河北省衡水中学2018届高三上学期七调考试数学(文)试题+Word版含答案

2017-2018学年度上学期高三年级七调考试数学（文科）试卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|13}A x x =<<，集合{|2,}B y y x x A ==-∈，则集合A B =（ ）A ．{|13}x x <<B ．{|13}x x -<<C ．{|11}x x -<<D ．∅2. 若复数z 满足341z i +-=（i 为虚数单位），则z 的虚部是（ ） A ．-2 B ．4 C ．4i D ．-4 A ． B ． C ． D ．3.已知向量(2,3)a =，(1,2)b =-，若ma b +与2a b -垂直，则实数m 的值为（ ） A ．65-B ．65C ．910D ． 910- 4.已知数列{}n a 为等比数列，若2588a a a =，则191559a a a a a a ++（ ）A ．有最小值12B ．有最大值12 C.有最小值4 D ．有最大值4 5.如图，中心均为原点O 的双曲线和椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两个顶点，若M ，O ，N 三点将椭圆的长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是（ ）A ．3B ．6.2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币，如图是一枚8g 圆形金质纪念币，直径是22mm ，面额为100元.为了测算图中军旗部分的面积，现将1粒芝麻向纪念币内投掷100次（假设每次都能落在纪念币内），其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（ ）A ．27265mm π B ．236310mm π C. 23635mm π D ．236320mm π7.函数2sin 1xy x x=++的部分图像大致为（ ）A ．B ． C.D ．8.已知曲线1:sin C y x =，215:cos()26C y x π=-，曲线1C 经过怎样的变换可以得到2C ，下列说法正确的是（ ）A ．把曲线1C 上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移3π个单位长度 B ．把曲线1C 上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移23π个单位长度C. 把曲线1C 向右平移3π个单位长度，再把所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变D ．把曲线1C 向右平移6π个单位长度，再把所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变9.更相减损术是中国古代数学专著《九章算术》中的一种算法，其内容如下：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之.”下图是该算法的程序框图，若输入102a =，238b =，则输出a 的值是（ ）A ． 68B ．17 C.34 D ．3610.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）A ．12+．12C. 12+．1211.电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时长不多于600min ，广告的总播放时长不少于30min ，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍，分别用x ，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数，要使总收视人次最多，则电视台每周播出甲、乙两套连续剧的次数分别为（ ）A ．6，3B ．5，2 C. 4，5 D ．2，7 12.若函数1()2(0)x x f x e x a a -=+->在区间(0,2)内有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为（ ）A．22)e B ．(0,2] C. 22(2,2]e + D ．3424(2,2)e +二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知某校100名学生某月饮料消费支出情况的频率分布直方图如图所示，则这100名学生中，该月饮料消费支出超过150元的人数是 ．14.已知双曲线221:1(0)3y x C m m m -=>+与双曲线222:1416x y C -=有相同的渐近线，则以两双曲线的四个焦点为顶点的四边形的面积为 ．15.已知数列{}n a 是递增数列，且4(1)5,4(3)5,4n n n n a n λλ--+≤⎧=⎨-+>⎩，*n N ∈，则λ的取值范围为 ．16.如图，1AA ，1BB 均垂直于平面ABC 和平面11A B C ，11190BAC A B C ∠=∠=︒，111AC AB AA BC ====111ABC AB C -的外接球的表面积为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 如图，在ABC △中，D 为AB 边上一点，且DA DC =，已知4B π=，1BC =.（1）若ABC △是锐角三角形，3DC =，求角A 的大小； （2）若BCD △的面积为16，求AB 的长. 18. 国内某知名大学有男生14000人，女生10000人.该校体育学院想了解本校学生的运动状况，根据性别采取分层抽样的方法从全校学生中抽取120人，统计他们平均每天运动的时间（已知该校学生平均每天运动的时间范围是[0,3]h ），如下表所示. 男生平均每天运动的时间分布情况：女生平均每天运动的时间分布情况：（1）假设同组中的每个数据均可用该组区间的中间值代替，请根据样本估算该校男生平均每天运动的时间（结果精确到0.1）.（2）若规定平均每天运动的时间不少于2h 的学生为“运动达人”，低于2h 的学生为“非运动达人”.（ⅰ）根据样本估算该校“运动达人”的数量；（ⅱ）请根据上述表格中的统计数据填写下面22⨯列联表，并通过计算判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“运动达人”与性别有关.参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：19. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，已知1AB AC AA ===4BC =，点1A 在底面ABC 上的投影是线段BC 的中点O .（1）证明：在侧棱1AA 上存在一点E ，使得OE ⊥平面11BB C C ，并求出AE 的长. （2）求三棱柱111ABC A B C -的侧面积.20. 如图，已知直线:1(0)l y kx k =+>关于直线1y x =+的对称直线为1l ，直线l ，1l 与椭圆22:14x E y +=分别交于点A ，M 和A ，N ，记直线1l 的斜率为1k .（1）求1k k ⋅的值.（2）当k 变化时，试问直线MN 是否恒过定点，若恒过定点，求出该定点的坐标；若不恒过定点，请说明理由.21.已知函数()ln f x b x x =-的最大值为1e，2()2g x x ax =++的图像关于y 轴对称. （1）求实数a ，b 的值.（2）设()()()F x g x f x =+，则是否存在区间[,](1,)m n ⊆+∞，使得函数()F x 在区间[,]m n 上的值域为[(2),(2)]k m k n ++？若存在，求实数k 的取值范围；若不存在，请说明理由. （二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐cos()204πθ--=，曲线C 的极坐标方程为2sin cos ρθθ=，将曲线C 上所有点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，然后再向右平移一个单位长度得到曲线1C . （1）求曲线1C 的直角坐标方程；（2）已知直线l 与曲线1C 交于A ，B 两点，点(2,0)P ，求||||PA PB +的值. 23.选修4-5：不等式选讲 设函数()|21|f x x =-.（1）解不等式(2)(1)f x f x ≤+；（2）若实数a ，b 满足2a b +=，求22()()f a f b +的最小值.试卷答案一、选择题1-5:DBBAB 6-10:BDBCA 11、12：AD 二、填空题13.30 14.20 15. 7(1,)516. 6π 三、解答题17.解：（1）在BC D △中，4B π=，1BC =，DC =由正弦定理得sin sin BC CD BDC B =∠，解得1sin BDC ⨯∠==3BDC π∠=或23π.因为ABC △是锐角三角形，所以23BDC π∠=. 又DA DC =，所以3A π=.（2）由题意可得11sin 246BCD S BC BD π=⋅⋅⋅=△，解得BD = 由余弦定理得2222cos4CD BC BD BC BD π=+-⋅⋅=2512199+-⨯=，解得3CD =，则3AB AD BD CD BD =+=+=. 所以AB18.解：（1）由题意得，抽取的男生人数为14000120701400010000⨯=+（人），抽取的女生人数为1207050-=（人），故5x =，2y =. 则估算该校男生平均每天运动的时间为(0.2520.7512 1.2523 1.7518 2.2510 2.755)70 1.5()h ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯÷≈，所以该校男生平均每天运动的时间为1.5h . （2）（ⅰ）样本中“运动达人”所占的比例是2011206=， 故估算该校“运动达人”有1(1400010000)40006⨯+=（人）. （ⅱ）由统计数据得：根据上表，可得22120(1545555)962.7433.84120100507035K ⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯. 故不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“运动达人”与性别有关.19.（1）证明：如图，连接AO ，在1AOA △中，作1OE AA ⊥于点E . 因为11//AA BB ，所以1OE BB ⊥，因为1AO ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以1AO BC ⊥. 因为AB AC =，OB OC =，所以AO BC ⊥.又1AO AO O =，所以BC ⊥平面1AAO ， 因为OE ⊂平面1AAO ，所以BC OE ⊥.因为1BC BB B =，所以OE ⊥平面11BB C C .又1AO ==，1AA 1AEO AOA ∽，所以1AE AO AO AA =，解得21AO AE AA ==. 所以存在点E满足条件，且AE =. （2）解：如图，连接EB ，EC .由（1）知1AA OE ⊥，1AA BC ⊥，又OE BC O =，所以1AA ⊥平面BCE ，所以1AA BE ⊥，所以四边形11ABB A的高1h BE ===所以=2S 侧.20.解：（1）设直线l 上任意一点(,)P x y 关于直线1y x =+的对称点为000(,)P x y ， 且直线l 与直线1l 的交点为(0,1)，所以1y k x -=，0101y k x -=. 由00122y y x x ++=+，得002y y x x +=++.① 由1y y x x -=--，得00y y x x -=-.② 由①②得01y x =+，01y x =+， 故0010()1yy y y k k xx -++⋅=000(1)(1)(2)11x x x x xx ++-+++==.（2）设(,)(0)M M M M x y x ≠，(,)(0)N N N N x y x ≠.由22114M M MM y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(41)80M M k x kx ++=，所以2841M k x k -=+，221441M k y k -=+.同理122188=4+14N k k x k k --=+，221221144414N k k y k k --==++.故M N MN M N y y k x x -==-22222214441488414k k k k k k k k ---++---++213k k +=-. 则直线:()M MN M MN y y k x x -=-，即22221418()41341k k k y x k k k -+--=--++，化简得21533k y x k +=--. 所以当k 变化时，直线MN 恒过定点5(0,)3-.21.解：（1）由题意得'()ln 1f x x =--，令'()0f x =，解得1x e =， 当1(0,)x e ∈时，'()0f x >，函数()f x 单调递增； 当1(,)x e∈+∞时，'()0f x <，函数()f x 单调递减. 所以当1x e =时，()f x 取得极大值，也是最大值，所以111()f b e e e=+=，解得0b =. 又2()2g x x ax =++的图像关于y 轴对称，所以02a -=，解得0a =. （2）由（1）知()ln f x x x =-，2()2g x x =+，则2()ln 2F x x x x =-+，所以'()2ln 1F x x x =--，令()'()2ln 1x F x x x ω==--，则1'()20x xω=->对(1,)x ∀∈+∞恒成立， 所以'()F x 在区间(1,)+∞内单调递增，所以'()'(1)10F x F >=>恒成立，所以函数()F x 在区间(1,)+∞内单调递增.假设存在区间[,](1,)m n ⊆+∞，使得函数()F x 在区间[,]m n 上的值域是[(2),(2)]k m k n ++，则22()ln 2(2)()ln 2(2)F m m m m k m F n n n n k n ⎧=-+=+⎪⎨=-+=+⎪⎩， 问题转化为关于x 的方程2ln 2(2)x x x k x -+=+在区间(1,)+∞内是否存在两个不相等的实根， 即方程2ln 22x x x k x -+=+在区间(1,)+∞内是否存在两个不相等的实根，令2ln 2()2x x x h x x -+=+，(1,)x ∈+∞，则22342ln '()(2)x x x h x x +--=+， 设2()342ln p x x x x =+--，(1,)x ∈+∞，则2(21)(2)'()230x x p x x x x-+=+-=>对(1,)x ∀∈+∞恒成立，所以函数()p x 在区间(1,)+∞内单调递增，故()(1)0p x p >=恒成立，所以'()0h x >，所以函数()h x 在区间(1,)+∞内单调递增，所以方程2ln 22x x x k x -+=+在区间(1,)+∞内不存在两个不相等的实根.综上所述，不存在区间[,](1,)m n ⊆+∞，使得函数()F x 在区间[,]m n 上的值域是[(2),(2)]k m k n ++.22.解：（1）由题知，曲线C 的直角坐标方程为2y x =，所以曲线1C 的直角坐标方程为22(1)y x =-.（2）由直线lcos()204πθ--=，得cos sin 20ρθρθ+-=，令cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以直线l 的直角坐标方程为20x y +-=，所以直线l的一个参数方程为222x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数）.代入1C的直角坐标方程得240t +-=，8160∆=+>，设A ，B 两点对应的参数分别为1t ，2t ，所以124t t =-，12t t +=-所以1212||||||||||PA PB t t t t +=+=-===23.解：（1）由题得|41||21|x x -≤+，即221681441x x x x -+≤++，化简得20x x -≤，解得01x ≤≤.故原不等式的解集为{|01}x x ≤≤.（2）222()()|21|f a f b a +=-+222|21||2()2|b a b -≥+-，由柯西不等式得2222222()(11)()a b a b +=++2()4a b ≥+=，从而222()22a b +-≥，即22()()2f a f b +≥，当且仅当1a b ==时等号成立.所以22()()f a f b +的最小值为2.。