乌鲁木齐地区高三年级第一次诊断性测验文科数学试卷及答案

乌鲁木齐地区2019年高三年级第一次诊断性测验
文科数学（问卷）
（卷面分值：150分考试时间：120分钟）
注意事项：
1.本卷分为问卷和答卷，答案务必书写在答卷（或答题卡）的指定位置上.
2.答卷前，先将答卷密封线内（或答题卡中的相关信息）的项目填写清楚.
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合M= { x |0 < x < 2 }, N= { x | x > 1 }，则M∩N=
A. [ 1, 2)
B. ( 1, 2 )
C. [ 0, 1 )
D. ( 0, 1]
2.复数
2
1
i
i
= +
A. 1 + i
B. - 1 + i
C. - 1 - i
D. 1 - i
3.设α，β，γ为平面，m, n为直线，则m⊥β的一个充分条件是
A. α⊥β, α∩β= n, m⊥n
B. α∩γ=m, α⊥γ, β⊥γ
C. α⊥γ , β⊥γ, m⊥α
D. n⊥α, n⊥β, m⊥α
4.等差数列{a n}中，a3= 5, S6= 36，则S9=
A. 17
B. 19
C. 81
D. 100
5.若函数f (x) = cos2x+a sin x在区间( π
6,
π
2)上是减函数，则a的取值范围是
A. ( 2, 4 )
B. ( - ∞, 2 ]
C. ( -∞, 4]
D. [ 4, +∞ )
6.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是( 1, 0, 1
2), ( 1, 1, 0 ), ( 0,
1
2, 1 ),
( 1, 0, 1 )，画该四面体三视图中的正视图时，以yOz平面为投影面，则得到的正视图可以为7.执行如图的程序框图( n∈N* )，则输出的S=
A. a+aq+aq2+……+aq n- 1
B.
(1) 1
n a q
q
-
-
C. a+ aq+aq2+……+aq n- 1+aq n
D.
1 (1) 1
n
a q
q
+
-
-
A
B
C
D.
8.凸四边形OABC 中，(2,4),(2,1)OB AC ==-，则该四边形的面积为 A. 5 B. 2 5 C. 5 D. 10
9.过抛物线焦点F 的直线，交抛物线于AB 两点，交准线于C 点，若2,AF FB CF FB λ==，则λ =
A. - 4
B. - 3
C. - 2
D. - 1 10.设f (x ) = |ln( x + 1 )|，已知f (a ) = f (b ) ( a < b )，则
A. a + b > 0
B. a + b > 1
C. 2a + b > 0
D. 2a + b > 1
11.P 是双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>上的一点，F 1，F 2是焦点，PF 1与渐近线平行，∠F 1PF 2
= 90°，则双曲线的离心率为
A. 2
B. 3
C. 2
D. 5
12.设函数f (x ) 在R 上存在导函数f ′(x )，对任意x ∈R , 都有f (x ) + f ( - x ) = x 2，且x ∈( 0, + ∞)
时，f ′(x ) > x ，若f ( 2 - a ) - f ( a ) ≥ 2 - 2a ，则实数a 的取值范围是
A.[ 1, + ∞ )
B. ( - ∞, 1 ]
C. ( - ∞, 2]
D. [ 2, + ∞ )
第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分. 第13题 ~ 第21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22题 ~ 第24题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分
13.已知函数f (x ) = ⎩
⎪⎨⎪⎧x 2， x ≤ 1
2x ， x > 1 ,则f ( log 23 ) = × ；
14.已知实数x , y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1
x + y ≤3x - 2y - 3 ≤0
，则z = 2x + y 的最小值为 × ；
15.函数f (x ) = x 2 - 2x - 3, x ∈[- 4, 4]，任取一点x 0∈[- 4, 4]，则f (x 0) ≤0的概率是 × ； 16.设数列{ a n }的前n 项和为S n ，且S n + 1 = a 1( S n + 1 )，若a 1 = 2，则a n = × .
三、解答题：第17 ~ 21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.已知函数f (x ) = sin( 2x + π3 ) - cos( 2x + π
6 ) - 3cos2x ( x ∈R ). （Ⅰ）求f (x )的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC 中，锐角B 满足f (B ) = 3，AC = 3，△ABC 周长为33，求AB ，BC .
18.如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，E ，F 分别是BB 1，A 1C 1的中点. （Ⅰ）求证EF ∥平面A 1BC ；
（Ⅱ）若AB = AC = AA 1= 1，求点E 到平面A 1BC 的距离
19.某城市居民生活用水收费标准为W (t ) = ⎩⎪⎨⎪⎧1.6t ， 0 ≤t < 2
2.7t ， 2 ≤t <
3.5
4.0t ， 3.5 ≤t ≤4.5
（ t 为用水量，单位：吨；
W 为水费，单位：元 ），从该市抽取的100户居民的月用水量的频率分布直方图如图所示.
（Ⅰ）求这100户居民的月均用水量的中位数及平均水费；
（Ⅱ）从每月所交水费在14元 ~ 18元的用户中，随机抽取2户，求此2户的水费都超过16
元的概率.
20.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>的离心率为22，过焦点F 作x 轴的
垂线交椭圆于点A ，且| AF | = 2
2 . （Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）若点A 关于点O 的对称点为B ，直线BF 交椭圆于点C ，求∠BAC 的大小 A
B C
E F A 1 B 1
C 1
/t
21.已知函数f (x ) = (0)x x
e a
a e a
->+. （Ⅰ）若曲线y = f (x ) 在点 ( 0, f (0) ) 处的切线与直线x - 2y + 1 = 0平行，求a 的值；
（Ⅱ）若x ≥0时，f (x ) ≤ 1
2x 成立，求实数a 的取值范围.
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B
铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑
22.（本题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，P A 是圆的切线，A 是切点，M 是P A 的中点，过点M 作圆的割线交圆于点C ，B ，连接PB ，PC ，分别交圆于点E 、F , EF 与BC 的交点为N . 求证：（Ⅰ）EF ∥P A ；
（Ⅱ）MA ·NE = MC ·NB .
23.（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
点P 是曲线 ρ = 2 ( 0 ≤ θ ≤π )上的动点，A ( 2, 0 ), AP 的中点为Q . （Ⅰ）求点Q 的轨迹C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）若C 上点M 处的切线斜率的取值范围是 [ - 3, - 3
3
]，求点M 横坐标的取值范围.
24.(本题满分10分) 选修4 - 5：不等式选讲
已知函数f (x ) = | x - a | + 2| x + b | ( a > 0, b > 0 )的最小值为1. （Ⅰ）求 a + b 的值；
（Ⅱ）求12
a b
+的最小值
P
乌鲁木齐地区2019年高三年级第一次诊断性测验
文科数学参考答案及评分标准
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分． 1~5 BADCB 6~10 ACCAA 11~12 DB 1.选B .【解析】()1,2M
N =,故选B .
2.选A .【解析】∵
()()()
2121111i i i i i i i -==+++-，故选A . 3.选D ．【解析】∵,n m αα⊥⊥,∴m ∥n ,又n β⊥,∴m β⊥，故选D .
4.选C ．【解析】31125
656362
a a d d a =+=⎧⎪
⎨⨯+=⎪⎩，得112a d =⎧⎨=⎩，∴91
1989936812d S a a d ⨯=+=+=，故选C . 5.选B ．【解析】∵()2cos2sin 12sin sin f x x a x x a x =+=-+，令sin t x =，
由,62x ππ⎛⎫∈
⎪⎝⎭得1,12t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，依题意有()221g t t at =-++在1,12t ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭是减函数， ∴1
42
a ≤，即2a ≤，故选B . 6.选A ．【解析】如右图得，故选A .
7.选C .【解析】执行第一次循环体运算，得1,i s a ==； 执行第二次，2,i s a aq ==+； 执行第1n +次，1,n i n s a aq aq =+=++
，故选C .
8.选C .【解析】∵0OB AC ⋅=，∴OA BC ⊥，∴1
52
OABC S OB AC ==，故选C . 9.选A .【解析】如图，2AF FB =,
∴112AA BB =，∴1BB 是1CAA ∆的中位线，
∴3CB AB FB ==,4CF FB =,∴4λ=-,故选A . 10.选A .【解析】依题意()()ln 1f
x x =+的图像如图所示，
由()()f a f b =，得()()l n 1l n 1
a b -+=
+，即0a b a b ++=.
而 0 < a + 1 < 1，b + 1 > 1
∴ 10a -<<，0b >， ∴ ab < 0， ∴0a b +>，故选A .
11.选D .【解析】tan b a α=
，∴sin b c α=，cos a c
α=， ∴sin cos a
c βα==，211212
sin sin sin PF PF F F F PF αβ-=
-∠, ∴
221
a c
b a
c c
=
-，∴2a b =
，∴e =D . 12.选B .【解析】令()()212g x f
x x =-
，则()()21
2
g x f x x -=--， 则()()()()20g x g x f
x f x x +-=+--=，得()g x 为R 上的奇函数，
∵0x >时，()()0g x f x x ''=->，故()g x 在()0,+∞单调递增， 再结合()00g =及()g x 为奇函数，知()g x 在(),-∞+∞为增函数， 又()()()
()()2
22222
2a a g a g a f a f a -⎛⎫
--=--
-- ⎪⎝
⎭
()()()22222220f
a f a a a a =---+≥--+=
则()()221g a g a a a a -≥⇔-≥⇔≤，即(],1a ∈-∞.故选B . 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13.填3．【解析】∵22log 3log 21>=，∴()2
log 32log 323f
==．
14.填1．【解析】由约束条件确定的可行域如图示，∴z 的最小值为1． 15.填
12
．【解析】由2
230,x x --≤解得，13x -≤≤， 所以使()00f x ≤成立的概率是
()()311
442
--=--．
16.填2n
．【解析】由题意得：2n ≥时，()111n n S a s +=+…①，()111n n S a s -=+…② ①-②得12n n a a +=，又∵()2121S S =+,()12121a a a +=+，24a =， ∴()2
2n
n a n =≥，当1n =时1122a ==成立，∴()*2n n a n =∈N
三、解答题：第17~21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，说明过程或演算步骤． 17.（12分）．
易知(
)sin 222sin 23f
x x x x π⎛
⎫==- ⎪⎝
⎭ …2分
（Ⅰ）由2222
3
2
k x k π
π
π
ππ-
≤-
≤+
，解得，512
12
k x k π
π
ππ-
≤≤+
，其中k ∈Z ∴()f x 的单调递增区间为()5,12
12k k k π
πππ⎡⎤
-
+
∈⎢⎥⎣
⎦
Z ； …6分 （Ⅱ）∵()2sin 23f B B π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
,又(
)f B =
sin 232
B π⎛⎫
-
= ⎪
⎝
⎭ ∵02
B π<<
，∴223
3
3B π
π
π-
<-
<
，故，233B ππ-=，∴3
B π= ∴2221
cos 22
AB BC AC B AB BC +-=
=⋅，又
AC =,ABC ∆
的周长为
∴AB BC +=3AB BC ⋅=
，解得，AB =
BC = …12分18.（12分） （Ⅰ）如图，取1CC 中点M ，连结,EM FM ,
∵,E F 分别是111,BB A C 的中点, ∴1//,//EM BC FM A C ,
∴平面E FM //平面1A B C ，∴//EF 平面
1A B C ； …6分
（Ⅱ）连结1,EC A E ，则11E A BC C A EB V V --=
∵11AB AC AA ===，AB AC ⊥，E 是1BB 的中点, ∴1111312
C A EB A EB V S C
D -∆=
⋅=, 设点E 到平面1A BC 的距离为h ，∴1A BC ∆
的正三角形，
1A BC S ∆=
,
∴111312E A BC V h -=⨯==
，∴h =∴点E 到平面1A BC
…12分 19.（12分）
（Ⅰ）由频率分布直方图可知，月平均用水量的中位数为2.02()t ；根据物价部门对城市居民月平均用
水的定价为() 1.6
022.7
2 3.5t W t t <<⎧⎪
=≤<⎨⎪，其中()W t 单位是元，t 单位为吨.知平均水价为：
M
B 1
()0.080.250.160.750.30 1.250.44 1.75 1.6⨯+⨯+⨯+⨯⨯+⎡⎣
()()0.50 2.250.28 2.750.12 3.25 2.70.08 3.750.04 4.2540.5
⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯⨯⎤⎦
5.05275=（元） …6分 （Ⅱ）依题意，从每月交水费W （单位元），满足1418W ≤<的用户中，随机抽取2户，即从用水量满
足3.5 4.5t ≤≤（t 单位吨）中随机抽取2户，根据100户居民月均用水量的频率分布直方图可知，
用水量t （吨）[)3.5,4∈有4户，不妨设为1234,,,A A A A ,用水量t []4,4.5∈有2户，设为12,B B ,故
上
述
6
户中抽取
2
户，有以下情况
121314111223242122,,,,,,,,,A A A A A A A B A B A A A A A B A B 3431,,A A A B
32414212,,,,A B A B A B B B 共15种情况，又所交水费1618W <<只有一种情况12B B ,故此2户
所交水费W （单位元），满足1618W <<的概率为
1
15
. …12分 20.（12分）
（Ⅰ）由对称性，不妨设(),0F c ，()0,A c y ，将A 点坐标带入椭圆方程：2
20221y c a b
+=，可得
2
0b y a
=±
，∴22b AF a ==
而2c a =
，可解得a =1b c ==， ∴椭圆方程为22
121
x y +=. …5分 （Ⅱ）由对称性，不妨设A
点在第一象限，可得A ⎛ ⎝⎭
，∴1,B ⎛- ⎝⎭
.
则直线BF
方程为()212
y x -
=
--
，即()14y x =-，
联立)2
21412
y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y ，可得25270x x --=，
设()11,C x y ，则17
5x =
，代入椭圆方程，得110y =
，∴75C ⎛ ⎝⎭，
∴(
22,,05AB AC ⎛⋅=-⋅=
⎝
，
21.（12分）
（Ⅰ）()()
22x x x x e a ae f x e a e a '⎛⎫-'== ⎪+⎝⎭+，由题意得：()()221
021a f a '==+， ∴1a = …5分
（Ⅱ）令()()1
2
g x f
x x =-，
则()()()()()222
112102222x x
x
x x x e a e a ae g x f x e a e a e a '--⎛⎫-''=-=-=
-=≤ ⎪+⎝⎭++ ∴函数()y g x =，0x ≥为减函数，∴当0x ≥时，()()101a
g x g a
-≤=
+…① （1）当1a ≥时，101a a -≤+，∴当0x ≥时，()0g x ≤，即()1
2
f x x ≤.
（2）当01a <<时，由()()10001a
g f a -==>+，这与题意不符合.
综上所述，可知当0x ≥时，()1
2
f x x ≤恒成立时的a 的取值范围为[)1,+∞. …12分
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，并将所选的题号下的“○”涂黑．如果多做，则按所做的第一题记分，满分10分． 22．（10分） （Ⅰ）由切割线定理，得2
MA MC MB =⋅， 而MA PM =，∴2
PM MC MB =⋅
即
PM MC
MB PM
=
，且PMC BMP ∠=∠，∴PMC ∆∽BMP ∆， ∴MPC MBP ∠=∠而MBP PFE ∠=∠，∴MPC PFE ∠=∠，∴EF ∥PA …5分
（Ⅱ）∵PM ∥EN ，∴PMC BNE ∠=∠，又∵MPC NBE ∠=∠
∴PMC ∆∽BNE ∆，∴
PM NB MC NE =，而MA PM =，∴MA NB
MC NE
=
， 即MA NE MC NB ⋅=⋅ …10分
23．（10分） （Ⅰ）由()20ρθπ=≤≤，得()2
2
40x y y +=≥设()11,P x y ，(),Q x y ，
则112,22
x y
x y +=
=，即1122,2x x y y =-=，代入()221140x y y +=≥， 得()()2
2
2224x y -+=，∴()()2
2
110x y y -+=≥； …5分 （Ⅱ）轨迹C 是一个以()1,0为圆心，1半径的半圆，如图所示，
设()1cos ,sin M ϕϕ+，设点M 处切线l 的倾斜角为α 由l
斜率范围3⎡-
⎢⎣⎦，可得
2536
ππ
α≤≤， 而2
π
ϕα=-
，∴
6
3
π
π
ϕ≤≤
，∴
321cos 22
ϕ+≤+≤ 所以，点M
横坐标的取值范围是32⎡⎢⎣⎦
． …10分
24．（12分）
（Ⅰ）()32,2,32,x a b x b
f x x a b b x a x a b x a -+-≤-⎧⎪
=++-<<⎨⎪-+≥⎩
，其图形如图所示
因此，()f x 的最小值是()f b a b -=+，依题意，有1a b +=； …5分 （Ⅱ）0,0a b >>，且1a b +=，
(
)12122333b a a b a b a b a b ⎛⎫
+=++=++≥+=+ ⎪⎝⎭
当且仅当
2b a
a b
=时，上式取等号，又1a b +=，
故，当且仅当1,2a b ==-12
a b
+
有最小值3+． …10分
以上各题的其他解法，限于篇幅，从略，请酌情给分．。