2024年中考数学-押江苏南京卷第17-19题(分式化简、解不等式组、二元方程的应用)(解析版)

押江苏南京卷第17-19题
押题方向一：分式的化简
3年江苏南京卷真题
考点命题趋势2023年江苏南京卷第17题
分式的化简从近年江苏南京中考来看，分式的化简或化简求值是必考题，熟练掌握分式的运算法则，比较简单；预计2024年江苏南京卷还将继续重视对分式的化简或化简求值的考查。

2022年江苏南京卷第17题
分式的化简求值2021年江苏南京卷第19题分式的化简1．（2023·江苏南京·中考真题）计算293(1x x x
--÷．2．（2022·江苏南京·中考真题）先化简，再求值：
a b a b ab b
a ⎛⎫÷- ⎪⎝⎭
，其中3a =，2b =．
3．（2021·江苏南京·中考真题）计算22b ab a b a ab ab
⎛⎫-+÷ ⎪+++⎝⎭．
主要考查实数混合运算，整式混合运算，熟练掌握实数运算法则和单项式乘以多项式法则，熟记特殊角的三角函数值、平方差公式是解题的关键．
1.实数的混合运算主要考查零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、乘方、二次根式等，需要学生熟记相应的运算公式和值。

2.整式的混合运算主要考查单项式与多项式乘法法则，熟记平方差、完全平分公式是解题的关键。

3.分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解答本题的关键．先把括号里通分，再把除法转化为乘法，并把分子分母分解因式约分化简，最后把所给字母的值代入代入计算．
1．计算221339
x x x x ⎛⎫-÷ ⎪+--⎝⎭．【答案】9
x x
-【分析】本题考查了分式的混合运算，先计算括号内的分式加法，再计算分式的除法即可得．熟练掌握分式的运算法则是解题关键．【详解】解：原式()()()()()()()233333333x x x x x x x x x ⎡⎤=-÷⎢⎥+-+-+-⎢⎥-⎦+⎣
()()
()()3332633x x x x x x x +-=⋅+----9x x
-=．2．化简：2211111a a a a a -⎛⎫-÷ ⎪---⎝⎭
．【答案】1
1
a -【分析】本题主要考查分式的混合运算，先对括号内的式子进行通分，再将除法转换为乘法，并对分子、分母因式分解，最后约分即可得到结果．【详解】解：22211111a a a a a -⎛⎫-÷ ⎪---⎝
⎭()()()()()
1111111a a a a a a a +-+-=⋅+--()()()()
()11111a a a a a a a +-=⋅
+--11a =
-．3．计算352242m m m m ⎛⎫÷+- ⎪--⎝⎭
．【答案】
()1
23m +【分析】根据分式的混合运算进行化简即可求解．
【详解】解：352242m m m m -⎛⎫÷+- ⎪--⎝⎭
4．计算211221
x x x +⎛⎫-÷ ⎪---⎝⎭．
5．计算1(3)(1)41122
m m m m m m ---⎡⎤+÷⎢⎥---⎣⎦．
6．化简并求值：2111
a a a ⎛⎫-÷ ⎪---⎝⎭，其中2a =．
7．先化简，再求值：
22a b a b
a b ⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭，其中1a =+，1b =．
8．化简221121x x x x ⎛⎫-÷ ---+⎝⎭
，从14x -≤<中选出你喜欢的整数值代入求值.
押题方向二：解不等式组
3年江苏南京卷真题
考点命题趋势2023年江苏南京卷第18题
解不等式组从近年江苏南京中考来看，解不等式或解不等式组是必考题，熟练掌握解不等式（组）基本方法，比较简单；预计2024年江苏南京卷还将继续重视对，解不等式或解不等式组的考查。

2022年江苏南京卷第18题
解不等式组2021年江苏南京卷第17题解不等式1．（2023·江苏南京·中考真题）解不等式组21014
3x x x -<⎧⎪-⎨<⎪⎩，并写出它的整数解．
2．（2022·江苏南京·中考真题）解不等式组：
324 121
3
x x
⎧-≤-
⎪
⎨+
>-
⎪⎩
．
，并在数轴上表示解集．
【答案】2
x≤，数轴上表示解集见解析
【分析】按照解一元一次不等式的一般步骤，直接求解即可．
【详解】()
1213
x
+-≤
去括号：1223
x
+-≤
移项：2312
x≤-+
合并同类项：24
x≤
化系数为1：2
x≤
解集表示在数轴上：
【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，数轴上表示不等式的解集的方法，一元一次不等式的解法和一元一次方程的解法相似，注意最后一步化系数为1的时候，不等号是否要改变方向；正确的计算和在数轴上表示出解集是解题关键．
一元一次不等式组的解法原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了；特别注意系数化1
时，注意系数的符号。

1．解不等式组()3123419x x x +⎧≥+⎪⎨⎪+->-⎩
并写出不等式组的整数解．【答案】21x -<≤，整数解为整数解为1-、0、1．
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：()3123419x x x +⎧≥+⎪⎨⎪+->-⎩
①②，解不等式①得：1x ≤，
解不等式②得：2x >-，
则不等式组的解集为21x -<≤，
所以其整数解为1-、0、1．
2．求不等式组123
3x x ->-⎧⎪⎨-≤-⎪⎩的解集，并写出它的自然数解．【答案】 1.51x -<≤，自然数解为0，1
【分析】
本题主要考查的是解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了，确定不等式组的解集，再写出它的自然数解．
【详解】解：51341233x x x x ->-⎧⎪⎨-≤-⎪⎩
①②由①式得 1.5x >-，
由②式得1x ≤，
不等式组的解集为 1.51x -<≤．
它的自然数解为0，1
3．解不等式组()2513320x x -⎧<⎪⎨⎪-≥⎩
并在数轴上表示出解集．4．解不等式组223235
x x x x -+⎧<+⎪⎨⎪+≤
+⎩，并写出它的非负整数解．
5．解不等式组213213
2x x x -≥-⎧⎪-⎨+>⎪⎩
，并将解集在数轴上表示出来．【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，正确求出每个不等式的解集是解题的关键．
6．解不等式组()326x ⎧⎨+≥⎩
并写出它的整数解．【答案】02x ≤<，0，1
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后求出不等式组的整数解即可．
【详解】解：()521326
x x ->⎧⎪⎨+≥⎪⎩
①②，解不等式①得：2x <，
解不等式②得：0x ≥，
∴不等式组的解集为02x ≤<，
∴不等式组的整数解为0，1．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，求不等式组的整数解，正确求出每个不等式的解集是解题的关键．
7．解不等式组2(1)4131132x x x x +≥⎧⎪-+⎨+>⎪⎩，并将解集在数轴上表示出来．
8．解不等式组1
12
3x x +≥⎧⎪+⎨-<⎪⎩，并将解集在数轴上表示出来．
押题方向三：方程的应用
3年江苏南京卷真题
考点命题趋势2023年江苏南京卷第22题
一元一次方程的应用从近年江苏南京中考来看，方程的实际应用是必考题，根据题意找出关系式，利用关系式列出方程求解，比较简单；预计2024年江苏南京卷还将继续
重视对方程的实际应用的考查。

2022年江苏南京卷第19题二元一次方程的应用1．（2023·江苏南京·中考真题）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为30C ︒，流速为20/ml s ；开水的温度为100C
︒，流速为15/ml s ．某学生先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯280ml 温度为60C ︒的水（不计热损失），求该学生分别接温水和开水的时间．物理常识
开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于
温水吸收的热量，可以转化为开水的体积⨯开水降低的
温度=温水的体积⨯温水升高的温度．【分析】设该学生接温水的时间为x s ，则接温水20x ml ，开水(28020)x ml -，由物理常识的公式可得方程，解方程即可．
【解答】解：设该学生接温水的时间为x s ，
根据题意可得：20(6030)(28020)(10060)x x ⨯-=-⨯-，
解得8x =，
208160()ml ∴⨯=，
280160120()ml -= ，
120158()s ∴÷=，
∴该学生接温水的时间为8s ，接开水的时间为8s ．
【点评】本题考查一元一次方程的实际应用，理解题意，理清数量关系是解决问题的关键．
2．（2022·江苏南京·中考真题）某文印店用2660元购进一批白色复印纸和彩色复印纸，白色复印纸每箱80元，彩色复印纸每箱180元，购买白色复印纸得箱数是彩色复印纸得箱数得5倍少3箱，求购买的白色复印纸得箱数和彩色复印纸得箱数．【答案】购买的白色复印纸22箱，彩色复印纸5箱
【分析】设购买的白色复印纸x 箱，彩色复印纸y 箱，根据总价是2660元、购买白色复印纸得箱数是彩色复印纸得箱数得5倍少3箱，列二元一次方程组，即可求解．【详解】解：设购买的白色复印纸x 箱，彩色复印纸y 箱．
由题意得：53801802660
x y x y =-⎧⎨+=⎩解得：225
x y =⎧⎨=⎩答：购买的白色复印纸22箱，彩色复印纸5箱．
【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据所给数量关系正确列出方程组．
一、用一元一次方程解决实际问题的常见类型
1.行程问题：路程＝速度×时间
2.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率
3.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价
4.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量
5.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期数
6.数字问题：多位数的表示方法：例如：32
101010abcd a b c d
=⨯+⨯+⨯+二．二元一次方程组的应用
（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
三、分式方程的应用
（1）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等．每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝工作量工作效率，时间＝路程速度
等．（2）列分式方程解应用题的一般步骤：①设未知数；②找等量关系；③列分式方程；④解分式方程；⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）；⑥答．
1．甲、乙两个机器人检测零件，甲比乙每小时多检测10个，甲检测300个零件所用的时间与乙检测240个零件所用的时间相等，求甲、乙两个机器人每小时各检测零件多少个?
投资，2021年用于绿化投资100万元，截止到2023年，这三年的绿化总投资为331万元，求我市2022、2023这两年绿化投资的年平均增长率．【答案】10%
【分析】
本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．
设这两年绿化投资的年平均增长率为x ，根据三年的绿化总投资钱数列方程求解即可．
【详解】解：设我市2022、2023这两年绿化投资的年平均增长率为x ，则2022年用于绿化投资()1001x +万元，2023年用于绿化投资()2
1001x +万元，
依题意得：()()210010*********x x ++++=，
整理得：2100300310x x +-=，
解得：10.110%x ==，2 3.1x =-（不合题意，舍去）．
答：我市2022、2023这两年绿化投资的年平均增长率为10%．
3．哥哥和弟弟在同一所学校上学．一天，弟弟与哥哥先后从家出发沿同一道路勺速去往学校，哥哥用时12min
到达学校，弟弟比哥哥早出发5min ，却在哥哥到达时还距离学校180m ．哥哥、弟弟所走的路程()1m y ，
()2m y 与哥哥所用的时间()min x 之间的函数关系如图所示．
(1)学校与家的距离是______m ；
(2)求点A 的坐标，并解释它的实际意义；
(3)哥哥出发多久后，追上弟弟？【答案】(1)1200
(2)()
0,300A (3)哥哥出发7.5min 后，追上弟弟
【分析】
（1）根据图象中，哥哥所走路程和哥哥所用时间的函数图象最大值，即可得出结论；
（2）根据哥哥用时12min 到达学校，弟弟比哥哥早出发5min ，却在哥哥到达时还距离学校180m ，可求出弟弟的速度，以及哥哥出发时弟弟所走路程，即可解答；
（3）先求出哥哥的速度，再根据哥哥追上弟弟时，两人所走路程相同，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：由图可知：学校与家的距离是1200m ，
故答案为：1200．
（2）解：∵哥哥用时12min 到达学校，弟弟比哥哥早出发5min ，却在哥哥到达时还距离学校180m ，∴弟弟用()12517min +=所走路程为()12001801020m -=，
∴弟弟的速度为：()10201760m /min ÷=，
∴当哥哥出发时，弟弟已经行走路程为：()560300m ⨯=，
∴点A 的坐标为()0,300，
综上：()0,300A ，实际意义为：当哥哥出发时，弟弟已经走了300m ．
（3）解：哥哥的速度为()120012100m/min ÷=，
设哥哥出发min t 后，追上弟弟，
30060100t t +=，
解得：7.5t =，
答：哥哥出发7.5min 后，追上弟弟．
【点睛】本题主要考查了根据函数图象获取信息，一元一次方程的实际应用，解题的关键是正确理解函数图象，明白其实际意义．
4．甲、乙两种商品的进价分别为55元/千克、15元/千克，每千克甲商品比乙商品售价多60元，售出甲商品20千克与售出乙商品60千克所获得的利润相等．
(1)求甲、乙商品的售价；
(2)某超市计划同时购进甲、乙两种商品共120千克，且购进甲商品的数量不大于乙商品数量的2倍．要使两种商品销售完后获得的总利润最大，应购进甲、乙两种商品各多少千克？【答案】(1)甲、乙商品的售价分别为85元和25元
(2)购进甲商品80千克，乙商品40千克，获得的利润最大
【分析】
（1）设甲、乙商品的售价分别为,x y 元，根据题意，列出方程组进行求解即可；
（2）设购进甲商品a 千克，总利润为w ，根据题意，列出一次函数关系式，利用一次函数的性质，进行求解即可．
【详解】（1）解：设甲、乙商品的售价分别为,x y 元，由题意，得：
()()6020556015x y x y -=⎧⎨-=-⎩
，解得：8525x y =⎧⎨=⎩；答：甲、乙商品的售价分别为85元和25元；
（2）设购进甲商品a 千克，则购进()120a -千克乙商品，
由题意，得：()2120a a ≤-，
解得：80a ≤；
设总利润为w ，则：()()()85552515120w a a =-+--，
整理，得：201200w a =+，
∵200>，w 随着a 的增大而增大，
∴当80a =时，w 的最大值为208012002800⨯+=元；
即：购进甲商品80千克，乙商品40千克，获得的利润最大．
【点睛】本题考查二元一次方程组实际应用，一元一次不等式的应用、一次函数的实际应用．找准等量关系，正确的列出方程组和函数关系式，是解题的关键．
5．为了庆祝中国共产党建党一百周年，某校举行“礼赞百年，奋斗有我”演讲比赛，准备购买甲、乙两种纪念品奖励在活动中表现优秀的学生．已知购买1个甲种纪念品和2个乙种纪念品共需20元，购买2个甲种纪念品和5个乙种纪念品共需45元．
（1）求购买一个甲种纪念品和一个乙种纪念品各需多少元；
（2）若要购买这两种纪念品共100个，投入资金不少于766元又不多于800元，问有多少种购买方案？并求出所花资金的最小值．【答案】（1）购进甲种纪念品每个需要10元，乙种纪念品每个需要5元；（2）共有7种进货方案；所花资金的最小值为770元．
【分析】（1）设购进甲种纪念品每个需要x 元，乙种纪念品每个需要y 元，根据“购买1个甲种纪念品和2个乙种纪念品共需20元；购买2个甲种纪念品和5个乙种纪念品共需45元”，即可得出关于x 、y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进甲种纪念品m 个，则购进乙种纪念品（100-m ）个，所花资金为w 元，根据总价=单价×数量得到w 关于m 的函数解析式，结合进货资金不少于766元且不超过800元，即可得出关于m 的一元一次不等式组，解之即可得出m 的取值范围，再由m 为整数即可找出各进货方案，利用一次函数的性质从而得出答案．
【详解】解：（1）设购进甲种纪念品每个需要x 元，乙种纪念品每个需要y 元，
根据题意得：2202545x y x y +=⎧⎨+=⎩
，解得：105
x y =⎧⎨=⎩；答：购进甲种纪念品每个需要10元，乙种纪念品每个需要5元；
（2）设购进甲种纪念品m 个，则购进乙种纪念品（100-m ）个，所花资金为w 元，
∴()1051005500w m m m =+-=+，
根据题意得：55007665500800
m m +≥⎧⎨+≤⎩，解得：53.2≤m ≤60．
∵m 为整数，
∴m =54、55、56、57、58、59或60．
∴共有7种进货方案；
∵5>0，
∴w 随m 的增大而增大，
∴m =54时，w 有最小值，最小值为770元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组：（2）根据各数量间的关系，正确列出w 关于m 的函数解析式和一元一次不
等式组．
6．2023春节档电影《满江红》热映，进一步激发观众爱国之情．帝都南阳与名将岳飞有着一段传颂至今的历史——公元1138年，岳飞统军过南阳到武侯祠敬拜诸葛亮，雨夜含泪手书前后《出师表》，为南阳留下了千古绝唱“三绝碑”．
某超市采购了两批同样的《出师表》纪念品挂件，第一批花了3300元，第二批花了4000元，已知第一批每个挂件的进价是第二批的1.1倍，且第二批比第一批多购进25个．
(1)求第二批每个挂件的进价；
(2)两批挂件售完后，该超市以第二批每个挂件的进价又采购一批同样的挂件，经市场调查发现，当售价为每个60元时，每周能卖出40个，若每降价1元，每周多卖10个，由于货源紧缺，每周最多能卖90个，求每个挂件售价定为多少元时，每周可获得最大利润，最大利润是多少？。