5.1.2 平行四边形的对角线性质 课件(共33张PPT) 鲁教版数学八年级上册

如图，过点A作AE⊥BC于E，
∵在直角三角形ABE中，∠B＝30°，
∴AE＝
1 2
×AB＝
1 2
×4＝2.
∴平行四边形ABCD的面积＝BC·AE＝6×2＝12.
感悟新知
归纳
求平行四边形的面积时，根据平行四 边形的面积公式，要知道平行四边形的一 边长及这边上的高．
平行四边形的高不一定是过顶点的垂 线段，因为平行线间的距离处处相等．
结构导图
课堂小结
错解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴OA＝OC，∵OE⊥AD于点E，OF⊥BC于点F， ∴∠AEO＝∠CFO＝90°，又∠AOE＝∠COF， ∴△AOE≌△COF，∴OE＝OF.
结构导图
课堂小结
诊断：错解误认为已知E，O，F三点共线，从而得到 ∠AOE＝∠COF，而已知条件中并没有这个． E，O，F三点共线需要在解题过程中加以推理， 否则就犯了逻辑错误．
结构导图
课堂小结
正解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC，OA＝OC， ∴∠EAO＝∠FCO， ∵OE⊥AD，OF⊥BC， ∴∠AEO＝∠CFO＝90°， ∴△AOE≌△COF， ∴OE＝OF.
作业1 必做: 请完成教材课后练习 作业2 补充: 请完成本课时习题
课后作业
感悟新知
4. 如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC，
垂足为E，AB＝3，AC＝2，BD＝4，则AE的长为( D )
A. 3 2
B. 3 2
21
2 21
C. 7 D. 7
感悟新知 5. 如图，EF过▱ABCD对角线的交点O，交AD于E，
交BC于F，若▱ABCD的周长为18，OE＝1.5，则 四边形EFCD的周长为( C ) A．14 B．13 C．12 D．10
感悟新知
1. 如图，若▱ABCD的周长为36 cm，过点D分别作AB，BC
边上的高DE，DF，且DE＝4 cm，DF＝5 cm，▱ABCD
的面积为( A )cm2.
A．40
B．32
C．36
D．50
感悟新知 2. 如图，过▱ABCD的对角线BD上一点M分别作平行四边形
两边的平行线EF与GH，那么图中的▱AEMG的面积S1与 ▱HCFM的面积S2的大小关系是( C ) A．S1＞S2 B．S1＜S2 C．S1＝S2 D．2S1＝S2
B. 2对
C. 3对
D. 4对
(第2题)
演练提升
随堂检测
3. [2024·临沂兰山区期末]如图，▱ ABCD 的对角线 AC ， BD
交于点 O ，且 AC ＋ BD ＝22 cm.若 AB ＝5 cm，则△ OCD
的周长是(
)
A. 16 cm
B. 17 cm
C. 22 cm
D. 27 cm
(第3题)
第5章 平行四边形 5.1 平行四边形的性质 第2课时 平行四边形的对角线性质
学习目标
平行四边形的对角线互相平分 平行四边形的面积
回顾与思考
平行四边形的性质： 对边相等； 对角相等
课时导入
感悟新知 知识点 1 平行四边形对角线互相平分
在上一课的“做一做”中，我们还发现：平行四边形 的对角线互相平分. 请你尝试证明这一结论.
2. 等底等高的平行四边形的面积相等．
感悟新知
例3 如图， ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝6，BE＝2， 则 ABCD的周长是____2_0___．
导引：求 ABCD的周长，已知一条边AD＝6， 感悟新知 只需求出AD的邻边AB或CD的长即可． ∵四边形ABCD是平行四边形，AD＝6，BE＝2， ∴AD＝BC＝6，AD∥BC. ∴EC＝BC－BE＝6－2＝4，∠ADE＝∠DEC. ∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠EDC. ∴∠EDC＝∠DEC. ∴DC＝EC＝4. ∴ ABCD的周长是2×(4＋6)＝20.
感悟新知
归纳
定理 平行四边形的对角线互相平分. 对角线的性质：平行四边形的对角线互相平分． 数学表达式： 如图，∵四边形ABCD是平行四边形， 对角线AC，BD相交于点O， ∴OA＝OC，OB＝OD.
规律点拨
感悟新知
由“平行四边形的对角线互相平分”可以得出 “平行四边形被它的两条对角线分成四个小三 角形，相邻两个小三角形的周长之差等于平行 四边形中对应的两邻边之差”.
感悟新知
例2 已知：如图， ▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O， 过点O的直线与AD，BC分别相交于点E，F. 求证：OE＝OF.
感悟新知
证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DO＝BO(平行四边形的对角线互相平分）， AD∥BC(平行四边形的定义）. ∴∠ODE＝∠OBF. ∵∠DOE＝∠BOF, ∴△DOE≌△BOF. ∴OE＝OF.
感悟新知
3. 如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD为对角线，BC
＝6，BC边上的高为4，则图中阴影部分的面积为( C )
A．3
B．6
C．12
D．24
演练提升
随堂检测
练点 平行四边形的对角线性质
1. [母题·教材P123例2·2023·益阳]如图，▱ ABCD 的对角线
AC ， BD 交于点 O ，下列结论一定成立的是( C )
感悟新知
例4 如图，在 ABCD中，AB＝4，BC＝6，
∠B＝30°，则此平行四边形的面积是( B )
A．6
B．12
C．18
D．24
导引：过点A作AE⊥BC于E，根据含30°角的 感悟新知
直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的
直角边等于斜边的一半可求出AE的长，利用平行四边
形的面积公式即可求出其面积．
பைடு நூலகம்
感悟新知 1. 已知▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，OA，OB，AB
他的长分别为3，4，5，求其他各边以及两条对角线的长度. 解：因为平行四边形的对角线互相平分，
所以AC＝2OA＝6 ，BD＝2OB＝8 . 又因为OA2＋OB2＝32＋42＝52＝AB2，所以AC⊥BD. 由勾股定理，可得AD2＝OA2＋OD2， 而OD＝OB，所以AD2＝32＋42. 所以AD＝5. 同理，可得DC＝5，BC＝5.
感悟新知
2. 如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则下列说法 一定正确的是( C ) A．AO＝OD B．AO⊥OD C．AO＝OC D．AO⊥AB
感悟新知
3. 如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC＋BD ＝16，CD＝6，则△ABO的周长是( B ) A．10 B．14 C．20 D．22
感悟新知
例1 已知：如图， ▱ABCD的两条对角线AC与BD相交于 点O.求证：OA＝OC, OB＝OD.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD(平行四边形的对边相等)， AB∥CD(平行四边形的定义). ∴∠BAO＝∠DCO, ∠ABO＝∠CDO. ∴△ABO≌△CDO. ∴OA＝OC，OB＝OD. 你还有其他证明方法吗？与同伴交流.
A. OA ＝ OB
B. OA ⊥ OB
C. OA ＝ OC
D. ∠ OBA ＝∠ OBC
(第1题)
演练提升
随堂检测
2. [情境题·生活应用]阳光透过长方形玻璃射到地面上，地面
上出现一个明亮的▱ ABCD 光影(如图)，连接 AC ， BD 交
于点 O ，则图中的全等三角形共有( D )
A. 1对
感悟新知
6. 如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD
于点E，CF⊥BD于点F，连接AF，CE，则下列结论：
①CF＝AE； ②OE＝OF；
③DE＝BF； ④图中共有四对全等三角形．
其中正确结论的个数是( B )
A．4
B．3
C．2
D．1
知识点 2 平行四边形的面积
感悟新知
1. 面积公式：平行四边形的面积＝底×高(底为平行四边形 的任意一条边，高为这条边与其对边间的距离)；
结构导图
课堂小结
1. 平行四边形的对角线互相平分． 2. 平行四边形的面积＝底×高(底为平行四边形的任意
一条边，高为这条边与其对边间的距离)．
结构导图
课堂小结
如图，在平行四边形ABCD中，AC和BD相交于 点O，OE⊥AD于点E，OF⊥BC于点F. 试说明：OE＝OF.
易错点：容易把未知条件当作已知条件使用