【志鸿优化设计】高考数学(人教版,文科)一轮总复习：课时规范练24 平面向量应用举例

课时规范练24平面向量应用举例
一、选择题
1.已知三个力f1=(-2,-1),f2=(-3,2),f3=(4,-3)同时作用于某物体上一点,为使物体保持平衡,再加上一个力f4,则f4等于()
A.(-1,-2)
B.(1,-2)
C.(-1,2)
D.(1,2)
答案:D
2.已知m=(-5,3),n=(-1,2),当(λm+n)⊥(2n+m)时,实数λ的值为()
A. B.- C.- D.
答案:C
解析:由已知得|m|=,|n|=,m·n=11.
∵(λm+n)⊥(2n+m),
∴(λm+n)·(2n+m)=λm2+(2λ+1)m·n+2n2=0,
即34λ+(2λ+1)×11+2×5=0,解得λ=-.
3.已知向量a=(cosθ,sinθ),向量b=(,-1),则|2a-b|的最大值和最小值分别是()
A.4,0
B.4,2
C.16,0
D.4,0
答案:D
解析:由于|2a-b|2=4|a|2+|b|2-4a·b=8-4(cosθ-sinθ)=8-8cos,易知0≤8-8cos≤16,故|2a-b|的最大值和最小值分别为4和0.
4.已知平面上三点A,B,C满足||=6,||=8,||=10,则的值等于()
A.100
B.96
C.-100
D.-96
答案:C
解析:∵||=6,||=8,||=10,62+82=102,
∴△ABC为直角三角形,即·=0.∴····()=·=-||2=-100.
5.在△ABC中,有如下命题,其中正确的是()
①;②=0;③若()·()=0,则△ABC为等腰三角形;④若>0,则△ABC为锐角三角形.
A.①②
B.①④
C.②③
D.②③④
答案:C
解析:①中应为;④中·>0可化为·<0,∴∠B为钝角,∴△ABC为钝角三角形;②,③显然正确.
6.已知向量=(2,2),=(4,1),在x轴上存在一点P使有最小值,则P点的坐标是()
A.(-3,0)
B.(2,0)
C.(3,0)
D.(4,0)
答案:C
解析:设P点坐标为(x,0),则=(x-2,-2),=(x-4,-1).
·=(x-2)(x-4)+(-2)×(-1)=x2-6x+10=(x-3)2+1.
当x=3时,·有最小值1.故点P坐标为(3,0),故选C.
二、填空题
7.已知e1,e2是夹角为的两个单位向量,a=e1-2e2,b=k e1+e2.若a·b=0,则实数k的值为.
答案:
解析:由题意知a·b=(e1-2e2)·(k e1+e2)=0,即k+e1·e2-2k e1·e2-2=0,即k+cos-2k cos-2=0,化简可求得k=. 8.在平行四边形ABCD中,已知AB=2,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中点,则=.
答案:-
解析:··()
=·()=·
=1-×1×2cos60°-×4=-.
9.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若(3b-c)cos A=a cos C,S△ABC=,则=.
答案:-1
解析:依题意得(3sin B-sin C)cos A=sin A cos C,即3sin B cos A=sin A cos C+sin C cos A=sin(A+C)=sin
B>0,于是有cos A=,sin A=.又因为S△ABC=·bc sin A=bc×,所以bc=3,·=bc cos(π-A)=-bc cos A=-3×=-1.
10.设向量a=(1,2m),b=(m+1,1),c=(2,m).若(a+c)⊥b,则|a|=.
答案:
解析:a+c=(3,3m),由(a+c)⊥b,可得(a+c)·b=0,即3(m+1)+3m=0,解得m=-,则a=(1,-1),故|a|=.
11.已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|+3|的最小值为.
答案:5
解析:以D为原点,分别以DA,DC所在直线为x,y轴建立如图所示的平面直角坐标系,设DC=a,DP=x.
∴D(0,0),A(2,0),C(0,a),B(1,a),P(0,x),=(2,-x),=(1,a-x),
∴+3=(5,3a-4x),
|+3|2=25+(3a-4x)2≥25,
∴|+3|的最小值为5.
三、解答题
12.已知非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|=|a|,求a+b与a-b的夹角.
解:将|a+b|=|a-b|两边同时平方得a·b=0;将|a-b|=|a|两边同时平方得:b2=a2.所以cos<a+b,a-b>=.所以<a+b,a-b>=60°.
13.在△ABC中,A=120°.
(1)若三边长构成公差为4的等差数列,求△ABC的面积.
(2)已知AD是△ABC的中线,若=-2,求||的最小值.
解:(1)因为A=120°,设三边长为a,a-4,a-8,
由余弦定理得a2=(a-4)2+(a-8) 2-2(a-4)(a-8)cos120°,
即a2-18a+56=0,所以a=14,a=4(舍),
S△ABC=×A B×AC×sin A=×10×6×=15.
(2)因为·=||||cos A=-2,
所以||·||=4.因为),
所以||2=(||2+||2+2·)=(||2+||2-4)≥(2||·||-4)=×(2×4-4)=1.
所以||2≥1(当且仅当|AB|=|AC|=2时等号成立).
所以||min=1.
14.已知A,B,C的坐标分别为A(3,0),B(0,3),C(cosα,sinα),α∈.
(1)若||=||,求角α的值;
(2)若=-1,求的值.
解:(1)∵=(cosα-3,sinα),=(cosα,sinα-3),
∴=(cosα-3)2+sin2α=10-6cosα,
=cos2α+(sinα-3)2=10-6sinα.
由||=||,可得,
即10-6cosα=10-6sinα,得sinα=cosα.
又∵α∈,∴α=.
(2)由·=-1,得(cosα-3)cosα+sinα(sinα-3)=-1,
∴sinα+cosα=.①
又=2sinαcosα.
由①式两边分别平方,得1+2sinαcosα=,
∴2sinαcosα=-,
∴=-.
15.已知△ABC的角A,B,C所对的边分别是a,b,c,设向量m=(a,b),n=(sin B,sin A),p=(b-2,a-2).
(1)若m∥n,求证:△ABC为等腰三角形;
(2)若m⊥p,边长c=2,角C=,求△ABC的面积.
(1)证明:∵m∥n,∴a sin A=b sin B,
即a·=b·,
其中R是三角形ABC外接圆半径,a=b,
∴△ABC为等腰三角形.
(2)解:由题意可知m·p=0,
即a(b-2)+b(a-2)=0,∴a+b=ab.
由余弦定理可知,4=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab,
即(ab)2-3ab-4=0,
∴ab=4(舍去ab=-1),
∴S=ab sin C=·4·sin.
四、选做题
1.设向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),其中0<α<β<π,若|2a+b|=|a-2b|,则β-α=()
A. B.-
C. D.-
答案:A
解析:由|2a+b|=|a-2b|得3|a|2-3|b|2+8a·b=0,
而|a|=|b|=1,故a·b=0,∴cosαcosβ+sinαsinβ=0,
即cos(α-β)=0,由于0<α<β<π,
故-π<α-β<0,∴α-β=-,即β-α=.
2.已知平面向量α,β(α≠0,α≠β)满足|β|=1,且α与β-α的夹角为120°,则|α|的取值范围是. 答案:
3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(cos(A-B),sin(A-B)),n=(cos B,-sin B),且m·n=-.
(1)求sin A的值;
(2)若a=4,b=5,求角B的大小及向量方向上的投影.
解:(1)由m·n=-,得cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin B=-,
∴cos(A-B+B)=-,∴cos A=-.
∵0<A<π,∴sin A=.
(2)由正弦定理,有,
∴sin B=.
∵a>b,∴A>B,∴B=.
由余弦定理,有(4)2=52+c2-2×5c×,
∴c=1或c=-7(舍去).
故向量方向上的投影为||cos B=c cos B=1×.。