2016-2018年高考数学分类汇编：专题6平面向量 教师版

目录
全国1 (2)
全国2 (3)
全国3 (4)
北京 (6)
天津 (8)
上海 (11)
浙江 (12)
江苏 (14)
全国1
【2018全国1卷理6文7】在ABC ∆中,AD 为BC 边上的中线,E 为AD 的中点,则=
A .AC A
B 4143- B .A
C AB 43
41- C .AC AB 4143+ D .AC AB 4
341+ 【答案】A
【解析】+-=+=2
1,故选A
【2017全国1卷理13】已知向量b a ,的夹角为602=1=，则2a b += . 【答案】：32 【解析32444=++===
+
【2017全国1卷文13】已知向量a =（-1，2），b =（m ，1），若向量b a +与a 垂直，则m = 。

【答案】：7
【解析】：)3,1(-=+m 向量垂直则有0)(=⋅+023)1)(1=*+--⇒m （。

【2016全国1卷理13】设向量)1,(m a =，)2,1(=b ，且2
22b a b a +=+，则m = .
【答案】：-2
【解析】： 由已知得：()1,3a b m +=+
∴()2
2
2
2
2222213112a b a b m m +=+⇔++=+++，解得2m =-．
【2016全国1卷文13】设向量)1,(+=x x ，)2,1(=,且⊥，则x = . 【答案】3
2
-
【解析】试题分析：由题意，3
20230-=⇒=+⇒=⋅⇔⊥x x .
全国2
1、【2018全国2卷文4】已知向量a , b 满足|a |=1,a ·b =-1,则a ·（2a -b ）= A . 4 B . 3 C . 2 D .0 【答案】B 【解析】
()
22213
a a
b a a a b ⋅-=⋅-⋅=+=
2、【2017全国2卷文4】设非零向量a ,b 满足a+b =a-b 则 A .a ⊥b B . a =b
C .a ∥b
D . a b >
【答案】A 【解析】
2222
||||220a b a b a a b b a a b b a b a b
+=-∴+⋅+=-⋅+∴⋅=∴⊥
3、【2016全国2卷理1】）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是
（A ）()31-，
（B ）()13-，
（C ）()1,∞+
（D ）()3∞--，
【答案】A
【解析】∴30m +>，10m -<，∴31m -<<，故选A ．
4、【2016全国2卷文13】已知向量a =(m ,4)，b =(3,-2)，且a ∥b ，则m =___________. 【答案】-6
【解析】因为a ∥b ，所以2430m --⨯=，解得6m =-．
全国3
一、选择题
1.【2016全国3卷理3
】设集合1(,
22BA =，31
()22
BC =，则ABC ∠=（ ） A . 0
30
B . 045
C . 0
60 D .0
120
【答案】A
【解析
】由题意，
得11
2222cos 112||||
BA BC ABC BA BC ⨯⋅∠==
=
⨯，所以030ABC ∠=，故选A ．
2.【2016全国3卷文3】设集合1(2BA =，31
()2
BC =，则ABC ∠=（ ） A . 0
30
B . 045
C . 0
60
D .0
120
【答案】A
【解析】由题意，得11
2222cos 11||||
BA BC ABC BA BC ⨯⋅∠==
=⨯，所以030ABC ∠=，故选A ．
3.【2017全国3卷理12】在矩形ABCD 中，1=AB ，2=AD ，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AD AB AP μλ+=，则μλ+的最大值为（ ）
A ．3
B ． 22 C
D ．2 【答案】A
【解析】由题意，画出右图．设BD 与C 切于点E ，连接CE ．以A 为原点，AD 为x 轴正半轴，AB 为y 轴正半轴建立直角坐标系，则C 点坐标为
(2,1)．
∵||1CD =，||2BC =
．∴BD = ∵BD 切C 于点E ． ∴CE ⊥BD ．
∴CE 是Rt BCD △中斜边BD 上的高．
1
2||||
22||||||BCD BC CD S EC BD BD ⋅⋅⋅====△即圆C
． ∵P 在圆C 上．
∴P 点的轨迹方程为22
4(2)(1)5
x y -+-=．
设P 点坐标00(,)x y ，可以设出P
点坐标满足的参数方程如下：00
21x y θθ⎧
=+⎪⎪⎨
⎪=+⎪⎩
而00(,)AP x y =，(0,1)AB =，(2,0)AD =．
∵(0,1)(2,0)(2,)AP AB AD λμλμμλ=+=+=
∴0112x μθ=
=+
，01y λθ==． 两式相加得：
112)
2sin()3
λμθθθϕθϕ+=+=+=++≤ (
其中sin ϕ
，cos ϕ=当且仅当π
2π2
k θϕ=
+-，k ∈Z 时，λμ+取得最大值3． 4.【2017全国3卷文13】知向量()2,3=-a ，()3,m =b ，且⊥a b ，则m = . 【答案】2
【解析】因为 ⊥a b ，所以 0⋅=a b ，即 630m -+=，解得2m =. 5.【2018全国3卷理13】已知向量()1,2a =，()2,2b =-，()1,c λ=，若()2c
a b +，则
λ= .
【答案】
12
【解析】因为()24,2a b +=，所以()242c
a b λ+⇒=，所以12
λ=. 6.【2018全国3卷理13】已知向量()1,2a =，()2,2b =-，()1,c λ=，若()2c
a b +，则
λ= .
【答案】
12
【解析】因为()24,2a b +=，所以()242c
a b λ+⇒=，所以12
λ=. 北京
【2018北京卷理6】设a ，b 均为单位向量，则“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】证明充分条件，
()()
b
a a
b b ab a b ab a b a b a b a b a ⊥∴=-++=+-+=-∴+=-0126996333322222
2
，
易知必要条件也成立，故为充分必要条件 【2018北京卷文9】设向量a =（1,0）,b =（-1,m ）,若a ⊥（m a -b ）则m = 【答案】-1
【解析】∵ ⊥（m - ）∴ ·（m - ）=0 ∵m - =m （1,0）-（-1,m ）=（m +1,-m ） ∴（1,0）·（m +1,-m ）=0 即m +1=0，∴m =-1
【2017北京卷理5】设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m n λ=”是“0m n ⋅＜”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】存在负数λ，使得n m
λ=，根据共线向量基本定理，可知两向量反向共线，所以
0<⋅n m 成立；反之，若0<⋅n m
，则说明两向量夹角为钝角或是180°，所以不能推出两向量反向共线，所以是充分不必要条件。

【2017北京卷文7】设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m n λ=”是“0m n ⋅＜”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】（1）∵“存在负数λ，使得m n λ=，且m ,n 为非零向量”，则2
0mn nn n λλ⋅=⋅=⋅
＜，
故对m ,n 为非零向量，“存在负数λ，使得m n λ=”是“0m n ⋅＜”的充分条件； （2）“=m n m n ⋅⋅⋅cos ,0m n <>＜”，故cos ,0m n <>＜，
则,,2m n ππ⎛⎤
<>∈ ⎥⎝⎦
，故m ,n 不一定反向，即不一定存在负数λ，使得m n λ=成立，故
“0m n ⋅＜”是“存在负数λ，使得m n λ=”的不必要条件。

故选A 。

【2016北京卷理4】设a ，b 是向量，则“=a b ”是“+=a b a b -”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】以向量a →
，b →
为邻边做平行四边形，,a b a b →
→→
→
+-分别为两条对角线菱形的对角线不一定相等，反之对角线相等的平行四边形不一定是菱形
【2016北京卷文9】已知向量，则a 与b 夹角的大小为_________.
【答案】
6
π
【解析】3cos ,222
a b a b a b
⋅+<>=
=
=
⨯⋅，∴a 与b 夹角的大小为6π
天津
一、选择题
1.【2018天津卷理8】如图，在平面四边形ABCD 中，
AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠
=︒，1AB
AD ==. 若点E 为边CD 上的动点，则⋅的最小值为
=a b
A .
2116
B .
32
C .
25
16
D . 3 【答案】A
【解析】取线段AB 中点M ，根据极化恒等式：
()()
4
14414122222-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=
⋅=⋅EM 故而当AB EM ⊥
45=
，⋅最小值为16
21
2.【2018天津卷文8】在如图的平面图形中，已知
120,2,1=∠==MON ON OM ，
2,2==，则⋅的值为
（A ）-15 （B ）-9 （C ）-6 （D ）0
【答案】：C 【解析】：
BC OM ⋅，2CN NA =，
2
33)3()3()3()3333cos120BC OM MA AN OM MA AN OM
MO OA AO ON OM MO ON OM MO OM ON OM MO ON OM ∴⋅=+⋅=+⋅=+++⋅=+⋅=⋅+⋅=-+︒
（
又1
1233
12()62
OM ON BC OM ==∴⋅=-+⨯⨯⨯-=-，，
3.【2016天津卷7】已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则AF BC ⋅的值为
（A ）8
5-
（B ）
8
1 （C ）
4
1 （D ）
8
11 【答案】B 【解析】
BC AC AB =- A F A D D F =+
1322AB DE =+13
24
AB AC =+
∴()1324BC AF AC AB AB AC ⎛⎫
⋅=-+ ⎪⎝⎭
1113311111222442=
⋅⋅⋅-+-⋅⋅⋅13131
44288
=+--=，选B ． 二、填空题
1、【2017天津卷13】在△ABC 中，∠A =60°，AB =3，AC =2.若2=，-=λ(λ∈R ），且⋅=-4，则λ的值为 。

【答案】：3
=
11
λ 【解析】
()
2221
=()
33
2121
33332112114323293323238233
AD AE AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB λλλλλλλ∙-+=+∙-∙-=⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯=+-- 即 115=-43AD AE λ∙=
-，所以3
=11
λ 上海
2016~2018三年高考真题分类汇编 专题5 平面向量
【2016上海卷理12】在平面直角坐标系中，已知A （1,0），B （0，-1），P 是曲线21x y -=上一个动点，则⋅的取值范围是_________. 【答案】[]
12,0+
【解析】曲线化简为，设点，所以
，当时，取最大值为，当是，
取最小值0
【2017上海卷20】在平面直角坐标系中，已知椭圆，为的上顶点，为上异于
上、下顶点的动点，为正半轴上的动点.
（1）若在第一象限，且，求
的坐标；
（2）设，若以为顶点的三角形是直角三角形，求的横坐标； （3）若，直线与交于另一点，且，，
21x y -=)0(12
2
≥=+y y x ()π≤≤t t t P 0cos ,sin 1)4
sin(21sin cos ++=++=⋅π
t t t 4π=t 12+π=t xOy 2
2:14
x y Γ+=A ΓP ΓM x P ||OP =P 83
(,)55
P M P A 、、M ||||MA MP =AQ ΓC 2AQ AC =4PQ PM =
求直线的方程. 【答案】：（1） （2）或， （3） 【解析】：（1）联立与，可得 （2）设，或
（3）设，线段的中垂线与轴的交点即，∵，
∴，∵，∴，代入并联立椭圆方程， 解得，，∴，∴直线的方程为 【2018上海卷8】在平面直角坐标系中，已知点、，、是轴上的两个动点，且，则的最小值为 【答案】
【解析】设，则，最小值为
浙江
【2016浙江卷文15】已知平面向量,a b ，1a =，2b =，1a b ⋅=，若e 为平面单位向量，则a e b e ⋅+⋅的最大值是 ．
AQ P 35m =
1m =29
20
m
=1y x =
+22:14x y Γ+=222x
y +
=(33
P (,0)M m 2
83833
(,1)(,)055555
MA MP m m m m m ⋅=-⋅-=-+
=⇒=1m =8283864629
(,)(,)0555********
PA MP m m m ⋅=-⋅-=-+=⇒=00(,)P x y AP x 03
(,0)8
M x 4PQ PM =003(,3)2Q x y --2AQ AC =0
0133(,
)42
y C x
--0x =
019y
=-1()3Q
AQ 1y =+(1,0)A -(2,0)B E F y ||2EF =AE BF ⋅3-)2,0(),,0(+m F m E 3)1(2
-+=⋅m 3-
【答案
【解析】a e b e a e b e e
e
⋅⋅⋅+⋅=+
，其几何意义为a 在e 上的投影的绝对值与b 在e 上投
影的绝对值的和，
当e 与a b +共线时，取得最大值．∴()
max
7a e b e
a b ⋅+⋅=+=．故答案为：
【2016浙江卷理15】已知平面向量,a b ，1a =，2b =，若对任意单位向量e ，均有
6a e b e ⋅+⋅≤，则
a b ⋅的最大值是 .
【答案】
12
||||()a e b e a b e ≥⋅+⋅≥+⋅，对任意单位向量e 恒成立，所以||6a b +≤，得
12
a b ⋅≤
. 【2017浙江卷10】如图，已知平面四边形ABCD ，AB BC ⊥，2AB BC AD ===，
3CD =，AC 与BD 交于点O ，记1I O A O B =⋅，2I OB OC =⋅，3I OC OD =⋅，则（ ）
A .123I I I <<
B .132I I I <<
C .312I I I <<
D .213I I I <<
【答案】C
【解析】如果直接建系做比较麻烦，可以通过看图进行比较，
1cos 0I OA OB OA OB AOB =⋅=⋅⋅∠<，2cos 0I OB OC OB OC BOC =⋅=⋅⋅∠>，3cos 0I OC OD OC
OD COD =⋅=⋅⋅∠<，先看夹角可知2I 最大，再看模长可知3I 最小，
选C .
【2017浙江卷15】已知向量,a b 满足1a =，2b =，则||||a b a b ++-的最小值是 ，最大值是 .
【答案】4,⎡⎣
【解析】设,a b 夹角为θ，所以||||54cos a b a b ++-=+
令y =[]22100,1y θ=+∈，
所以[]2
16,20,4,y y ⎡∈∈⎣，||||4,a b a b ⎡++-∈⎣.
【2018浙江卷9】已知,,a b e 是平面向量，e 是单位向量，若非零向量a 与e 的夹角为3
π，向量b 满足2
4b e b -⋅30+=，则||a b -的最小值是
A 1
B 1
C .2
D .2【答案】A
【解析】可通过坐标法，即设)0,1(=，)3,(t t =，),(y x =，则0342
=+⋅-展开得：1)2(0342222=+-⇒=+-+y x x y x ，要求||-2
2
)3()(t y t x -+-=的最小值，可转化为：
圆1)2(22=+-y x 的点到直线x y 3=的距离的最小值，求得：最小值为
132
3
2-=-r ，选A . 江苏
【2018江苏12】在平面直角坐标系xOy 中，
A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)
B ，
以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0A BC D ⋅=，
则点A 的横坐标为 ． 【答 案】3
【解 析】∵0AB CD ⋅=∴AB CD ⊥,又C 为AB 中点，∴45BAD ∠=︒,设l 的倾斜角为
θ，∴()tan tan 453ABO θ∠=-+︒=，∴tan 3AB k ABO =-∠=-,()352y x y x
=--⎧⎪⎨
=⎪⎩ ∴3A x =
【2017江苏12】如图，在同一个平面内，向量OA ,OB ,OC ,的模分别为1,1OA 与OC 的夹角为α，且tan 7α=，OB 与OC 的夹角为45.若(,)OC mOA nOB m n R =+∈，则
m n += ▲ .
【答 案】 3
【解 析】 以O 为原点，OA 为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则(1,0)A ,又tan 7α=，OC
的模长为
，17
(,)55
C ∴.
OB 与OC 的夹角为45，令A O B ∠的补角为β，则
4
t a n t a n ()
t a n ()
4
4
3
π
πβπαα=--=-+= 34(,)55
B ∴-
173457
,(,)(1,0)(,),,,555544OC mOA nOB m n m n =+=+-∴==即
3m n ∴+=.
【2017江苏13】在平面直角坐标系x y o 中，(12,0)A -，(0,6)B ，点P 在圆22:50O x y +=上，若20PA PB ⋅≤，则点P 的横坐标的取值范围是 ▲ .
【答 案】 [-
【解 析】 令00(,)P x y ，
20,PA PB ⋅≤又0000(12,),(,6)PA x y PB x y =---=--，
22000012620x x y y ∴++-≤.220050x y +=,0025y x ≥+,数形结合可得点P 的横坐标的取
值范围是[-.
【2016江苏13】如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，，
，则的值是 ▲ .
【答 案】
8
7
【解 析】设a BD =，b DF =
由题意可知3+=，3-+=，+=，+=-
可得4-92
2
==∙a b CA BA ，1-2
2
-==∙a b CF BF
解得852
=，8132=，可得8
7
-422==∙
【2017江苏16】已知向量()cos ,sin a x x =，(3,3b =-，[]0,x π∈. (1)若//a b ，求x 的值；
(2)记()f x a b =⋅，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值. 【答 案】(1)56x π=; (2)当0x =时，()f x 取最大值3，当56
x π
=时，()f x 取最小
值-. 【解 析】（1）
//a b
，3sin 0x x -=，
4BC CA ⋅=1BF CF ⋅=-BE CE
⋅
又
[]0,x π∈，cos 0x ∴≠ ，
tan 3
x ∴=-
，
[]0,x π∈， 56
x π∴=
.
（2）()f x a b =⋅3cos x x =
)
3cos x x =-
-
1
sin 2x x ⎫=-⎪⎪⎭
sin cos cos sin 33x x ππ⎫=--⎪⎭
[]
,0,3x x ππ⎛
⎫=--∈ ⎪⎝⎭.
[]0,x π∈， 2,333x π
ππ⎡⎤
∴-
∈-⎢⎥⎣⎦，sin 3x π⎡⎤⎛⎫∴-∈⎢⎥ ⎪⎝
⎭⎣⎦，
3x π⎛
⎫⎡⎤∴--∈- ⎪⎣⎦⎝⎭
,
∴当0x =时，()f x 取最大值3, 当56
x π
=
时，()f x 取最小值-.。