专题30 高中数学 根式(解析版)
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专题30 根式
1.根式及相关概念
(1)a 的n 次方根定义:如果x n =a ,那么x 叫做a 的n 次方根,其中n >1,且n ∈N *. (2)a 的n 次方根的表示
(3)根式:式子n
a 叫做根式,这里n 叫做根指数,a 叫做被开方数.
2.根式的性质(n >1,且n ∈N *)
(1)n 为奇数时,n
a n =a . (2)n 为偶数时,n
a n
=|a |=⎩
⎪⎨⎪⎧
a ,a ≥0,
-a ,a <0.
(3)n
0=0.
(4)负数没有偶次方根.
题型一 n 次方根的概念与意义问题
1.16的平方根为________,-27的5次方根为________. [解析]
∵(±4)2=16,∴16
的平方根为±4.-27的5次方根为
5-27.
2.81的4次方根是________. [解析]∵(±3)4=81,∴81的4次方根为±3.
3.若81的平方根为a ,-8的立方根为b ,则a +b =________.
[解析]因为81的平方根为±9,所以a =±9.又因为-8的立方根为b ,所以b =-2, 所以a +b =-11或a +b =7.
4.(1)27的立方根是________.(2)已知x 6=2 019,则x =________.
(3)若4
x +3有意义,则实数x 的取值范围为________. [解析] (1)27的立方根是3.
(2)因为x 6=2 019,所以x =±6
2 019.
(3)要使4
x +3有意义,则需要x +3≥0,即x ≥-3. 所以实数x 的取值范围是[-3,+∞).]
5.若4
x -2有意义,则实数x 的取值范围是________. [解析]要使
4
x -2有意义,则需x -2≥0,即x ≥2.因此实数x 的取值范围是[2,+∞).
6.以下说法正确的是( )
A .正数的n 次方根是正数
B .负数的n 次方根是负数
C .0的n 次方根是0(n ∈N *)
D .a 的n 次方根是n
a
[解析]当n 为偶数时,正数的n 次方根为一正一负,故A 错误;当n 为偶数时,负数的n 次方根无意义, 故B 错误;当n ∈N *时,0的n 次方根为0,故C 正确;当n 为偶数,a <0时,n
a 无意义,故D 错误. 7.m 是实数,则下列式子中可能没有意义的是( )
A.4
m 2 B.5m C.6
m
D.5
-m
[解析]当m <0时,6
m 没有意义,其余各式均有意义. 8.若a -2+(a -4)0有意义,则a 的取值范围是( )
A .[2,+∞)
B .[2,4)∪(4,+∞)
C .(-∞,2)∪(2,+∞)
D .(-∞,4)∪(4,+∞)
[解析]由题意可知⎩
⎪⎨⎪⎧
a -2≥0,
a -4≠0,∴a ≥2且a ≠4.
9.已知m 10=2,则m 等于( )
A.102
B .-
102
C.210
D .±10
2
[解析]∵m 10=2,∴m 是2的10次方根.∴m =±10
2. 10.已知x 5=6,则x 等于( )
A. 6
B.56 C .-56
D .±56
[解析] 由x 5=6可知x =5
6.[答案] B 11.已知a ∈R ,n ∈N *,给出下列4个式子:
①6(-3)2n ;②5a 2;③6(-5)2n +
1;④9-a 2,其中无意义的有( )
A.1个B.2个C.3个D.0个
[解析]①中(-3)2n>0,所以6(-3)2n有意义;②中根指数为5有意义;③中(-5)2n+1<0,因此无意义;④中根指数为9,有意义.选A.
12.下列说法正确的个数是()
①16的4次方根是2;②4
16的运算结果是±2;③当n为大于1的奇数时,
n
a对任意a∈R都有意义;
④当n为大于1的偶数时,n
a只有当a≥0时才有意义.
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析]①16的4次方根应是±2;②4
16=2,所以正确的应为③④.
13.下列等式中成立的个数是()
①(n
a)n=a(n∈N*且n>1);②
n
a n=a(n为大于1的奇数);③
n
a n=|a|=
⎩⎪
⎨
⎪⎧a,a≥0,
-a,a<0
(n为大于零的偶数).A.0个B.1个
C.2个D.3个
[解析]由n次方根的定义可知①②③均正确.题型二利用根式的性质化简求值
1.4
81的运算结果是()
A.3B.-3 C.±3 D.±3
[解析]481=434=3.
2.下列各式正确的是()
A.6
(-3)2=
3
(-3) B.
4
a4=a C.
6
22=
3
2 D.a0=1
[解析]6
(-3)2=632=33,4a4=|a|,a0=1,条件为a≠0.故A、B、D错.
3.下列各式正确的是()
A.(-3)2=-3
B.a2=a
C.22=2
D.3
(-2)3=2
[解析]由于(-3)2=3,a2=|a|, 3
(-2)3=-2,故A、B、D错误.
4.(a -b )2+5
(a -b )5的值是( )
A .0
B .2(a -b )
C .0或2(a -b )
D .a -b
[解析] 若a ≥b ,则原式=a -b +a -b =2(a -b ),若a <b ,则原式=b -a +a -b =0,故选C. 5.下列式子中成立的是( )
A .a -a =-a 3
B .a -a =-a 3
C .a -a =--a 3
D .a -a =a 3 [解析] 要使a
-a 有意义,则a ≤0,故a
-a =-(-a )
-a =-
(-a )2(-a )=-
-a 3,故选C.
6.化简(a -1)2+(1-a )2+3
(1-a )3的结果是( )
A .1-a
B .2(1-a )
C .a -1
D .2(a -1)
[解析] ∵a -1有意义,∴a -1≥0,即a ≥1. ∴(
a -1)2+
(1-a )2+
3
(1-a )3=(a -1)+|1-a |+(1-a )=(a -1)+(a -1)+(1-a )=a -1,故选C.
7.若x -1+4
x +y =0,则x 2 018+y 2 019=________. [解析]∵x -1≥0,4x +y ≥0,且x -1+4
x +y =0,
∴⎩⎪⎨⎪⎧ x -1=0,x +y =0,即⎩⎪⎨⎪⎧
x =1,y =-1.
∴x 2 018+y 2 019=1-1=0. 8.化简下列各式:
(1)
5
(-2)5;(2) 4
(-10)4;(3) 4
(-9)2;(4)
4(a -b )4.
[解析] (1)
5
(-2)5=-2.
(2)
4(-10)4=|-10|=10.
(3)
4
(-9)2=4
34=3. (4)
4
(a -b )4
=|a -b |=⎩⎪⎨⎪⎧
a -
b (a ≥b ),b -a (a <b ).
9.计算下列各式的值:
(1)
3
(-4)3;(2) 6
(3-π)6;(3)
3
(1+2)3+4(1-2)4;(4) 4
(2x +y )4.
[解析](1)
3
(-4)3=-4. (2)
6
(3-π)6=|3-π|=π-3.
(3)
3
(1+
2)3+
4
(1-2)4=(1+2)+(2-1)=2 2.
(4)
4
(2x +y )4
=|2x +y |=⎩⎪⎨⎪⎧
2x +y ,y ≥-2x ,
-2x -y ,y <-2x .
10.化简: (1)
(e +e -
1)2-4+(e -e -
1)2+4(e ≈2.7);(2)
(x -2)2+6
(x +2)6.
[解析] (1)原式=e 2+2+e -2-4+
e 2-2+e -2+4=
(e -e -1)2+
(e +e -1)2=e -e -1+e +e -1=
2e ≈5.4.
(2)原式=|x -2|+|x +2|.
当x ≤-2时,原式=(2-x )+[-(x +2)]=-2x ; 当-2<x <2时,原式=(2-x )+(x +2)=4; 当x ≥2时,原式=(x -2)+(x +2)=2x . 综上,原式=⎩⎪⎨⎪
⎧
-2x ,x ≤-2,4,-2<x <2,
2x ,x ≥2.
11.7+43+7-43等于( )
A .-4
B .2 3
C .-2 3
D .4
[解析]
7+43+
7-43=
(2+3)2+
(2-3)2=(2+3)+(2-3)=4.
12.化简: 3+22+ 3-2 2.
[解析]解法一: 原式=
(2)2+22+1+
(2)2-22+1=
(2+1)2+
(2-1)2= 2+1+2-1=2 2.
解法二:令x =3+22+3-22,两边平方得x 2=6+29-8=8.因为x >0,所以x =2 2. 13.化简: 5+26-
6-42+
7-4 3.
[解析]原式=
(3+2)2- (2-2)2+
(2-3)2=3+2-(2-2)+2-3=2 2.
题型三 有限制条件的根式的运算
1.若2<a <3,化简(2-a )2+4
(3-a )4的结果是( )
A .5-2a
B .2a -5
C .1
D .-1
[解析] 由于2<a <3,所以2-a <0,3-a >0,所以原式=a -2+3-a =1.故选C.
2.已知 (4a +1)2=-4a -1,则实数a 的取值范围是________. [解析] ∵
(4a +1)2=|4a +1|=-4a -1,∴4a +1≤0,∴a ≤-1
4
.
3.已知xy ≠0且4x 2y 2=-2xy ,则有( )
A .xy <0
B .xy >0
C .x >0,y >0
D .x <0,y >0
[解析]4x 2y 2=-2xy ≥0,又xy ≠0,∴xy <0.
4.若9a 2-6a +1=3a -1,求a 的取值范围. [解析] ∵9a 2-6a +1=(3a -1)2=|3a -1|,
由|3a -1|=3a -1可知3a -1≥0,∴a ≥1
3.故a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫13,+∞. 5.化简(x +3)2-3
(x -3)3等于( )
A .6
B .2x
C .6或-2x
D .6或-2x 或2x
[解析]原式=|x +3|-(x -3)=⎩
⎪⎨⎪⎧
6,x ≥-3,
-2x ,x <-3,故选C.
6.当2-x 有意义时,化简x 2-4x +4-x 2-6x +9的结果为( )
A .2x -5
B .-2x -1
C .-1
D .5-2x
[解析] 由
2-x 有意义得x ≤2.所以
x 2-4x +4-
x 2-6x +9=|x -2|-|x -3|=(2-x )-(3-x )=-1.
7.若x ≠0,则|x |-
x 2+
x 2
|x |
=________. [解析] ∵x ≠0,∴原式=|x |-|x |+|x |
|x |=1.
8.化简:
b -(2b -1)(1<b <2)=________.
[解析] 原式=(b -1)2=b -1(1<b <2).
9.若 (2a -1)2=3
(1-2a )3,则实数a 的取值范围为________. [解析]
(2a -1)2=|2a -1|,
3
(1-2a )3=1-2a .因为|2a -1|=1-2a ,故2a -1≤0,所以a ≤1
2
.
10.若a >2b ,则3
(a -b )3+(a -2b )2=________.
[解析]因为a >2b ,所以3
(a -b )3+(a -2b )2=a -b +|a -2b |=a -b +a -2b =2a -3b .
11.已知4(a -1)4+1=a ,化简(a -1)2+(1-a )2+3
(1-a )3=________.
[解析]由已知4
(a -1)4+1=a ,即|a -1|=a -1,即a ≥1,所以原式=(a -1)+(a -1)+(1-a )=a -1. 12.设f (x )=x 2-4,若0<a ≤1,则f ⎝⎛⎭⎫a +1
a =________. [解析] f ⎝⎛⎭
⎫a +1
a =⎝⎛⎭⎫a +1a 2-4=
a 2+1
a 2-2=
⎝⎛⎭⎫a -1a 2=⎪⎪⎪
⎪a -1a . 由于0<a ≤1,所以a ≤1
a .故f ⎝⎛⎭⎫a +1a =1a -a .
13.若-3<x <3,求x 2-2x +1-x 2+6x +9的值.
[解析]x 2-2x +1-x 2+6x +9=(x -1)2-(x +3)2=|x -1|-|x +3|, 当-3<x ≤1时,原式=1-x -(x +3)=-2x -2. 当1<x <3时,原式=x -1-(x +3)=-4.
因此,原式=⎩
⎪⎨⎪⎧
-2x -2,-3<x ≤1,
-4,1<x <3.
14.已知-1<x <2,求x 2-4x +4-x 2+2x +1的值. [解析]原式=(x -2)2-(x +1)2=|x -2|-|x +1|.
因为-1<x <2,所以x +1>0,x -2<0,所以原式=2-x -x -1=1-2x . 15.设x ∈[1,2],化简(4x -1)4+6
(x 2-4x +4)3. [解析] (
4
x -1)4+
6
(x 2-4x +4)3=(
4
x -1)4+
6(x -2)6
∵1≤x ≤2,∴x -1≥0,x -2≤0.∴原式=(x -1)+|x -2|=(x -1)+(2-x )=1. 16.若n <m <0,则
m 2+2mn +n 2-m 2-2mn +n 2等于( )
A .2m
B .2n
C .-2m
D .-2n
[解析] 原式=
(m +n )2-
(m -n )2=|m +n |-|m -n |,∵n <m <0,∴m +n <0,m -n >0,
∴原式=-(m +n )-(m -n )=-2m .[答案] C
17.已知4a 4+4
b 4=-a -b ,求4(a +b )4+3(a +b )3的值. [解析]因为4a 4+4b 4=-a -b .所以4a 4=-a ,4
b 4=-b ,
所以a ≤0,b ≤0,所以a +b ≤0,所以原式=|a +b |+a +b =-(a +b )+a +b =0. 18.设-2<x <2,求x 2-2x +1-x 2+4x +4的值.
[解析]原式=(x -1)2-(x +2)2=|x -1|-|x +2|,
∵-2<x <2,∴当-2<x <1时,原式=-(x -1)-(x +2)=-2x -1,
当1≤x <2时,原式=x -1-(x +2)=-3,∴原式=⎩⎪⎨⎪⎧
-2x -1,-2<x <1,
-3,1≤x <2.
19.已知a <b <0,n >1,n ∈N *,化简n (a -b )n +n
(a +b )n . [解析]∵a <b <0,∴a -b <0,a +b <0.
当n 是奇数时,原式=(a -b )+(a +b )=2a ;
当n 是偶数时,原式=|a -b |+|a +b |=(b -a )+(-a -b )=-2a .
∴n
(a -b )n
+n
(a +b )n
=⎩⎪⎨⎪⎧
2a ,n 为奇数,
-2a ,n 为偶数.
20.求使等式(a -3)(a 2-9)=(3-a )a +3成立的实数a 的取值范围. [解析]∵
(a -3)(a 2-9)=
(a -3)(a -3)(a +3)=
(a -3)2(a +3)=|a -3|
a +3.
∴要使等式(a -3)(a 2-9)=(3-a )·
a +3成立,必须有⎩
⎪⎨⎪⎧
|a -3|=3-a ,
a +3≥0,
即⎩⎪⎨⎪⎧ 3-a ≥0,a +3≥0,⇒⎩⎪⎨⎪⎧
a ≤3,
a ≥-3,
⇒-3≤a ≤3.故a 的取值范围是[-3,3]. 21.等式(x -5)(x 2-25)=(5-x )x +5成立的x 取值范围是________. [解析]要使(x -5)(x 2-25)=(x -5)2(x +5)=|x -5|x +5=(5-x )x +5,
则⎩
⎪⎨⎪⎧
x +5≥0,x -5≤0,所以-5≤x ≤5. 22.若x >0,y >0,且x -xy -2y =0,求2x -xy y +2xy 的值.
[解析]∵x -xy -2y =0,x >0,y >0,∴(x )2-xy -2(y )2=0. ∴(x +y )(x -2y )=0.由x >0,y >0,得x +y >0. ∴x -2y =0,∴x =4y .∴2x -xy y +2xy =8y -2y y +4y =6
5
.
23.化简y =4x 2+4x +1+4x 2-12x +9,并画出简图,写出最小值.
[解析] y =4x 2+4x +1+
4x 2
-12x +9=|2x +1|+|2x -3|=⎩⎪⎨⎪⎧
2-4x ,x ≤-12
,
4,-12<x <3
2,
4x -2,x ≥32
.
其图象如图所示.
由图易知函数的最小值为4.。