2017-2018学年高中数学北师大版选修2-3课件：第一章 5 第二课时 二项式系数的性质

解：(1)令 x＝0，则 a0＝－1. 令 x＝1，则 a0＋a1＋…＋a7＝27＝128， ∴a1＋a2＋…＋a7＝129. (2)令 x＝－1，则 a0－a1＋…＋a6－a7＝(－4)7， 由①－②得，2(a1＋a3＋a5＋a7)＝128－(－4)7， ∴a1＋a3＋a5＋a7＝8256. ② ①
[精解详析] (1)在等式(1－2x)2 013＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋ a2 013x2 013 中，令 x＝0，得 1＝a0. ∴a0＝1. (2)在等式中，令 x＝1，得－1＝a0＋a1＋a2＋…＋a2 a1＋a2＋…＋a2 013＝－2. (3)令 x＝－1，x＝1，
2 013 ＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 012－a2 013， 3 得 －1＝a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2 012＋a2 013，
[思路点拨]
观察数列各项在杨辉三角中的位置，把各项
还原为二项展开式系数，利用组合的性质求和．
[精解详析]
1 由图知，数列中的首项是 C2 2，第 2 项是 C2，第 3
1 2 1 项是 C2 ，第 4 项是 C ，…，第 17 项是 C ，第 18 项是 C 3 3 10 10，第 19
项是 C2 11.
答案：2n－1
2．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第________行中 从左到右第 14 与第 15 个数的比为 2∶3.
1 解析：由杨辉三角知，第 1 行中的数是 C0 ， C 1 1；第 2 行中的数 1 2 0 1 2 3 是 C0 2，C2，C2；第 3 行中的数是 C3，C3，C3，C3；…；第 n 0 2 n 行中的数是 Cn ，C1 ， C ， … ， C n n n.设第 n 行中从左到右第 14 与 14 第 15 个数的比为 2∶3，则 C13 n ∶Cn ＝2∶3，解之得 n＝34.
r 1 r 式系数满足组合数的性质 Cr n＋1＝Cn ＋Cn. 等距离 ”的两个二项式系数相等， ③与首末两端“_______ 即二项
－
n－r r C n 式系数具有对称性．Cn＝_____.
1．二项式系数性质类似于组合数的两个性质：
n－r (1)Cr ＝ C n n ； r－1 r (2)Cr ＝ C ＋ C ＋ n 1 n n.
提示：两端都是 1，与两端 1 等距离的项的系数相等，
n－r 即 Cr ＝ C n n .
问题 2：相邻两行，系数有什么规律？
提示： 在相邻的两行中， 除 1 以外的每一个数都等于它“肩
r－1 r 上”两个数的和，即 Cr ＝ C n＋1 n ＋Cn.
“杨辉三角”及其规律 (1)杨辉三角
(2)“杨辉三角”蕴含的规律 ①在同一行中，每行两端都是 1. ②在相邻的两行中，除 1 以外的每一 个数都等于它“肩上”两数的和．即二项
答案：34
二项展开式中系数的和
[例 2] ∈R)． (1)求 a0 的值； (2)求 a1＋a2＋a3＋…＋a2 013 的值； (3)求 a1＋a3＋a5＋…＋a20 13 的值． [思路点拨] 可在已知的等式中分别取 x＝0,1，－1，得各系 数和、差的关系，进而求解． (10 分)设(1－2x)2 013＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 013x2 013(x
3．(1－2x)15 的展开式中的各项系数和是 A．1 C．215 B．－1 D．315
(
)
解析：令 x＝1 时(－1)15＝－1.
答案：B
4．若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0 求： (1)a1＋a2＋…＋a7； (2)a1＋a3＋a5＋a7； (3)|a0|＋|a1|＋…＋|a7|.
1 2 2 1 2 1 2 2 ∴S19＝(C2 ＋C2 )＋(C1 3＋C3)＋(C4＋C4)＋…＋(C10＋C10)＋C11 1 1 1 2 2 2 ＝(C1 ＋ C ＋ C ＋…＋ C ) ＋ (C ＋ C ＋…＋ C 2 3 4 10 2 3 11)
2＋10×9 3 ＝ ＋C12 ＝54＋220＝274. 2
§5 第 一 章 二 项 式 定 理
第 一 课 时 二 项 式 系 数 的 性 质
理解教材新知
知识点
考点一 把握热点考向 考点二
应用创新演练
§ 5
二项式定理
第二课时
二项式系数的性质
二项式系数的性质
n 依次取 1,2,3，…时，(a＋b)n 展开式的二项式系数如图 所示：
观察此表，思考下列问题．
问题 1：同一行中，系数有什么规律？
(3 分)
013，∴
(6 分)
相减，得－1－32 013＝2(a1＋a3＋…＋a2 013)． 1 ∴a1＋a3＋…＋a2 013＝－ (1＋22 013)． 2
(8 分) (10 分)
[一点通]
(1)赋值法是求二项展开式系数和问题常用的方
法，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值， 也可以取几组值，解决问题时要避免漏项等情况． (2)一般地，二项式展开式 f(x)的各项系数的和为 f(1)，奇 1 1 次项系数和为 [f(1)－f(－1)]，偶次项系数和为 [f(1)＋f(－1)]． 2 2
[一点通]
解决与杨辉三角有关问题的一般思路：
(1)观察：对题目要横看、竖看、隔行看、连续看，多角度观 察； (2)找规律：通过观察找出每一行的数之间，行与行之间的数 据的规律．
1．如图是一个类似杨辉三角的递推式，则第 n 行 的首尾两个数均为________．
解析：观察规律可知：第 n 行的首尾两个数均为 2n－1.
7－ r r (3)∵Tr＋1＝Cr (3 x ) ( － 1) ， 7
∴a2k－1>0(k∈N＋)，a2k<0(k∈N＋)． ∴|a0|＋|a1|＋…＋|a7| ＝－a0＋a1－a2＋a3－…－a6＋a7 ＝47＝16 384.
2．从表中可以看出(a＋b)n 的展开式中二项式系数先增加，后
1 2 n n 减少，各二项式系数和等于 2n，而 C0 ＋ C ＋ C ＋…＋ C ＝ 2 . n n n n
与“杨辉三角”有关的问题源自[例 1]如图所示，在“杨辉三角”中，斜
线 AB 的上方，从 1 开始箭头所示的数组成一 个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，…记其前 n 项 和为 Sn，求 S19 的值．