数学八年级上册 全等三角形单元测试卷 (word版,含解析)

数学八年级上册 全等三角形单元测试卷 （word 版，含解析）
一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）
1．如图，在菱形ABCD 中，∠ABC=120°，AB=10cm ，点P 是这个菱形内部或边上的一点．若以P ，B ，C 为顶点的三角形是等腰三角形，则P ，A （P ，A 两点不重合）两点间的最短距离为______cm ．
【答案】10310-
【解析】
解：连接BD ，在菱形ABCD 中，
∵∠ABC =120°，AB =BC =AD =CD =10，∴∠A =∠C =60°，∴△ABD ，△BCD 都是等边三角形，分三种情况讨论：
①若以边BC 为底，则BC 垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短”，即当点P 与点D 重合时，PA 最小，最小值PA =10；
②若以边PB 为底，∠PCB 为顶角时，以点C 为圆心，BC 长为半径作圆，与AC 相交于一点，则弧BD （除点B 外）上的所有点都满足△PBC 是等腰三角形，当点P 在AC 上时，AP 最小，最小值为10310-；
③若以边PC 为底，∠PBC 为顶角，以点B 为圆心，BC 为半径作圆，则弧AC 上的点A 与点D 均满足△PBC 为等腰三角形，当点P 与点A 重合时，PA 最小，显然不满足题意，故此种情况不存在；
综上所述，PA 的最小值为10310-（cm ）．
故答案为：10310-．
点睛：本题考查菱形的性质、等边三角形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
2．如图，在01A BA △中，20B ∠=︒，01A B A B =，在1A B 上取点C ，延长01A A 到2A ，
使得121A A AC =；在2A C 上取一点D ，延长12A A 到3A ，使得232A A A D =；…，按此做法进行下去，第n 个等腰三角形的底角n A ∠的度数为__________．
【答案】11()
802n -︒⋅.
【解析】
【分析】
先根据等腰三角形的性质求出∠BA 1 A 0的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠CA 2A 1，∠DA 3A 2及∠EA 4A 3的度数，找出规律即可得出第n 个等腰三角形的底角∠A n 的度数．
【详解】
解：∵在△A 0BA 1中，∠B=20°，A 0B=A 1B ， ∴∠BA 1 A 0= 1801802022
B ︒︒︒
-∠-= =80°， ∵A 1A 2=A 1C ，∠BA 1 A 0是△A 1A 2C 的外角，
∴∠CA 2A 1= 108022
BA A ︒
∠= =40°； 同理可得，
∠DA 3A 2=20°，∠EA 4A 3=10°，
∴第n 个等腰三角形的底角∠A n = 11()
802n -︒⋅.
【点睛】
本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠CA 2A 1，∠DA 3A 2及∠EA 4A 3的度数，找出规律是解答此题的关键．
3．如图，线段AB ，DE 的垂直平分线交于点C ，且72ABC EDC ∠=∠=︒，
92AEB ∠=︒，则EBD ∠的度数为 ________ ．
【答案】128︒
【解析】
【分析】
连接CE ，由线段AB ，DE 的垂直平分线交于点C ，得CA=CB ，CE=CD ，
ACB=∠ECD=36°，进而得∠ACE=∠BCD ，易证∆ACE ≅∆BCD ，设∠AEC=∠BDC=x ，得则
∠BDE=72°-x ，∠CEB=92°-x ，BDE 中，∠EBD=128°，根据三角形内角和定理，即可得到答案．
【详解】
连接CE ，
∵线段AB ，DE 的垂直平分线交于点C ，
∴CA=CB ，CE=CD ，
∵72ABC EDC ∠=∠=︒=∠DEC ，
∴∠ACB=∠ECD=36°，
∴∠ACE=∠BCD ，
在∆ACE 与∆BCD 中，
∵CA CB ACE BCD CE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴∆ACE ≅
∆BCD （SAS ）， ∴∠AEC=∠BDC ，
设∠AEC=∠BDC=x ，则∠BDE=72°-x ，∠CEB=92°-x ，
∴∠BED=∠DEC-∠CEB=72°-（92°-x ）=x-20°，
∴在∆BDE 中，∠EBD=180°-（72°-x ）-（x-20°）=128°．
故答案是：128︒．
【点睛】
本题主要考查中垂线的性质，三角形全等的判定和性质定理以及三角形内角和定理，添加
辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．
4．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝5，M，N分别是射线OA和OB上的动点，若△PMN周长的最小值为5，则∠AOB的度数为_____．
【答案】30°．
【解析】
【分析】
如图：分别作点P关于OB、AO的对称点P'、P''，分别连OP'、O P''、P' P''交OB、OA于M、N，则可证明此时△PMN周长的最小，由轴对称性，可证明△P'O P''为等边三角形，
∠AOB=1
2
∠P'O P''=30°.
【详解】
解：如图：分别作点P关于OB、AO的对称点P'、P''，分别连OP'、O 、P' 交OB、OA于M、N，
由轴对称△PMN周长等于PN+NM+MP=P'N+NM+MP"=P'P"
∴由两点之间线段最短可知，此时△PMN周长的最小
∴P'P"=5
由对称OP=OP'=OP"=5
∴△P'OP"为等边三角形
∴∠P'OP"=60
∵∠P'OB=∠POB，∠P"OA=∠POA
∴∠AOB=1
2
∠P'O P''=30°.
故答案为30°.
【点睛】
本题是动点问题的几何探究题，考查最短路径问题，应用了轴对称图形性质和等边三角形性质.
5．如图，∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2，B3…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记a1，第2个等边三角形的边长记为a2，以此类推，若OA1＝3，则a2=_______，a2019=_______.
【答案】6； 3×22018.
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及a2=2a1=6，得出
a3=4a1，a4=8a1，a5=16a1…进而得出答案．
【详解】
解：如图，
∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，
∴∠2=120°，
∵∠MON=30°，
∴∠1=180°-120°-30°=30°，
又∵∠3=60°，
∴∠5=180°-60°-30°=90°，
∵∠MON=∠1=30°，
∴OA1=A1B1=3，
∴A2B1=3，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，
∵∠4=∠12=60°，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，
∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，
∴a 2=2a 1=6，
a 3=4a 1，
a 4=8a 1，
a 5=16a 1，
以此类推：a 2019=22018a 1=3×22018
故答案是：6；3×22018．
【点睛】
此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出a 2=2a 1=6，a 3=4a 1，a 4=8a 1，a 5=16a 1…进而发现规律是解题关键．
6．如图，在△ABC 中，AB 的中垂线交BC 于D ，AC 的中垂线交BC 于E ，若∠BAC=126°，则∠EAD=_____°.
【答案】72°
【解析】
【分析】 根据AB 的中垂线可得BAD ∠，再根据AC 的中垂线可得EAC ∠，再结合∠BAC=126°即可计算出∠EAD .
【详解】
根据AB 的中垂线可得BAD ∠=B
根据AC 的中垂线可得EAC ∠=C ∠
18012654B C ︒︒︒∠+∠=-=
又 126BAD DAE EAC BAC ︒∠+∠+∠=∠=
+C+126B DAE ︒∴∠∠∠=
72DAE ︒∴∠=
【点睛】
本题主要考查中垂线的性质，重点在于等量替换表示角度.
7．如图，BD 是ABC 的角平分线，AE BD ⊥，垂足为F ，且交线段BC 于点E ，连
结DE ，若50C ∠=︒，设 ABC x CDE y ∠=︒∠=︒,
，则y 关于x 的函数表达式为
_____________．
【答案】80y x =-
【解析】
【分析】
根据题意，由等腰三角形的性质可得BD 是AE 的垂直平分线，进而得到AD ＝ED ，求出BED ∠的度数即可得到y 关于x 的函数表达式．
【详解】
∵BD 是ABC ∆的角平分线，AE BD ⊥
∴1122
ABD EBD ABC x ∠=∠=∠=︒，90AFB EFB ∠=∠=︒ ∴1902BAF BEF x ∠=∠=︒-
︒ ∴AB BE =
∴AF EF =
∴AD ED =
∴DAF DEF ∠=∠
∵180BAC ABC C ∠=︒-∠-∠，50C ∠=︒
∴130BAC x ∠=︒-︒
∴130BED BAD x ∠=∠=︒-︒
∵CDE BED C ∠=∠-∠
∴1305080y x x ︒=-︒-︒=︒-︒
∴80y x =-，
故答案为：80y x =-．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质及判定，三角形的内角和定理，三角形外角定理，角的和差倍分等相关知识，熟练运用角的计算是解决本题的关键．
8．如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，D 为BC 上一点，DA ⊥AC ，AD=24 cm ，则BC 的长________cm ．
【答案】72
【解析】
【分析】
按照等腰三角形的性质、角的和差以及含30°直角三角形的性质进行解答即可.
【详解】
解：∵AB=AC ，∠BAC=120°
∴∠B=∠C=30°
∵DA ⊥AC ，AD=24 cm
∴DC=2AD=48cm ，
∵∠BAC=120°，DA ⊥AC
∴∠BAD=∠BAC-90°=30°
∴∠B=∠BAD
∴BD=AD=24cm
∴BC=BD+DC=72cm
故答案为72.
【点睛】
本题考查了腰三角形的性质、角的和差以及含30°直角三角形的性质，其中灵活运用含30°直角三角形的性质是解答本题的关键.
9．如图，已知AB AC =，AD 平分BAC ∠，60DEB EBC ∠=∠=︒，若3BE =，3DE =，则BC =____________．
【答案】33+【解析】
【分析】
延长ED 交BC 于点M ，延长AD 交BC 于点N ，作DF ∥BC 于点F.由已知条件推出△BEM 是等边三角形，△FDE 是等边三角形，在△DNM 中求出NM 的长度，即可求出BC 的长度.
【详解】
如图，延长ED 交BC 于点M ，延长AD 交BC 于点N ，作DF ∥BC 于点F ，
∵AB AC =，AD 平分BAC ∠，∴AN ⊥BC ，BN=CN ，
∵60DEB EBC ∠=∠=︒，∴△BEM 是等边三角形，
∴△FDE 是等边三角形，
∵3BE =，3DE =，∴33DM =-，
∵△BEM 是等边三角形，∴∠EMB=60°，
∵AN ⊥BC ，∴∠DNM=90°，
∴∠NDM=30°，∴1332NM DM -=
=， ∴33333BN BM NM -+=-=-
=， ∴233BC BN ==+.
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，解题的关键是作出辅助线构造等边三角形.
10．如图，△ABC 中， AB=11 ， AC= 5 ，∠ BAC 的平分线 AD 与边 BC 的垂直平分线 CD 相 交于点 D ，过点 D 分别作 DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为 E 、F ，则 BE 的长为_____．
【答案】3
【解析】
【分析】
连接CD ，BD ，由∠BAC 的平分线与BC 的垂直平分线相交于点D ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，易得CD=BD ，DF=DE ，继而可得AF=AE ，易证得Rt △CDF ≌Rt △BDE ，则可得BE=CF ，继而求得答案．
【详解】
如图，连接CD ，BD ，
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF=DE，∠F=∠DEB=90°，∠ADF=∠ADE，
∴AE=AF，
∵DG是BC的垂直平分线，
∴CD=BD，
在Rt△CDF和Rt△BDE中，
CD BD
DF DE
⎧
⎨
⎩
＝
＝
，
∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL），
∴BE=CF，
∴AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE，
∵AB=11，AC=5，
∴BE=
1
2
（11-5）=3．
故答案为：3．
【点睛】
此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
二、八年级数学轴对称三角形选择题（难）
11．如图，在等边△ABC中，AD是BC边上的高，∠BDE=∠CDF=30°，在下列结论中：
①△ABD≌△ACD；②2DE=2DF=AD；③△ADE≌△ADF；④4BE=4CF=AB．正确的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】
【分析】
由等边三角形的性质可得BD=DC ，AB=AC ，∠B=∠C=60°，利用SAS 可证明△ABD ≌△ACD ，从而可判断①正确；利用ASA 可证明△ADE ≌△ADF ，从而可判断③正确；在Rt △ADE 与Rt △ADF 中，∠EAD=∠FAD=30°，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半可得
2DE=2DF=AD ，从而可判断②正确；同理可得2BE=2CF=BD ，继而可得4BE=4CF=AB ，从而可判断④正确，由此即可得答案.
【详解】
∵等边△ABC 中，AD 是BC 边上的高，
∴BD=DC ，AB=AC ，∠B=∠C=60°，
在△ABD 与△ACD 中
90AD AD ADB ADC DB DC =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
， ∴△ABD ≌△ACD ，故①正确；
在△ADE 与△ADF 中
60EAD FAD AD AD
EDA FDA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩
， ∴△ADE ≌△ADF ，故③正确；
∵在Rt △ADE 与Rt △ADF 中，
∠EAD=∠FAD=30°，
∴2DE=2DF=AD ，故②正确；
同理2BE=2CF=BD ，
∵AB=2BD ，
∴4BE=4CF=AB ，故④正确，
故选D ．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、含30度的直角三角形的性质、全等三角形的判定等，熟练掌握相关性质与定理是解题的关键.
12．如图，已知△ABC 中，AB=AC ，AD=AE ，∠BAE=30°，则∠DEC 等于（ ）
A ．7.5°
B ．10°
C ．15°
D ．18°
【答案】C
【解析】 根据等腰三角形性质求出∠C=∠B，根据三角形的外角性质求出∠B=∠C=∠AED+α﹣30°，
根据AE=AD ，可得∠AED=∠ADE=∠C+α，得出等式∠AED=∠AED+α﹣30°+α，求出α=15°，
即得到∠DEC=α=15°，
故选C.
点睛：本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质等知识点的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，本题有一点难度，但题型不错．
13．如图，60AOB ∠=，OC 平分AOB ∠，如果射线OA 上的点E 满足OCE ∆是等腰三角形，那么OEC ∠的度数不可能为（ ）
A ．120°
B ．75°
C ．60°
D ．30°
【答案】C
【解析】
【分析】 分别以每个点为顶角的顶点，根据等腰三角形的定义确定∠OEC 是度数即可得到答案.
【详解】
∵60AOB ∠=，OC 平分AOB ∠，
∠AOC=30︒，
当OC=CE 时，∠OEC=∠AOC=30︒，
当OE=CE 时，∠OEC=180OCE COE ∠∠︒--=120︒，
当OC=OE 时，∠OEC=12
（180COE ∠︒- ）=75︒， ∴∠OEC 的度数不能是60°，
故选：C.
【点睛】
此题考查等腰三角形的定义，角平分线的定义，根据题意正确画出符合题意的图形是解题的关键.
14．如图所示，等边三角形的边长依次为2，4，6，8，……，其中1(0,1)A ，
()21,13A --，()31,13A -，4(0,2)A ，()
52,223A --，……，按此规律排下去，则2019A 的坐标为（ ）
A ．(673,6736733-
B ．(673,6736733--
C ．(0,1009)
D ．(674,6746743- 【答案】A
【解析】
【分析】 根据等边三角形的边长依次为2，4，6，8，……，及点的坐标特征，每三个点一个循环，2019÷3=673，A 2019的坐标在第四象限即可得到结论．
【详解】
∵2019÷3=673，
∴顶点A 2019是第673个等边三角形的第三个顶点，且在第四象限．
第673个等边三角形边长为2×673=1346，
∴点A 2019的横坐标为 12⨯1346=673．
点A 2019的纵坐标为673-134632
⨯=673﹣3点A 2019的坐标为：(673,6736733-．
故选：A ．
【点睛】
本题考查了点的坐标、等边三角形的性质，是点的变化规律，主要利用了等边三角形的性质，确定出点A 2019所在三角形是解答本题的关键．
15．如图，在ABC ∆中，120BAC ︒∠=，点,E F 分别是ABC ∆的边AB 、AC 的中点，边BC 分别与DE 、DF 相交于点,H G ，且,DE AB DF AC ⊥⊥，连接AD 、AG 、AH ，现在下列四个结论：
①60EDF ︒∠=，②AD 平分GAH ∠，③B ADF ∠=∠，④GD GH =.
则其中正确的结论有（ ）.
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】A
【解析】
【分析】
利用,DE AB DF AC ⊥⊥及四边形的内角和即可得到①正确；；根据三角形内角和与线段的垂直平分线性质得到∠BAH+∠GAC=60︒，无条件证明∠GAD=∠HAD,故②错误；由等量代换得B ADF ∠≠∠，故③错误；利用三角形的内角和与对顶角相等得到GD GH ≠，故④错误.
【详解】
∵,DE AB DF AC ⊥⊥，
∴∠DEA=∠DFA=90︒，
∵120BAC ︒∠=,
∴∠EDF=360︒-∠DEA-∠DFA-∠BAC=60︒，故①正确；
∵120BAC ︒∠=，
∴∠B+∠C=60︒，
∵点,E F 分别是ABC ∆的边AB 、AC 的中点，,DE AB DF AC ⊥⊥，
∴BH=AH ，AG=CG ，
∴∠BAH=∠B ，∠GAC=∠C ，
∴∠BAH+∠GAC=60︒，
∵无条件证明∠GAD=∠HAD,
∴AD 不一定平分GAH ∠，故②错误；
∵∠ADF+∠DAF=90︒，∠B=∠BAH,
90BAH DAF ∠+∠≠,
∴B ADF ∠≠∠，故③错误；
∵90B BHE ∠+∠=，30B ∠≠ ，
∴ 60BHE ∠≠，
∴60DHG ∠≠，
∴DHG HDG ∠≠∠,
∴GD GH ≠，故④错误，
故选：A.
【点睛】
此题考查线段的垂直平分线的性质，利用三角形的内角和，四边形的内角和求角度，利用对顶角相等，等角对等边推导边的关系.
16．某平原有一条很直的小河和两个村庄，要在此小河边的某处修建一个水泵站向这两个村庄供水. 某同学用直线（虛线）l表示小河，,P Q两点表示村庄，线段（实线）表示铺设的管道，画出了如下四个示意图，则所需管道最短的是（）.
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据轴对称分析即可得到答案.
【详解】
根据题意，所需管道最短，应过点P或点Q作对称点，再连接另一点，与直线l的交点即为水泵站M，故选项A、B、D均错误，选项C正确，
故选：C.
【点睛】
此题考查最短路径问题，应作对称点，使三点的连线在同一直线上，这是此类问题的解题目标，把握此目标即可正确解题.
的正方形网格中，A，B是如图所示的两个格点，如果C也是格点，且17．在一个33
ABC是等腰三角形，则符合条件的C点的个数是（）
A．6B．7C．8D．9
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意、结合图形，画出图形即可确定答案.
【详解】
解：根据题意，画出图形如图：共8个.
故答案为C.
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的判定，根据题意、画出符合实际条件的图形是解答本题的关键.
18．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为（）
A．130°B．120°C．110°D．100°
【答案】B
【解析】
根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和ED的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝60°，进而得出∠AMN＋∠ANM＝2(∠AA′M＋∠A″)即可得出答案：
如图，作A关于BC和ED的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，
则A′A″即为△AMN的周长最小值．作DA延长线AH．
∵∠BAD＝120°，∴∠HAA′＝60°．
∴∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝60°．
∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，
且∠MA′A＋∠MAA′＝∠AMN，
∠NAD＋∠A″＝∠ANM，
∴∠AMN＋∠ANM＝∠MA′A＋∠MAA′＋∠NAD＋∠A″＝2(∠A A′M＋∠A″)＝2×60°＝120°．故选B．
19．如图所示，在等边△ABC中，E是AC边的中点，AD是BC边上的中线，P是AD上的动点，若AD=3，则EP＋CP的最小值为（）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】
由等边三角形的性质得，点B，C关于AD对称，连接BE交AD于点P，则EP+CP=BE最小，又BE=AD，所以EP+CP的最小值是3.
故选B.
点睛：本题主要考查了等边三角形的性质和轴对称的性质，求一条定直线上的一个动点到定直线的同旁的两个定点的距离的最小值，常用的方法是，①确定两个定点中的一个关于定直线的对称点；②连接另一个定点与对称点，与定直线的交点就是两线段和的值最小时，动点的位置.
20．如图，一张长方形纸沿AB对折，以AB中点O为顶点将平角五等分，并沿五等分的折线折叠，再沿CD剪开，使展开后为正五角星（正五边形对角线所构成的图形）．则∠OCD 等于（）
A．108°B．114°C．126°D．129°
【答案】C
【解析】
【分析】
按照如图所示的方法折叠,剪开,把相关字母标上,易得∠ODC和∠DOC的度数,利用三角形的内角和定理可得∠OCD的度数．
【详解】
解:展开如图,五角星的每个角的度数是,
180
=36°.
5
∵∠COD=360°÷10=36°,∠ODC=36°÷2=18°,
∴∠OCD=180°-36°-18°=126°,故选C．
【点睛】
本题主要考查轴对称性质,解决本题的关键是能够理解所求的角是五角星的哪个角,解题时可以结合正五边形的性质解决．。