的正根，必须且只须⎩⎨⎧>=⎩⎨⎧<=0)1(0)3(0)3(0)1('ϕϕϕϕ或 即⎩⎨⎧>-=-+⎩⎨⎧<-+=-0
70153ln 60153ln 607m m m m 或， ∴m=7或.3ln 615-=m ∴当m=7或.3ln 615-=m 时，函数f （x ）与g （x ）的图象有且只有两个不同交点。

…………14分
21. 解：（1）当3n ≥时，(1)22n n n n S na -=+-
， 11(1)(2)(1)22n n n n S n a ----=-+-，可得：11(1)22
n n n n a na n a --=---⨯ 11(3,)n n a a n n -∴-=≥∈N *.122221,a a a +=+-2 3.a ∴=
可得，4,(1)1.(2,)n n a n n n =⎧=⎨+≥∈⎩N *
………4分 （2）1︒当n 2=时，22122143b b a =-=>=，不等式成立.
2︒假设当(2,)n k k k =≥∈N *时，不等式成立，即 1.k b k >+那么，当1n k =+时，
21(1)2(1)2222(1)222,k k k k k k b b k b b b k b k k k +=---=-+->->+-=≥+ 所以当1n k =+时，不等式也成立。

根据（1︒），（2︒）可知，当2,n n ≥∈N *时，.n n b a > ………9分
（3）设1()1(1),()10,11x f x n x x f x x x
-'=+-=
-=<++ ()f x ∴在(0,)+∞上单调递减，()(0),1(1).f x f n x x ∴<∴+<………（Ⅰ） 欲证式等价于
31)11ln()11ln()11ln(14332<++⋅⋅⋅++++
+n n b b b b b b
由（Ⅰ）式知左边 3111111111121433214332<-=+++<+++<+++n n n n n a a a a a a a a b b b b b b
故得证。

………14分。