人教B版高中同步学案数学选择性必修第一册 第二章平面解析几何 第2课时 直线的两点式方程与一般式方程

课程标准
1.能用方向向量推导出直线的两点式方程;
2.理解直线的两点式、截距式和一般式方程的内在联系;
3.理解直线的两点式、截距式和一般式方程的适用范围;
4.能用合适的方程形式求直线的方程,并能进行方程形式上的转化.
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即4x-y-2=0.
-5
(3)由两点式方程,得直线方程为
-1-5

(4)由截距式方程,得直线方程为-3
(5)y-2=0.
=
-(-1)
,即
2-(-1)

+ -1=1,即
2x+y-3=0.
x+3y+3=0.
规律方法
1.在求直线方程时,直线设一般式方程有时并不简单,常用的还
是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程,然后可以转化为一般式方
名师点睛
1.直线的一般式方程与点斜式方程、斜截式方程、两点式方程、截距式
方程的方程形式及局限.
类型
方程形式
局限
点斜式方程 y-y0=k(x-x0)
不能表示斜率不存在的直线
斜截式方程 y=kx+b
不能表示斜率不存在的直线
两点式方程
不能表示斜率不存在或斜率为0的直线
截距式方程
不能表示与坐标轴平行及过原点的直线
a b
a是直线在x轴上的截距,b是直线在y轴上的截距.
2.若直线 l
x
的方程为a
+
y
=1,则
b
(1)直线与坐标轴围成的三角形的周长为|a|+|b|+ a2 + b 2 ;
(2)直线与坐标轴围成的三角形的面积为
1
S=2|ab|.
3.当直线不过原点且在两坐标轴上的截距相等时,直线的斜率k=-1,故常设
直线方程为x+y=a(a≠0).
∴3(-y)-4(-x)+5=0,即4x-3y+5=0,故选A.
角度2.直线的一般式方程的应用
【例4】 设直线l的方程为(m2-2m-3)x-(2m2+m-1)y+6-2m=0.
(1)已知直线l在x轴上的截距为-3,求m的值;
(2)已知直线l的斜率为1,求m的值.
解 (1)由题意知 m -2m-3≠0,即 m≠3 且 m≠-1.令 y=0,则
m=-2 或
变式探究对于本例中的直线l的方程,若直线l与y轴平行,求m的值.
解 ∵直线l与y轴平行,
2 -2-3 ≠ 0,
1
2
∴ -(2 + -1) = 0,∴m= .
2
6-2 ≠ 0,
规律方法
1.若方程Ax+By+C=0表示直线,则需满足A,B不同时为零.
2.令x=0可得在y轴上的截距,令y=0可得在x轴上的截距,若确定直线的斜率
(2)斜率为4,在y轴上的截距为-2;
(3)经过点A(-1,5),B(2,-1)两点;
(4)在x轴,y轴上的截距分别为-3,-1;
(5)经过点B(4,2),且平行于x轴.
解 (1)由点斜式方程,得直线方程为 y-3= 3(x-5),即 3x-y-5 3+3=0.
(2)由斜截式方程,得直线方程为y=4x-2,
变式训练2过A(1,4)且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线共有
3
条.
解析 一条是截距为0,一条是截距相等(不为0),一条是截距互为相反数(不
为0),共3条.
探究点三
直线的一般式方程
角度1.求直线的一般式方程
【例3】 根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式方程.
(1)斜率是 3 ,且经过点A(5,3);
P
1
代入可得
+
2
=1,则

1
1=
+
规律方法
对直线的截距式方程应注意以下几点:

(1)在方程 + =1中,要求a≠0,b≠0,即直线在x轴,y轴上的截距都不为0,因

此它不能表示过坐标原点或平行于x轴,y轴的直线.
(2)当题目条件中涉及截距相等或互为相反数时,若选用截距式方程来求解,
注意截距都为0,即直线过原点这种情况.
确.故选AD.
探究点二
直线的截距式方程
【例2】 已知直线l过点(1,2).
(1)当直线l在两坐标轴上的截距相等时,求直线l的方程;
(2)若直线l交x轴正半轴、y轴正半轴分别于A,B两点,求△AOB面积的最小
值.
解 (1)当直线的截距为0时,则y=2x.
当截距不为 0 时,设直线 l
1
把点(1,2)代入可得


的方程为
2
+ =1,解得

a=3,
故直线l的方程为y=2x或x+y-3=0.

+ =1,
(2)设直线 l
2
≥2


的方程为
2
1
,即 ab≥8,当

+

=1(a>0,b>0),把点

=
2
1
1
,即 a=2,b=4 时取“=”,故 S△AOB=2ab≥2×8=4,所以△

AOB 面积的最小值为 4.
;
2x-y-3=0
.
;
(2)直线l:3x-4y+5=0关于直线x+y=0对称的直线l'的方程为( A )
A.4x-3y+5=0 B.4x-3y-5=0
C.3x+4y-5=0 D.3x+4y+5=0
解析 在直线l'上任取一点(x,y),此点关于直线x+y=0的对称点(-y,-x)在直线
l:3x-4y+5=0上,
3 1
M 的坐标为(
,
),即( ,- ).
2
2
2 2
3 1
-0
A(-5,0),M( ,- )两点的直线方程为 1
2 2
- -0
2
=
+5
3
+5
2
,整理可得 x+13y+5=0.
规律方法 1.当已知两点坐标,求过这两点的直线方程时,首先要判断是否
满足两点式方程的适用条件:两点的连线不平行于坐标轴.若满足,则考虑
存在,可将一般式方程化为斜截式方程.
3.解分式方程要注意验根.
变式训练4若方程(2m2+m-3)x+(m2-m)y-4m+1=0表示一条直线,则实数m满
足( C )
A.m≠0
3
B.m≠-2
C.m≠1
3
D.m≠1,m≠-2,m≠0
解析 因为方程(2m2+m-3)x+(m2-m)y-4m+1=0表示一条直线,所以2m2+m-
3=0,m2-m=0不能同时成立,所以m≠1.
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1.经过(5,0),(2,-5)两点的直线方程为( B )
A.5x+3y-25=0
B.5x-3y-25=0
C.3x-5y-25=0
解析
D.5x-3y+25=0
-0
由两点式方程得
-5-0
所以得5x-3y-25=0.
1 2 3
=
-5
线?
解
在方程Ax+By+C=0(A2+B2≠0)中,若B=0,则x=-


,它表示一条与y轴平
行或重合的直线,此时直线的斜率不存在;若A=0,则y=- ,它表示一条与x

轴平行或重合的直线,此时直线的斜率为0.
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探究点一
直线的两点式方程
【例1】 [人教A版教材例题]已知△ABC的三个顶点A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),
(4)当A=0,B≠0,C=0时,直线与x轴重合;
(5)当A≠0,B=0,C=0时,直线与y轴重合.
变式训练3(1)根据下列各条件写出直线的方程,并化成一般式方程.
①斜率是-
1
2
,且经过点A(8,-6)的直线方程为 x+2y+4=0
②在x轴和y轴上的截距分别是
3
2
和-3的直线方程为
③经过点P1(3,-2),P2(5,-4)的直线方程为 x+y-1=0


+ =1(a≠0),
-
1
代入点(1,2)可得
a=-1,
2
− =1,解得
所以直线方程为x-y+1=0.
综上,所求直线方程为2x-y=0或x-y+1=0.故选D.
1 2 3
3.[人教版教材习题]已知直线l的方程是Ax+By+C=0.
(1)当B≠0时,直线l的斜率是多少?当B=0时呢?
(2)系数A,B,C取什么值时,方程Ax+By+C=0表示经过原点的直线?
解 (1)由Ax+By+C=0,得By=-Ax-C.
当 B≠0
知识点1
直线
的两
点式
方程
直线的两点式方程
已知条件
可转化为点斜式
图示
方程形式
适用条件
P1(x1,y1),P2(x2,y2),其中
斜率存在
x1≠x2,y1≠y2
且不为0
名师点睛
1.若直线l过点(0,b),(a,0),且a≠0,b≠0,则直线l的方程可利用两点式方程得出
x y
并化简为 + =1的形式,这一方程形式通常称为直线的截距式方程,其中
用两点式方程求直线方程.
2.由于减法的顺序性,一般用两点式方程求直线方程时常会将字母或数字
的顺序错位而导致错误,在记忆和使用两点式方程时,必须注意坐标的对应
关系,即x2与y2是同一点坐标,而x1与y1是另一点坐标.
变式训练1(多选题)下列说法正确的是( AD )
-1
A.- =k
1
不能表示过点 M(x1,y1)且斜率为 k 的直线方程
,
2-5
2.过点A(1,2)的直线在两坐标轴上的截距之和为0,则该直线方程为( D )
A.x-y+1=0
B.x+y-3=0
C.2x-y=0或x+y-3=0
D.2x-y=0或x-y+1=0
解析 当直线过原点时,可得斜率为
2-0
k=1-0=2,
所以直线方程为 y=2x,即 2x-y=0;

当直线不过原点时,设方程为
-3
3.过点P(3,2)和点Q(4,7)的直线方程为
解析
-2
由
7-2
=
-3
,整理得
4-3
5x-y-13=0.
5x-y-13=0
.
知识点2
直线的一般式方程
求直线方程时,最后一般将直线方程化为一般式方程
所有的直线方程都可以写成Ax+By+C=0的形式,其中A,B,C都是实常数,而
且A与B不同时为零(即A2+B2≠0).Ax+By+C=0一般称为直线的一般式方程.
程.
2.当直线方程Ax+By+C=0(A2+B2≠0)的系数A,B,C满足下列条件时,直线
Ax+By+C=0有如下性质:
(1)当A≠0,B≠0时,直线与两条坐标轴都相交;
(2)当A≠0,B=0,C≠0时,直线只与x轴相交,即直线与y轴平行,与x轴垂直;
(3)当A=0,B≠0,C≠0时,直线只与y轴相交,即直线与x轴平行,与y轴垂直;
2
2 -6
∴ 2 -2-3=-3,得
5
∴m=- .
3
5
m=-3或
m=33,
2
(2)由题意知,2m +m-1≠0,即
1
m≠2且
由直线 l 化为斜截式方程,得
m=-1(舍去),
∴m=-2.
m≠-1.
2 -2 -3
6-2
2 -2-3
y=2 2 +-1x+2 2 +-1,得2 2 +-1=1,得
过关自诊
1.判断正误.(正确的画 ,错误的画×)
(1)直线的两点式方程适用于求与两坐标轴不垂直的直线方程.(
(2)过原点的直线不适用两点式方程.( × )
)
2.在x轴、y轴上的截距分别为-3,4的直线方程为( A )
x
A.-3
y
+ 4=1
x
B.3
y
+ -4 =1
x
C.
-4
y
+ =1
3
x
D.
4
y
+ =1
1

在x轴、y轴上的截距分别为a,b,只有ab≠0时,直线方程为 + =1,故B错

误;
直线y=kx+b与y轴的交点坐标是(0,b),交点到原点的距离为|b|,故C错误;
当x1≠x2时,直线方程为y-y2=
1 -2
1 -2
(x-x2),
当x1=x2时,直线方程为x=x2,也适合方程(x-x2)(y1-y2)-(y-y2)(x1-x2)=0,故D正
直线.( × )
(3)当A,B同时为零时,方程Ax+By+C=0也可表示一条直线.( × )
2.在平面直角坐标系中,直线x+ 3 y-3=0的倾斜角是( C
A.30°
B.60° C.150° D.120°
)
3
解析 直线斜率k= - ,所以倾斜角为150°,故选C.
3
3.在方程Ax+By+C=0(A2+B2≠0)中,当A=0或B=0时方程分别表示怎样的直
B.在 x 轴、y 轴上的截距分别为 a,b

的直线方程为


+ =1

C.直线y=kx+b与y轴的交点到原点的距离为b
D.过两点A(x1,y1),B(x2,y2)的直线方程为(x-x2)(y1-y2)-(y-y2)(x1-x2)=0
-1
解析 -
=k表示过点M(x1,y1)且斜率为k的直线去掉点(x1,y1),故A正确;
求边BC所在直线的方程,以及这条边上的中线AM所在直线的方程.
解 如图,过
-2
B(3,-3),C(0,2)的两点式方程为
-3-2
=
-0
,整理得
3-0
5x+3y-6=0.这就是
边 BC 所在直线的方程.
边 BC 上的中线是顶点 A 与边 BC 中点 M 所连线段,
由中点坐标公式,可得点
过
3+0 -3+2
一般式方程 Ax+By+C=0
无
2.直线的一般式方程与点斜式方程、斜截式方程、两点式方程、截距式
方程的关系
过关自诊
1.判断正误.(正确的画 ,错误的画×)
(1)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化.( × )
(2)对于二元一次方程Ax+By+C=0,当A=0,B≠0时,方程表示斜率不存在的