2021-2022学年云南省楚雄州高二上学期期末教育学业质量监测数学试题(解析版)

2021-2022学年云南省楚雄州高二上学期期末教育学业质量监测数学
试题
一、单选题
1．已知集合{}2210,{02}A x
x x B x x =--≤=<<∣∣，则A B =（ ） A ．(]0,1 B ．[]1,2-
C ．1,12⎛⎤
⎥⎝⎦
D ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
【答案】A
【分析】由题知112A x
x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭
∣，再根据集合交集运算求解即可. 【详解】解：解不等式2210x x --≤得1
12
x -≤≤，
所以{}2121012A x
x x x x ⎧⎫
=--=-⎨⎬⎩⎭
∣∣， 所以{01}A B x
x ⋂=<∣. 故选：A
2．设232i z z +=-，则1z +=（ ）
A ．
B
C ．
D 【答案】C
【分析】设i z a b =+，,a b ∈R ，则由已知条件可求出复数z ，从而可求出1z + 【详解】设i z a b =+，,a b ∈R ，则23i 32i +=-=-z z a b ，则1a =，2b =， 所以112i 122i +=++=+z
所以1+=z 故选：C
3．已知数列315
1,1,,,,
4216--，则这个数列的第8项为（ ）
A ．18-
B ．116
-
C ．964
-
D ．1132
-
【答案】B
【分析】依据前五项的规律写出数列的通项公式，由通项公式求出数列的第8项即可. 【详解】由已知条件得
∵数列01
12=
，1212-=-，23342=，31422
-=-，455,162=
∴1
1
(1)2n n n n a +-=-， 则9
8781(1)
.216
a =-=- 故选：B .
4．双曲线22432-=x y 的实轴长为（ ） A ．1 B
C ．2
D
．【答案】B
【分析】由双曲线的标准方程可求出a ，即可求双曲线的实轴长.
【详解】由22432-=x y 可得：22
1
12
23x y -=， 212a ∴=
，即a =
∴
实轴长2a
故选：B
5．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的两个焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，12||||10PF PF +=，
且C 的短半轴长等于焦距，则椭圆C 的标准方程为（ ） A ．22
12510
x y +=
B ．22
12520
x y +=
C ．22
13020+=x y
D ．22
14530
+=x y
【答案】B
【分析】由题可得5a =，2222,==+b c a b c ，即求. 【详解】因为12210PF PF a +==， 所以5a =.
因为2222,==+b c a b c ，
所以c b ==
故椭圆C 的标准方程为22
12520
x y +
=. 故选：B.
6．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比为q ，若639S S =，445S =，则1qa =（ ） A ．3 B ．6
C ．9
D ．12
【答案】B
【分析】根据等比数列前n 项和公式进行求解即可.
【详解】设{}n a 的公比为q ，因为639S S =，所以1q ≠，则有6311(1)(1)
911a q a q q q
--=⋅--，
即3
19q +=，解得2q .又
()41124512
a -=-，所以13a =，16qa =.
故选：B
7．“0mn <”是“方程22
1x y m n
+=表示的曲线为双曲线”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据双曲线的方程以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可.
【详解】当0mn <，则0m >且0n <或0m <且0n >，此时方程22
1x y m n
+=表示的曲线一定为双曲线；
则充分性成立；
若方程22
1x y m n
+=表示的曲线为双曲线，则0mn <，则必要性成立，
故选：C .
8．已知数列{}n a 满足sin 26n n a ⎛⎫
=+
⎪⎝⎭
，其前n 项和为n S ，则2021S =（ ）
A ．
B ．12
-
C ．12
D 【答案】D
【分析】利用代入法可以判断出该数列的周期，利用周期性进行求解即可.
【详解】因为1a 212a =-，3a =412a =，5a
所以{}n a 是周期为4的周期数列，40S =，所以20211S a ==故选：D
9．椭圆22182x y m +=-m =（ ） A ．6 B ．10
C ．6或18
D ．10或18
【答案】C
【分析】对椭圆的焦点位置分两种情况讨论，解方程即得解.
【详解】解：当椭圆22
182x y m +=-的焦点在x 轴上时，820,210m m >->∴<<.
则()2
828m --=⎝⎭
，得6m =；
当椭圆22
182x y m +=-的焦点在y 轴上时，28,10m m ->∴>.
则
(
)2
282
m m --=-⎝⎭
，得18m =. 故选：C
10．已知经过抛物线22(0)y px p =>焦点F 的直线交抛物线于()11,A x y ，()22,B x y 两点，O 为坐标原点，直线OA 交抛物线的准线l 于点D ，则下列说法不正确的是（ ） A ．212y y p =- B ．12AB x x p =++ C ．2
122
p x x =
D ．直线DB 平行于x 轴
【答案】C
【分析】根据焦点弦的性质判断B ，设直线AB 的方程为2
p
x my =+
，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，即可判断A 、C ，求出点D 的纵坐标，即可判断D.
【详解】解：由题知，焦点F 的坐标为,02p ⎛⎫
⎪⎝⎭
，准线l 的方程为2p x =-，所以点D 的横坐标为2p -.
由抛物线的定义知12p
AF x =+，22p BF x =+，所以12AB x x p =++，故B 正确.
设直线AB 的方程为2p x my =+，联立方程组222y px p x my ⎧=⎪⎨=+
⎪⎩
得22
20y pmy p --=，
则2
12y y p =-，所以2221212244
y y p x x p ==，故A 正确，C 错误. 因为直线OA 的方程为12p y x y =，所以点D 的纵坐标为21p y -，因为2
21
p y y =-，所以直线DB 平行于x 轴，故D 正确. 故选：C
11．若数列{}n a 满足()()()1112n n n a n a n --=+≥，12a =，则满足不等式870n a <的最大正整数n 为（ ） A ．28 B ．29 C ．30 D ．31
【答案】A
【分析】依题意可得
111
n n a n a n -+=-，再利用累乘法求出通项公式，再解一元二次不等式即可； 【详解】解：由()()()1112n n n a n a n --=+≥，得111
n n a n a n -+=-， 所以23
2112
1341
212
1
n n n a a a n a a n n a a a n -+=⋅
⋅⋅⋅
=⨯⨯⨯⨯
=+-
因为870n a <，所以28700n n +-<，解得3029n -<<，所以满足条件的最大正整数n 为28. 故选：A
12．3D 打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D 打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为10的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为4cm ，下底直径为6cm ，高为9cm ，则喉部（最细处）的直径为（ ）
A ．
92
8
cm B ．
42
3
cm C ．
92
4
cm D ．
82
3
cm 【答案】D
【分析】作该塔筒的轴截面图像并建立坐标系，根据双曲线的性质求出其实轴长度即可.
【详解】该塔筒的轴截面如图所示，以C 为喉部对应点，设A 与B 分别为上、下底面对应点，以双曲线的对称中心为原点，焦点所在轴为x 轴建立如图所示的坐标系.
由题意可知2A x =，3B x =，9A B y y -=， 设()2,A m ，则()3,9B m -．
设双曲线的方程为()22
2210,0x y a b a b
-=>>，
∵双曲线的离心率为2
101b a ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
，∴3b a =．
方程可化简为22299x y a -=(*)，
将A 和B 的坐标代入(*)式可得()22
22
369,8199,m a m a ⎧-=⎪⎨--=⎪⎩
解得42
3a =， 则喉部的直径82
23
a =cm ． 故选：D
二、双空题
13．某地区在2020年底全面建成小康社会，随着乡村振兴战略规划的实施，该地区农村居民的收入逐渐增加，可支配消费支出也逐年增加.现统计了该地区2016年到2020年农村居民人均消费支出情况，对有关数据进行处理后，制成如图所示的折线图，其中变量y （万元）表示该地区农村居民人均年消费支出，则这五年该地区农村居民人均年消费支出的平均数为___________，方差为___________.（本题第一空2分，第二空3分）
【答案】 1.3 0.04
【分析】根据题意得该地区农村居民人均年消费支出数据为1,1.2,1.3,1.4,1.6，进而根据公式求解即可. 【详解】解：该地区农村居民人均年消费支出数据为1,1.2,1.3,1.4,1.6， 所以这五年该地区农村居民人均年消费支出的平均数1 1.2 1.3 1.4 1.6
1.35
x ++++=
=，
方差22222
2
(1.31)(1.3 1.2)(1.3 1.3)(1.3 1.4)(1.3 1.6)0.045
s -+-+-+-+-=
=. 故答案为：1.3；0.04
三、填空题
14．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.现有一道和书中内容类似的题目：把100个
面包分给5个人，使每人所得面包个数成等差数列，且较多的三份面包个数之和的1
3
是较少的两份
面包个数之和，则最少的一份面包个数为_____________. 【答案】10
【分析】设每人所得的面包个数从小到大依次为2a d -，a d -，a ，a d +，2a d +， 由题意列方程组求出a ，d ，即可得到结论.
【详解】设每人所得的面包个数从小到大依次为2a d -，a d -，a ，a d +，2a d +， 则225100a d a d a a d a d a -+-+++++==， 所以20a =. 因为()1
223
a d a d a a d a d -+-=
++++，所以()14036033d d -=+，所以5d =，
所以最少的一份面包个数为210a d -=. 故答案为：10
15．抛物线224y x =-上有一动点P ，其焦点为(),9,5F A -，则PF PA +的最小值为___________. 【答案】15
【分析】根据抛物线的定义得到PF PA PC PA +=+，进而结合几何图形可确定最小值.
【详解】
由题可知，抛物线焦点为(6,0)F -，准线为:6l x =， 过P 作准线的垂线为PC 交准线为点C ， 根据抛物线的定义可知PF PC =， 所以PF PA PC PA +=+，
因为P 为抛物线上的动点，所以当P 为点P '时，
PF PA PC PA +=+取到最小值为6(9)15AB =--=,
故答案为: 15.
16．动点P 与定点()2,0F 的距离和它到定直线8x =的距离的比是1:2，则动点P 的轨迹方程是
___________. 【答案】22
11612
x y +
= 【分析】设动点(,)P x y ，用坐标表示已知条件并化简即可． 【详解】设(,)P x y
12=，化简得：22
11612
x y +=， 故答案为：22
11612
x y +
=． 【点睛】本题考查动点轨迹方程，解题方法是直接法，即设动点坐标为(,)x y ，用坐标表示出题中动点满足的几何条件，然后化简即可．
四、解答题
17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差20,d a ≠是15,a a 的等比中项，575S =. (1)求{}n a 的通项公式；
(2)求数列11n n a a +⎧⎫
⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .
【答案】(1)63n a n =- (2)189
n
n +
【分析】（1）根据等差数列的公式列方程求解得1
6,
3,d a =⎧⎨=⎩，进而得通项公式；
（2）结合（1）得
1111166363n n a a n n +⎛⎫
=- ⎪-+⎝⎭
，再根据裂项求和法求解即可. 【详解】（1）解：由题意知()()2
1115
14,
51075,a a d a d S a d ⎧+=+⎪⎨
=+=⎪⎩ 因为0d ≠，所以1
6,3,d a =⎧⎨=⎩ 所以63n a n =-.
（2）解：因为()()111111636366363n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭
所以11111
11111639915
63636363189
n n
T n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+
+
-=-= ⎪ ⎪
-+++⎝⎭⎝⎭ .
18．已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且3cos 5sin 3cos b C a A c B =-. (1)求sin A ；
(2)若3,5a b ==，求ABC 的面积.
【答案】(1)3
5
(2)6
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再根据两角和的正弦公式计算可得；
（2）首先根据同角三角函数的基本关系求出cos A ，再利用余弦定理求出c ，最后根据面积公式计算可得；
【详解】（1）解：因为3cos 5sin 3cos b C a A c B =-， 所以3sin cos 5sin sin 3sin cos B C A A C B =-，
所以23sin cos 3sin cos 3sin()5sin B C C B B C A +=+=， 即23sin 5sin A A =， 因为sin 0A ≠，所以3
sin 5
A =
. （2）解:因为a b <，所以A B <，所以2
4cos 1sin 5
A A =-=.
因为2222cos ,3,5a b c bc A a b =+-==，
所以2
4925255
c c =+-⨯⨯，所以28160c c -+=，
解得4c =，
故ABC 的面积为113
sin 546225
bc A =⨯⨯⨯=.
19．如图，在棱长为a 的正方体1111OABC O A B C -中，E 、F 分别是棱AB 、BC 上的动点，且AE BF =.
(1)求证：11A F C E ⊥；
(2)当三棱锥1B BEF -的体积取得最大值时，求平面1B EF 与平面BEF 的夹角余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)13
【分析】（1）建立空间直角坐标系，设AE BF x ==，表示出E 、F 的坐标，根据空间向量法得到
110A C E F ⋅=，即可得证；
（2）利用基本不等式求出三棱锥1B BEF -的体积的最大值，从而求出x ，过B 作BD EF ⊥于D ，即可得到1B D EF ⊥，则1B DF ∠是二面角1B EF B --的平面角，再根据锐角三角函数计算可得. 【详解】（1）证明：如图建立坐标系
设AE BF x ==，则()1,0,A a a ，()1,,0F a x a -，()1,,C x a a --， 所以()1,,A F x a a =--，()1,,C E a x a a =--，
所以()2
110A F C E xa a x a a ⋅=-+-+=，
所以11A F C E ⊥；
（2）解：由（1）可知BE a x =-，BF x =，
所以三棱锥1B BEF -的体积()()2
2
1166224x a x a V x a x a a ⎡⎤+-=-≤⋅=
⎢⎥⎣⎦
， 当且仅当x a x =-，即2
a
x =
时取得最大值， 过B 作BD EF ⊥于D ，又1BB ⊥平面ABCD ，EF ⊂平面ABCD ，
所以1BB EF ⊥，又1BB BD B ⋂=，1,BB BD ⊂平面1BB D ，
所以EF ⊥平面1BB D ，1B D ⊂平面1BB D ，
所以1B D EF ⊥，
所以1B DF ∠是二面角1B EF B --的平面角，
在直角三角形BEF 中，2a BE BF ==
，12BD EF ==，
所以11tan B B B DB BD ∠==111sin tan cos B DB B DB B DB ∠∠=∠且2211sin cos 1B DB B DB ∠+∠=， 解得11cos 3B DB ∠=或11cos 3
B DB ∠=-（舍去）， 因此平面1B EF 与平面BEF 的夹角余弦值为13
. 20．甲､乙两名同学玩摸球游戏，在一个不透明的纸箱中装有大小相同的6个球，其中编号为1的球有3个，编号为2的球有2个，编号为3的球有1个，规定每人一次性取其中的3个，取出编号为1的球记1分，取出编号为2的球记2分，取出编号为3的球记3分.首先由甲取出3个球，并不再将所取球放回原纸箱中，然后由乙取出剩余的3个球.规定取出球的总积分多者获.
(1)求甲不输的概率；
(2)从概率的角度分析先后取球的顺序是否影响比赛的公平性.
【答案】(1)1320
(2)先后取球的顺序不影响比赛的公平性
【分析】（1）根据题意，记编号为1的球为,,a b c ，编号为2的球为,d e ，编号为3的球为f ，进而列举基本事件，结合古典概型概率公式和对立事件公式求解即可；
（2）结合（1），分别求甲、乙获胜的概率即可判断.
【详解】（1）解：记编号为1的球为,,a b c ，编号为2的球为,d e ，编号为3的球为f ， 则甲取球的所有情况有
,,,,,,,,,,,,,,,,,abc abd abe abf acd ace acf ade adf aef bcd bce bcf bde bdf bef cde cdf ，,cef def ，共20种. 因为6个小球的总分为31221310⨯+⨯+⨯=分，
所以若要甲不输，则甲要至少得5分.
设事件A 表示“甲不输”，则A 包含,,,,,,abc abd abe acd ace bcd bce ，共7个基本事件， 所以()720
P A =，
故甲不输的概率()71312020
P A =-=. （2）解：由甲先取球时，若甲获胜，得分只能是7分或6分，
即取出的3个小球中有1个编号为3的球和2个编号为2的球，或有1个编号为3的球和1个编号为2的球和1个编号为1的球，有,,,,adf aef bdf bef cdf ，,cef def ，共7种情况， 即甲获胜的概率1720
P =. 若甲､乙平局，则各得5分，包含,,,,,abf acf bcf ade bde cde ，共6个基本事件，
所以甲､乙平局的概率2632010
P ==， 所以甲输，即乙获胜的概率33771102020P =-
-=， 因此甲､乙获胜的概率相同.同理，由乙先取球时，甲､乙获胜的概率也相同.
故先后取球的顺序不影响比赛的公平性.
21．已知函数()()e 1e x x f x a -=++．
(1)若()f x 是偶函数，求a 的值；
(2)若对任意()0,x ∈+∞，不等式()1f x a +恒成立，求a 的取值范围．
【答案】(1)0
(2)(],3-∞
【分析】（1）由偶函数的定义得出a 的值；
（2）由()
1f x a +分离参数得2e e 1e 1x x x a -+≤-，利用换元法得出2e e 1e 1
x x x -+-的最小值，即可得出a 的取值范围．
【详解】（1）因为()f x 是偶函数，所以()()f x f x -=，
即()()e 1e e 1e x x x x a a --++=++，故0a =． （2）由题意知()e 1e 1x x a a -++≥+在()0,∞+上恒成立，
则()2e 1e e 1x x x a --+，又因为()0,x ∈+∞，所以e 1x >， 则2e e 1e 1
x x x a -+≤-．令()e 10x t t -=>，则e 1x t =+， 可得()()2
2111111t t t t a t t t t +-++++≤==++，
又因为113t t
++≥，当且仅当1t =时，等号成立，所以3a ≤，即a 的取值范围是(],3-∞． 22．已知双曲线22
1416
x y -=. (1)过点()1,1N 的直线与双曲线交于S ，T 两点，点N 能否是线段ST 的中点，为什么？
(2)直线():2l y kx m k =+≠±与双曲线有唯一的公共点M ，过点M 且与l 垂直的直线分别交x 轴、
y 轴于(),0A x ，()0,B y 两点.当点M 运动时，求点(),P x y 的轨迹方程，并说明该轨迹是什么曲线.
【答案】(1)不能，理由见解析
(2)P 的轨迹方程为22
100125
x y -=，其中0y ≠，P 的轨迹是焦点在x 轴上，实轴长为20，虚轴长为10的双曲线（去掉两个顶点）.
【分析】（1）设()11,S x y ，()22,T x y ，线段ST 的中点为()00,Q x y ，设直线ST 的方程为()11y n x -=-，联立直线与双曲线方程，即可求出0x ，再令01x =求出n ，再代入检验即可；
（2）联立直线与双曲线方程，消元，根据Δ0=，得到()2244m k =-，即可得到M 的坐标，即可求
出过点M 且与直线l 垂直的直线方程，从而得到x 、y 的关系，即可得解.
【详解】（1）解：点N 不能是线段ST 的中点，理由如下：
设()11,S x y ，()22,T x y ，线段ST 的中点为()00,Q x y ，
显然，直线ST 的斜率存在，设直线ST 的方程为()11y n x -=-，即1y nx n =-+.
因为双曲线的渐近线的斜率为2±，所以2n ≠±. 联立方程组2211416
y nx n x y =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩得()22242(1)(1)160n x n n x n -+----=①， 所以1222(1)4n n x x n -+=-，则02(1)4n n x n -=-，令2
(1)14n n n -=-，解得4n =. 当4n =时，方程①变为21224250x x -+=，因为Δ0<，
所以方程①没有实数根，
所以不能作一条直线与双曲线交于S ，T 两点，使点N 是线段 ST 的中点.
（2）解：联立方程组22
1416x y y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩
得()()22242160k x kmx m ---+=，
因为2k ≠±，且M 是双曲线与直线l 唯一的公共点，
所以()()222Δ(2)44160km k m =-+-+=，得()2244m k =-，
所以点M 的坐标为416,k m
m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，其中0km ≠. 因为过点M 且与直线l 垂直的直线为1614k y x m k m ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭
， 令0y =，得20k x m =-
，令0x =，得20y m =-， 所以22222224004001600410010044k m x y m m m ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭
， 即P 的轨迹方程为22
100125
x y -=，其中0y ≠， P 的轨迹是焦点在x 轴上，实轴长为20，虚轴长为10的双曲线（去掉两个顶点）.。