广西钦州市高新区高三数学12月月考试题文

广西钦州市高新区2016-2017学年高三年级上学期12月份考试
数 学 试 题
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60） 1.已知集合{}1,0,1,2A =-，{}2|log (1)0B x x =+>，则A B =（ ）
A ．{}0,1,2
B ．(0,2]
C ．{}1,2
D ．[1,2]
2.已知复数z 满足3z i i ⋅=-，则z =（ ） A ．1 B ． 3 C ．10 D ．10
3.已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若36-=a ，216=S ，则5a 等于（ ） A ．3- B ．1- C ．1 D ．4
4.下列函数中，图象的一部分如右图所示的是（ ） （A ）sin 6y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
（B ）sin 26y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
（C ）cos 43y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
（D ）cos 26y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
5.已知等比数列{n a }的前n 项和12-=n n S ，则++2
221a a …2n a +等于（ ）
A ．2
)12(-n
B ．)12(31-n
C ．14-n
D ．)14(3
1-n
6．若两个非零向量，满足|+|=|﹣|=2||，则向量+与﹣的夹角是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
7．设变量x ，y 满足约束条件，则z=﹣2x+y 的最小值为（ ）
A ． ﹣7
B ． ﹣6
C ． ﹣1
D ． 2
8、把函数sin()6y x π
=+
图象上各点的横坐标缩小到原来的12（纵坐标不变）
，再将图象向右平移3
π
个单位，那么所得图象的一条对称轴为（ ） A.2
x π
=-
B.4
x π
=-
C.8
x π
=
D.4
x π
=
9、某四棱锥的三视图如图所示（单位：cm),则该四棱锥的表面积是 A ．2)7313(cm + B ．2)3412(cm + C ．2)7318(cm + D ．2(93235)cm ++
10、已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则=⋅BC AF A ．85
- B ．81 C ．41 D ．8
11
11.已知非零向量,a b 的夹角为
60，且满足22a b -=，则a b ⋅的最大值为（ ） A ．
2
1
B ．1
C ．2
D ．3 12.已知点B A M ，，，)01
(是椭圆14
22
=+y x 上的动点，且0MA MB ⋅=，则MA BA ⋅的取值范围是（ ）.
A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡132，
B. ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡932， C. []91， D.⎥⎦
⎤⎢⎣⎡336， 二、 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.221,4()log ,4
x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，则((3))f f =_________________
14．设F 为抛物线2
:4C y x =的焦点，曲线k
y x
=（0k >）与抛物线C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k =_________
15．正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 翻折，使点B 与点C 间的距离为，此时四面体ABCD
外接球表面积为______． 16 ．过双曲线
=1（a ＞0，b ＞0）的左焦点F （﹣c ，0）作圆x 2+y 2=a 2的切线，切点为E ，
延长FE 交抛物线y 2=4cx 于点P ，O 为原点，若
，则双曲线的离心率为 ．
三、解答题：本大题共6小题，选作题10分，其它每题12分，共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且232n n S a =-（*
n N ∈）
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若3log (1)n n b S =+，求数列{}2n b 的前n 项和n T 。

18.11(,)A x y , 22(,)B x y 为单位圆O 上的按逆时针排列的两个动点，且23
AOB π∠= （1）若235x =-
，24
5
y =，求1y 的值。

（2）若A 在第一象限，求12y y +的取值范围。

19.已知点F 为抛物线2
:4C y x =的焦点，点P 是准线l 上的动点，直线PF 交抛物线C 于,A B 两点，若点P 的纵坐标为(0)m m ≠，点D 为准线l 与x 轴的交点．
（1）求直线PF 的方程； （2）求DAB ∆的面积S 范围；
（3）设AF FB λ=，AP PB μ=，求证λμ+为定值
20. （本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy 中,已知圆032122
2
=+-+x y x 的圆心为M ,过点
P (0,2)的斜率为k 的直线与圆M 相交于不同的两点A 、B .
(1)求k 的取值范围;
(2)是否存在常数k ,使得向量+与平行?若存在,求k 值,若不存在,请说明理由.
A
B
x
y
O
D l P
F
A B
O y
x
O
y
x
M
P
21.某校从参加高一年级期中考试的学生中抽出60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[)50,40，
[)60,50，[80,90)，[]100,90，然后画出如下部分频率分
布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：
（1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；
（2）估计这次考试的及格率（60分及60分以上为及格）和平均分；
（3）把从[80,90)分数段选取的最高分的两人组成B 组，[90,100]分数段的学生组成C 组，现从B ，C 两组中选两人参加科普知识竞赛，求这两个学生都来自C 组的概率.
22、在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1:C cos ()sin x y θ
θθ
=⎧⎨
=⎩为参数，以平面直角坐标系xOy 的原点
O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线:(2sin )6l cos ρθθ-=． （1）将曲线1C 上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的3、2倍后得到曲线2C ，试写出直线l 的直角坐标方程和曲线2C 的参数方程；
（2）在曲线2C 上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最大，并求出此最大值．
参考答案：
1.C
2.C
3.B
4.D
5.D
6.C
7. A
8.A
9.D 10.C 11.B12.B
二、填空题
13、3 14、2 15．5π 16．
．
（17） (Ⅰ) ∵232()n n S a n N *=-∈，∴当n ≥2时，11232n n S a --=-，
两式相减得13n n a a -=.
又当n =1时，11232S a =-，∴12a =. ∴ 数列{}n a 是首项为2，公比为3的等比数列. ∴ 数列{}n a 的通项公式为123n n a -=⨯.
(Ⅱ)由123n n a -=⨯可得123232n n S -=⨯⨯-，∴31n n S =- ∴33log (1)log 3n n n b S n =+==，………9分 ∴22n b n =. ∴2(22)
24622
n n n T n n n +=+++
+=
=+. 18.解：（1）由已知设x 轴正半轴为始边，OA 为终边的角为α，则终边为OB 的角为23
πα+。

又点34(,)55
B -所以23cos()35πα+
=-，24
sin()35πα+=……… 所以122sin sin()33
y ππ
αα==+-…
2222sin()cos cos()sin
3333
ππππ
αα=+-+ 4133334()()525-=
⋅---⋅=…… （2）122sin()sin 3
y y π
αα+=+
+…… 1313sin cos sin sin cos 22ααααα=-++=+sin()3
πα=+……
因为A 在第一象限，所以可设(0,
)2
πα∈，所以5(,)336
π
ππ
α+
∈， 1
sin()(,1]32
πα+∈……
所以12y y +的取值范围为1
(,1]2。

…
19.解：（1）由题知点,P F 的坐标分别为(1,)m -，(1,0)，
于是直线PF 的斜率为2
m -
， 所以直线PF 的方程为(1)2
m
y x =-
-，即为20mx y m +-=． （2）设,A B 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，
由24,(1),2
y x m
y x ⎧=⎪⎨=--⎪⎩得2222(216)0m x m x m -++=， 所以2122216m x x m ++=，121x x =． 于是2122
416||2m AB x x m +=++=．
点D 到直线20mx y m +-=的距离2
4
d m =
+，
20.(1)圆的方程可化为4)6(2
2=+-y x ,直线可设为2+=kx y ,
方法一:代入圆的方程,整理得036)3(4)1(2
2
=+-++x k x k ,
因为直线与圆M 相交于不同的两点A 、B ,得 0>∆⇒04
3
<<-
k ; 方法二:求过点P 的圆的切线,由点M 到直线的距离=2,求得0,4
3
=-=k k ,结合图形,可知
04
3
<<-k . O
y
x
M
P
(2)设),(11y x A ,),(22y x B ,因
P (0,2),M (6,0),OB OA +=),(2121y y x x ++,)2,6(-=,向量OB OA +与平
即)(6)(22121y y x x +-=+ ①.
由036)3(4)1(2
2
=+-++x k x k ,2
211)
3(4k
k x x +--=+,2)(2121++=+x x k y y , 代入①式,得43-
=k ,由03
<<-k ,所以不存在满足要求的k 值.
21.（1）0.3；（2）71；（3
22. 1）直线l ：260x y --=，曲线2C ：（2）点P ，。