高考调研北师大版选修4-5数学课时作业2精讲精练

课时作业(二)
1．设a ，b ∈R ，若a －|b|>0，则下列不等式中正确的是( ) A ．b －a>0 B ．a 3＋b 3<0 C ．a 2－b 2<0 D ．b ＋a>0
答案 D
2．若|x －a|<m ，|y －a|<n ，则下列不等式一定成立的是( ) A ．|x －y|<2m B ．|x －y|<2n C ．|x －y|<n －m D ．|x －y|<n ＋m 答案 D
3．设ab<0，a ，b ∈R ，那么正确的是( ) A ．|a ＋b|>|a －b| B ．|a －b|<|a|＋|b| C ．|a ＋b|<|a －b| D ．|a －b|<||a|－|b|| 答案 C
解析 取a ＝－2，b ＝3，用特殊值验证． 4．|x －A|<ε2，|y －A|<ε
2是|x －y|<ε的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 答案 A
解析 利用绝对值不等式性质可得．
5．设a ，b ，c 是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是( ) A ．|a －b|≤|a －c|＋|b －c| B ．a 2＋1a 2≥a ＋1
a
C ．|a －b|＋1
a －b
≥2 D.a ＋3－a ＋1≤a ＋2－ a 答案 C
解析 由于a －b 的符号不能确定，故选C.
6．已知|α＋β|＝|α|＋|β|，|α|>22，|β|>22，则下列结论：①|α－β|≤|α＋β|；②|α－β|>|α＋β|；③|α＋β|>5；④|α＋β|≤5.其中正确的有( ) A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．③④
答案 B
解析 ∵|α＋β|＝|α|＋|β|，∴αβ≥0.
∴|α－β|≤|α＋β|. ∵|α|>22，|β|>22，
∴|α＋β|＝|α|＋|β|>42>5成立．∴①③正确． 7．若1<1a <1
b ，则下列结论中不正确的是( )
A ．log a b>log b a
B ．|log a b ＋log b a|>2
C ．(log b a)2<1
D ．|log b a|＋|log a b|>|log a b ＋log b a|
答案 D
8．已知|x －m|<ξ2，|y －n|<ξ
2，则|4x ＋2y －4m －2n|小于( )
A ．ξ
B ．2ξ
C ．3ξ D.ξ
2
答案 C
9．若不等式|x －2|＋|x ＋3|<a 的解集为∅，则a 的取值范围为( ) A ．a>5 B ．a ≥5 C ．a<5 D ．a ≤5 答案 D
10．设变量x ，y 满足|x －1|＋|y －a|≤1，若2x ＋y 的最大值是5，则实数a 的值是( ) A ．2 B ．1 C ．0 D ．－1 答案 B
11．下列四个不等式：①log x 10＋lgx ≥2(x －1)；②|a －b|<|a|＋|b|；③|b a ＋a
b |≥2(ab ≠0)；
④|x －1|＋|x －2|≥1，其中恒成立的是________．(把你认为正确的序号都填上) 答案 ③④
12．对于任意的实数x ，不等式|x ＋1|＋|x －2|>a 恒成立，则实数a 的取值范围是________． 答案 a<3
13．(2014·江西)x ，y ∈R ，若|x|＋|y|＋|x －1|＋|y －1|≤2，则x ＋y 的取值范围为________． 答案 [0，2]
14．若不等式|2a －1|≤|x ＋1
x |对一切非零实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．
答案 [－12，3
2
]
解析 |x ＋1x |＝|x|＋1
|x|
≥2，
所以由已知得|2a －1|≤2，即2a －1≤2且2a －1≥－2，解得－12≤a ≤3
2.
15．若f(x)＝x 2－x ＋c(c 为常数)，|x －a|<1. 求证：|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1)． 证明 |f(x)－f(a)| ＝|(x 2－x ＋c)－(a 2－a ＋c)| ＝|x 2－x －a 2＋a|＝|(x －a)(x ＋a －1)| ＝|x －a|·|x ＋a －1|<|x ＋a －1| ＝|(x －a)＋(2a －1)|≤|x －a|＋|2a －1| ≤|x －a|＋|2a|＋1<1＋2|a|＋1 ＝2(|a|＋1)．
16．设函数f(x)＝|2ax ＋b|(a ，b 是常实数)的定义域是[－1，1]，如果对于定义域内的每一个x ，都有f(x)<1，那么|a|＋|b|<1. (1)证明上述命题；
(2)写出上述命题的逆命题，若逆命题正确，请给以证明；若逆命题错误，请举一个反例给以说明．
解析 (1)∵x ∈[－1，1]时，都有f(x)<1， ∴f(1)<1且f(－1)<1， 即|2a ＋b|<1且|－2a ＋b|<1.
又2a 与b 或－2a 与b 一定有一个同号， ∴|2a|＋|b|<1，即|a|＋|a|＋|b|<1. 所以|a|＋|b|<1.
(2)逆命题是：设函数f(x)＝|2ax ＋b|(a ，b 是常实数)的定义域是[－1，1]，如果|a|＋|b|<1，那么对于定义域内的每一个x ，都有f(x)<1.上述逆命题是错误的． 例如，a ＝34，b ＝1
8
满足|a|＋|b|<1，
但是f(56)＝|2×34×56＋1
8
|>1，所以逆命题不成立．
1．已知h>0，设命题甲：两个实数a ，b 满足|a －b|<2h ，命题乙：两个实数a ，b 满足|a －1|<h
且|b －1|<h ，那么( ) A ．甲是乙的充分不必要条件 B ．甲是乙的必要不充分条件 C ．甲是乙的充分条件
D ．甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 答案 B
2．已知α，β是实数，给出以下四个论断：
①|α＋β|＝|α|＋|β|；②|α－β|≤|α＋β|；③|α|>22，|β|>22；④|α＋β|>5.
以其中的两个论断为条件，其余两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________． 答案 ①③⇒②④
3．以下三个命题：(1)若|a －b|<1，则|a|<|b|＋1；(2)若a ，b ∈R ，则|a ＋b|－2|a|≤|a －b|； (3)若|x|<2，|y|>3，则|x y |<2
3，其中正确的有________个．
答案 3
解析 (1)∵|a －b|<1，而|a －b|≥|a|－|b|，∴|a|－|b|<1，∴|a|<|b|＋1成立；(2)∵|a ＋b|＝|2a －(a －b)|≤|2a|＋|a －b|＝2|a|＋|a ＋b|，∴|a ＋b|－2|a|≤|a －b|成立；(3)∵|x|<2，|y|>3，∴0<1|y|<1
3，∴
|x||y|<2
3
成立．所以3个命题均正确． 4．已知|a|<1，|b|<1，则|a ＋b|＋|a －b|________2. 答案 <
解析 当a ＋b 与a －b 同号时，|a ＋b|＋|a －b|＝|a ＋b ＋a －b|＝2|a|<2； 当a ＋b 与a －b 异号时，|a ＋b|＋|a －b|＝|a ＋b －(a －b)|＝2|b|<2； 当(a ＋b)(a －b)＝0时，|a ＋b|＋|a －b|<2. 综上，|a ＋b|＋|a －b|<2.
5．设函数f(x)＝|2x －1|－|x ＋2|.若存在x 0∈R ，使得f(x 0)＋2m 2<4m ，求实数m 的取值范围．
解析 f(x)＝|2x －1|－|x ＋2|＝⎩⎨⎧－x ＋3，x<－2，
－3x －1，－2≤x ≤1
2，x －3，x>1
2
，
所以f(x)min ＝f(12)＝－52.因为存在x 0∈R ，使得f(x 0)＋2m 2<4m ，所以4m －2m 2>f(x)min ＝－5
2，
整理得4m 2－8m －5<0，解得－12<m<52，因此m 的取值范围是(－12，5
2
)．
6．设不等式－2<|x －1|－|x ＋2|<0的解集为M ，a ，b ∈M ，证明：|13a ＋16b|<1
4.
证明 记f(x)＝|x －1|－|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪
⎧3，x ≤－2，－2x －1，－2<x<1，－3，x ≥1.
由－2<－2x －1<0，解得－12<x<12，则M ＝(－12，1
2
)．
因为a ，b ∈M ，所以|a|<12，|b|<12，所以|13a ＋16b|≤13|a|＋16|b|<13×12＋16×12＝1
4
.。