辽宁省东北育才学校2017届高三上学期第一次模拟考试数学(理)试卷含解析

开始
结束输出是
否
,0S S k ==?2>S k
S S 2-=2
+=k k k 东北育才学校高中部2017届高三第一次模拟
数学试题(理科）
考试时间:120分钟 试卷满分：150分
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题,每小题5分，满分60分. 1。

已知集合2
{|160}A x x =-<，{5,0,1}B =-，则
A.A B =∅ B ．B A ⊆ C ．{0,1}A B = D ．A B ⊆
2.复数
i
i -1)1(2
+等于
A ．i +1
B ．i --1
C ．i -1
D ．i +-1
3.某程序框图如图所示，若该程序运行后输出k 的值是6, 则输入的整数0
S 的可能值为 A 。

5 B.6 C 。

8 D 。

15
4.
已知直线1sin cos :=+θθy x l ，且l OP ⊥于P ，O 为坐标原点, 则点P 的轨迹方程为
A ．12
2
=+y x B ．12
2
=-y x C ．1=+y x D ．1=-y x 5。

函数x e x f x
ln )(=在点))1(,1(f 处的切线方程是
A.)1(2-=x e y B 。

1-=ex y C.)1(-=x e y D 。

e x y -= 6。

“等式)2sin()sin(βγα=+成立”是“γβα、、成等差数列”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分又不必要条件
7.在各项均为正数的等比数列{}n
a 中，21
=a ，542,2,a a a +成等差数列，
n
S 是数列{}n a 的前n 项的和，则=-4
10S S
A.1008 B 。

2016 C.2032 D 。

4032
8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表
面积是
A ．90
B ．92
C ．98
D ．104
9.半径为4的球面上有D C B A 、、、四点,AD AC AB 、、两两互相垂直，则ADB ACD ABC ∆∆∆、、面积之和的最大值为
A ．8
B ．16
C ．32
D 。

64
10。

设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0,0109<>S S ,则9
9
3322122,2,2a
a a a ，中最大
的是 A ．1
2a
B ．5
5
2a
C ．6
6
2a
D ．99
2a
11。

已知函数)()(()(3
2
1
x x x x x x x f ---=）（其中3
2
1
x x x <<）
，)12sin(3)(++=x x x g ,且函数)(x f 的两个极值点为）（，βαβα<．设2
,23
2
2
1
x x x x +=+=μλ，则 A ．)()()()(μβλαg g g g <<< B ．)()()()(μβαλg g g g <<<
C ．)()()()(βμαλg g g g <<<
D ．)()()()(βμλαg g g g <<<
12.设双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的右焦点为F ,过点F 作x 轴的垂线交两渐
近线于点B A ,两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标
原点，若)R OB OA OP ∈+=μλμλ，（，8
5
2
2
=+μλ，则双曲线的离心率为（ ） A ．3
32 B ．5
53 C ．2
23 D ．8
9
第Ⅱ卷（非选择题 共90分)
二。

填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13.若n
S 是数列{}n a 的前n 项的和，且762
++-=n n S n ，则数列{}n
a 的最大项的值为___________.
14.设
22
1
(32)=⎰-a x x dx
,则二项式
2
6
1()
-ax x
展开式中的第
4
项为
___________.
15。

已知正方形ABCD 的边长为2，点E 为AB 的中点．以A 为圆心，AE 为
半径，作弧交AD 于点F ，若P 为劣弧EF 上的动点，则PC PD 的最
小值为___________.
16。

已知函数x x a x f 22)(1
+
=+在]3,2
1[-上单调递增,则实数a 的取值范围_________。

三、
解答题:本大题共6小题,共70分．解答应写出文字说明，证明过
程或演算步骤．
17．（本题满分12分)
已知函数))(12
(sin 2)62sin(3)(2
R x x x x f ∈-+-=π
π （I)求函数)(x f 的最小正周期;
（Ⅱ）求使函数)(x f 取得最大值的x 的集合．
18.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是菱
形，
︒
=∠60DAB ,,1,==⊥AD PD ABCD PD 平面 点,E F 分别为AB 和PD 中点.
(Ⅰ)求证：直线PEC AF 平面//；
（Ⅱ)求PC 与平面PAB 所成角的正弦值.
19.（本小题满分
12分）
某网站用“10分制”调查一社区人们的治安满意度．现从调查人群中随机抽取16名，以下茎叶图记录了他们的治安满意度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)．
F
E B
D
C
A
P
（I)若治安满意度不低于9.5分，则称该人的治安满意度为“极安全”，求从这16人中随机选取3人,至多有1人是“极安全”的概率; (II ）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记X 表示抽到“极安全”的人数,求X 的分布列及数学期望．
20。

（本小题满分12分）
1:22
22=+b
y a x C 如图，已知直线1:+=my x l 过椭圆
的右焦点F ,抛物线：y x 342
=的焦点为椭圆C 的
上顶点，且直线l 交椭圆C 于B A 、两点，点
B F A 、、在直线4=x g ：上的射影依次为点E K D 、、．
(Ⅰ）求椭圆C 的方程; （Ⅱ）若直线l 交y 轴于点M ,且BF MB AF MA 2
1
λλ==，，
当m 变化时,探求2
1
λλ+的值是否为定值?若是，求出2
1
λλ+的值，否则，说明理由.
21.
（本小题满分12分）
设x m =和x n =是函数2
1()ln (2)2
f x x x
a x =+-+的两个极值点，其中
m n <,a R ∈。

（Ⅰ) 求()()f m f n +的取值范围；
（Ⅱ）
若2a ≥+-,求()()f n f m -的最大值。

22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
如图所示,已知⊙O 的半径长为4，两条弦BD AC ,相交于点E ，若34=BD ，DE BE >，E 为AC 的中点，AE AB 2=。

（Ⅰ） 求证：AC 平分BCD ∠; （Ⅱ)求ADB ∠的度数.
.A
B C
D
E
O
23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
已知曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==θ
θ
sin 3cos 2y x （其中θ
为参数）,以坐标原点
为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2
C 的极坐标方程为01sin cos =+-θρθρ。

（Ⅰ） 分别写出曲线1
C 与曲线2
C 的普通方程； (Ⅱ)若曲线1
C 与曲线2
C 交于B A ,两点,求线段AB 的长.
24。

（本小题满分10分) 选修4－5：不等式选讲 已知函数|12|)(-=x x f 。

(Ⅰ)求不等式2)(<x f 的解集；
（Ⅱ）若函数)1()()(-+=x f x f x g 的最小值为a ,且)0,0(>>=+n m a n m ，求
n
n m m 1
222+++的最小值.
东北育才高中部第三次模拟数学(理科）答案
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分,满分60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1.C 2。

D 3。

C 4.A5。

C 6.B 7。

B 8。

D 9.C 10。

B 11.D 1
2.A
二。

填空题:本大题共4小题，每小题5分． 13。

12 14.31280-x
15.5- 16。

[﹣1,1]
三、解答题：本大题共6小题,共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17。

(Ⅰ) f(x ）=错误!sin(2x －错误!)+1－cos2（x －错误!)
= 2［错误!sin2(x －错误!)－错误! cos2（x －错误!）］+1 =2sin ［2(x －错误!)－错误!]+1 = 2sin(2x －错误!） +1
∴ T=错误!=π
(Ⅱ）当f(x)取最大值时， sin(2x －错误!)=1,
有 2x －π
3 =2k π+错误!
即x=k π+ 错误! （k ∈Z ）
∴所求x 的集合为{x ∈R ｜x= k π+ 错误! , (k ∈Z)｝.
18.解:（Ⅰ）证明:作FM ∥CD 交PC 于M . ∵点
F 为PD 中
分
点,∴CD FM
2
1
=。

(2)
∵21=k ，∴FM AB AE ==2
1
,
学必求其心得，业必贵于专精
∴AEMF 为平行四边形,∴AF ∥EM , ……4分 ∵AF PEC EM PEC ⊄⊂平面，平面，
∴直线AF //平面PEC . ……………6分 (Ⅱ）60DAB ∠=，DE DC ∴⊥。

如图所示，建立坐标系,则
（
3
2
,0,0)，
P (0，0，1）,C (0，1，0）,E A （
32，12-，0),31
(,,0)22
B ， ∴31,,122AP ⎛⎫
=- ⎪ ⎪⎝⎭
，()0,1,0AB =. (8)
分
设平面PAB 的一个法向量为(),,n x y z =.
∵0n AB ⋅=,0n AP ⋅=,∴⎪⎩
⎪⎨⎧==++-
021
23y z y x ，取1x =，则32z =，
∴平面PAB 的一个法向量为
3
(1,0,
)2
n =。

…………………………10分
设向量n PC θ与所成角为，∵(0,1,1)PC =-, ∴3
422
cos 14
7
24
n PC n PC
θ-⋅=
=
=-
⨯, ∴PC 平面PAB 所成角的正弦值为
4214
. .…………………………12分
19.
F
E
B
A
C
D
y
z
x P
20.解：(Ⅰ）易知椭圆右焦点F（1，0），∴c=1，抛物线的焦点坐标，∴∴b2=3∴a2=b2+c2=4∴椭圆C的方程
（Ⅱ）易知m≠0,且l与y轴交于，
设直线l交椭圆于A（x1，y1)，B(x2，y2)
由
∴△=（6m）2+36（3m2+4)=144（m2+1）＞0
∴
又由
∴
同理
∴
∵
∴
所以，当m变化时，λ1+λ2的值为定值；
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ)知A（x1，y1），B（x2，y2)，∴D(4，y1），E（4，y2)
方法1）∵
当时，
=
=
∴点在直线l AE上，
同理可证,点也在直线l BD上；
∴当m变化时，AE与BD相交于定点
方法2）∵
=
∴k EN =k AN ∴A 、N 、E 三点共线， 同理可得B 、N 、D 也三点共线； ∴当m 变化时，AE 与BD 相交于定点．
解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞,
21(2)1
()(2)x a x f x x a x x
-++'=+-+=
.
依题意，方程2
(2)10
x
a x -++=有两个不等的正根m ,n （其中m n <）.故
2(2)40
020
a a a ⎧+->⇒>⎨
+>⎩，
并且
2,1
m n a mn +=+=.
所以,2
21()()ln ()(2)()
2
f m f n mn m n a m n +=++-++
2211
[()2](2)()(2)1322
m n mn a m n a =+--++=-+-<-
故()()f m f n +的取值范围是(,3)-∞- （Ⅱ)解:当12a e e
≥
+
-时，21(2)2a e e +≥++.若设(1)n
t t m =>，则
22
2
()11
(2)()22m n a m n t e mn t e
++=+==++≥++.
于是有
111
()(1)0t e t e t e t e te
+≥+⇒--≥⇒≥
222211
()()ln ()(2)()ln ()()()
22
n n f n f m n m a n m n m n m n m m m -=+--+-=+--+-
2222
111ln ()ln ()ln ()
22211ln ()
2n n n m n n m n m m m mn m m n t t t
-=--=-=--=--
构造函数
11
()ln ()2g t t t t
=--（其中
t e
≥）,则
2
22
111(1)()(1)022t g t t t t
-'=-+=-<。

所以()g t 在[,)e +∞上单调递减,1
()()122e g t g e e
≤=-+。

故()()f n f m -的最大值是
1122e e
-+
22.(本小题满分10分）
解：（1）由E 为AC 的中点，AE AB 2=
得
AB
AC AE AB ==2 又CAB BAE ∠=∠
ABE ∆∴∽ACB ∆
ACB ABE ∠=∠∴
又ABE ACD ∠=∠
ACB ACD ∠=∠∴
故AC 平分BCD ∠………………5分
（2）连接OA ，由点A 是弧BAD 的中点，则BD OA ⊥, 设垂足为点F ,则点F 为弦BD 的中点,32=BF 连接OB ，则2)32(42222=-=-=
BF OB OF ，224=-=-=OF OA AF ， 60,2142cos =∠===
∠∴AOB OB OF AOB 302
1=∠=∠∴AOB ADB ………………10分
23.（本小题满分10分)
解：（1)曲线1C 134:22=+y x ，………………2分
曲线2
C :01=+-y x ………………4分 （2）联立⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-134
012
2y x y x ，得08872=-+x x ， 设),(),,(2211y x B y x A ,则78,782121-=-=+x x x x
于是7244)(2112122121=
-+⋅=-+=x x x x x x AB . 故线段AB 的长为724.………………10分
24.（本小题满分10分） 解：(1）由2)(<x f 知2|12|<-x ，于是2122<-<-x ，解得2
321<<-x ,故不等式2)(<x f 的解集为⎪⎭⎫ ⎝⎛-23,21；……………………3分
（2)由条件得2|)32(12||32||12|)(=---≥-+-=x x x x x g ，当且仅当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,21x 时,其
最小值2=a ，即2=+n m …………………6分 又()()2232
12321122112+≥⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+n m m n n m n m n m ,…………8分 所以n n m m 1222+++()
22321212++≥+++=n m n m 2227+=， 故n n m m 1222+++的最小值为2227+，此时222,224-=-=n m .……10分 12分。