2023届河北省高三上学期阶段性检测一数学试卷及答案

2022--2023学年第一学期第一次阶段测试卷
高三数学
考试说明：1.本试卷共150分，考试时间120分钟.2.请将各题答案填在答题卡上.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
已知集合{}1,1,2,3A =-，
2=12B x x ≤-⎧⎫⎨⎬
⎩⎭，则A B ⋂=（）
A.
{}
1- B.
{}
1,1- C.
{}1,1,2- D.
{}
1,1,2,3-2.已知命题p ：N x ∃∈，e <0x （e 为自然对数的底数），则命题p 的否定是（）
A.N x ∀∈，e <0x
B.N x ∀∈，e >0x
C.
N x ∃∈，e 0
x ≥ D.
N x ∀∈，e 0
x ≥3.
设0.3log a =
，b =，0.10.2c =，则a ，b ，c 的大小关系为（
）
A.b a c
<< B.c a b
<< C.a c b << D.c b a
<<4.下列函数中，在区间()0,+∞上单调递增的是（）
A.x
y -=
B.
13
log y x =
C.y =
D.1
2
y x =-5.已知函数()cos f x x =，()()1
4
g x x f x '=
+，则()g x 的图像大致是（）
A
.
B.
C.
D.
6.已知函数()41
sin cos 55
f x x x =
+，当x β=时，()f x 取得最大值，则cos β=（）
A.
17
B.
17
C.
47
D.
17
7.已知函数()=y f x 是定义在R 上的奇函数，且满足()()2f x f x +=-，当[]2,0x ∈-时，()2
f x x x =+，则当[]4,6x ∈时，()=f x （）
A.2712x x -+
B.2920x x -+-
C.2712
x x -+- D.2920
x x -++8.已知函数()()πsin 03f x x ⎛⎫=+> ⎪⎝
⎭ωω，设甲：函数()f x 在区间ππ,63⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上单调递增，乙：ω的取值范围是10,3⎛⎤
⎥⎝⎦
，则甲是乙的（
）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知11
0a b
<<，则下列不等关系中正确的是（）
A.b a <
B.2b a a b +>
C.23ab b <
D.1b a
>10.将函数()=sin2g x x 的图像向右平移π
6
个单位长度，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不
变），得到函数()=y f x 的图像，下列结论中正确的是（
）
A.()πsin 43f x x ⎛⎫=-
⎪⎝
⎭
B.函数()f x 的图像关于点π,03⎛⎫
⎪⎝⎭
对称C.函数π2f x ⎛
⎫-
⎪
⎝
⎭的一个零点为6
π
-D.函数()f x 的图像关于直线π
6
x =-
对称11.两位同学解关于x 的方程2220x x b c +⋅+=，其中一个人写错了常数c ，得到的根为1x =-或
2
7
log 4
x =，另一人写错了常数b ，得到的根为=0x 或1x =-，则下列是原方程的根的是（）
A.1
x =- B.2
x =- C.=0
x D.=1
x
12.已知函数()()2
202
m
f x x x m =-+
+>，()2e 31x g x x =-+，若不等式()()2211g x f x x >--对一切实数x 恒成立，则实数m 可能取到的正整数值为（）
A.9
B.8
C.6
D.4
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.()
2
sin 242cos 121︒
=︒︒-__________．14.已知0a >，0b >，且有+2=2a b ，则
a b
ab
+的最小值为__________.15.已知奇函数()f x 的定义域为R ，导函数为()f x '，若对任意[
)0,+x ∈∞，都有()()3+>0f x xf x '恒
成立，()22f =，则不等式()()3
11<16x f x --的解集是__________.
16.已知α，β均为锐角，
21
sin sin 2cos sin sin 02
αβαβα+-=，则tan α的最大值为__________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.函数()2
2cos cos 2f x x x x =-+.
（1）求()f x 的单调递增区间；（2）求()f x 在π0,
2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的值域.
18.已知π04α<<
，πsin 43α⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭.（1）求cos α的值；（2）若π02β-
<<，()3
cos 5
αβ-=，求cos β的值.19.已知函数()()2
33f x ax a x =-++.
（1）若函数()lg 1y f x =+⎡⎤⎣⎦的定义域为R ，求实数a 的取值范围；（2）当0a >时，解关于x 的不等式()0f x >.
20.已知函数()()()
sin 0,πf x x ωϕωϕ=+><的图像如图所示，直线l 经过()f x 图像的最高点M 和最
低点N ，1,12M ⎛⎫
⎪⎝⎭
且MN =
（1）求()f x 解析式；
（2）计算()()()()1232021f f f f +++⋅⋅⋅+.21.函数()22=e
x
f x x -.
（1）若()f x m =有三个解，求m 的取值范围；
（2）若()3
g x x =，且(),0x ∀∈-∞，()()2
>f x x ag x -，求实数a 的取值范围.
22.已知函数()2
1e 2
x
f x x =-
（e 为自然对数的底数）.（1）求曲线()=y f x 在点()()
1,1f 处的切线方程；
（2）设()()31g x f x x =++，当120x x +≥，求证：()()124
g x g x +≥.
2022--2023学年第一学期第一次阶段测试卷
高三数学
考试说明：1.本试卷共150分，考试时间120分钟.2.请将各题答案填在答题卡上.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{}1,1,2,3A =-，
2=12B x x ≤-⎧⎫⎨⎬
⎩⎭，则A B ⋂=（）
A.
{}
1- B.
{}
1,1- C.
{}1,1,2- D.
{}
1,1,2,3-【答案】B 【解析】
【分析】先化简集合B ，再由交集的定义求解即可【详解】因为{}1,1,2,3A =-，{2
=1=<22B x x x x ≤⎧
⎫⎨⎬-⎩⎭或}4x ≥，
则{}1,1A B =-I ，故选：B.
2.已知命题p ：N x ∃∈，e <0x （e 为自然对数的底数），则命题p 的否定是（）
A.N x ∀∈，e <0x
B.N x ∀∈，e >0x
C.
N x ∃∈，e 0
x ≥ D.
N x ∀∈，e 0
x ≥【答案】D 【解析】
【分析】根据命题的否定的定义判断．【详解】特称命题的否定是全称命题．命题p 的否定是：x ∀∈N ，e 0x ≥．故选：D ．3.
设0.3log a =
，b =，0.10.2c =，则a ，b ，c 的大小关系为（
）
A.b a c <<
B.c a b
<< C.a c b
<< D.c b a
<<【答案】C 【解析】
【分析】利用指数函数与对数函数的性质，结合0,1进行比较即可判断大小.
【详解】∵0.3
0.3log log 10a =<=
，
1b =>
=，
∵0.1000.201.2<<=，∴()0,1c ∈，∴a c b <<，故选：C.
4.下列函数中，在区间()0,+∞上单调递增的是（）
A.x
y -=
B.13
log y x
=
C.y =
D.12
y x =-
【答案】C 【解析】
【分析】根据指数函数、对数函数单调性可判断AB ，利用复合函数单调性可判断C ，取=0x 和=1x 可判断D
【详解】对于A
，
=
=2x
x
y -⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
在()0,+∞上单调递减，故A 错误；对于B ，由对数函数性质13
log y x =在()0,+∞上单调递减，故B 错误；对于C ，设22u x x =+，∵22u x x =+在()0,+∞
上单调递增，又y =
在()0,+∞
上单调递增，所以
y =在()0,+∞上单调递增，故C 正确；
对于D ，函数1=2y x -当=0x 和=1x 时函数值相等，故1
=2
y x -在区间()0,+∞上递增不成立，故D 错误.故选：C.
5.已知函数()cos f x x =，()()1
4
g x x f x '=
+，则()g x 的图像大致是（）
A. B.
C. D.
【答案】C 【解析】
【分析】求出()g x 的表达式，确定奇偶性排除两个选项，再结合特殊函数值的正负排除一个选项，得正确结论．
【详解】()()11=+=sin 44g x x f x x x -'，函数()g x 为奇函数，排除BD ；=1<028
g ππ
-⎛⎫ ⎪⎝⎭，排除A ；C 符合题意.故选：C.
6.已知函数()41
sin cos 55
f x x x =+，当x β=时，()f x 取得最大值，则cos β=（）
A.
17 B.
17
C.
47
D.
17
【答案】A 【解析】
【分析】利用辅助角公式化简函数，然后结合正弦函数性质得函数最大值及β值，从而得结论．
【详解】()()41sin cos sin
5555f x x x x x x φ⎫
=
+=+=+⎪⎭
，（其中cos φ=，sin
φ=
）
当x β=时，()f x 取得最大值，此时()2Z 2k k πβφπ+=
+∈，得到()2Z 2
k k π
βφπ=-+∈，
17cos cos 2sin 217k πβφπφ⎛⎫
=-+==
⎪⎝⎭
.故选：A.
7.已知函数()=y f x 是定义在R 上的奇函数，且满足()()2f x f x +=-，当[]2,0x ∈-时，()2
f x x x =+，
则当[]4,6x ∈时，()=f x （）
A.2712x x -+
B.2920x x -+-
C.2712x x -+-
D.2920
x x -++【答案】B 【解析】
【分析】根据函数的奇偶性求出[]0,2x ∈时的解析式，再求出函数的周期为4，故得到[]4,6x ∈时，
()2920
f x x x =-+-【详解】由题意知()()2f x f x +=-，则()()()42f x f x f x +=-+=，
所以函数()f x 是以4为周期的周期函数，又当[]2,0x ∈-时，()2
f x x x =+，且()f x 是定义在R 上的奇
函数，
所以[]0,2x ∈时，[]2,0x -∈-，()()()
2
2
f x f x x x x x =--=--=-+，
所以当[]4,6x ∈时，[]40,2x -∈，()()()()2
2444920f x f x x x x x =-=--+-=-+-.
故选：B.
8.已知函数()()πsin 03f x x ⎛⎫=+> ⎪⎝
⎭ωω，设甲：函数()f x 在区间ππ,63⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上单调递增，乙：ω的取值范围是10,3⎛⎤
⎥⎝⎦
，则甲是乙的（
）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】
【分析】根据函数()f x 在区间ππ,63⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上单调递增，结合正弦函数的单调性列出不等式组得ω的范围，
然后根据充分、必要条件的定义得出结论．
【详解】甲：()()πsin 03f x x ⎛⎫=+
> ⎪⎝
⎭ωω在区间ππ,63⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上单调递增，令3πt x ω=+
，则π
πππ,6
333t ωω⎛⎫
∈-++
⎪⎝⎭
，∴π
ππ+2π+263πππ++2π3
32k k -≤-ωω≤⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，Z k ∈，即5121
+62k k ω≤-ω≤⎧⎪⎨⎪⎩，Z k ∈，又0ω>，故k 只能取0，∴102
ω<≤．又∵乙：ω的取值范围是10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦
，
∴甲是乙的必要不充分条件．故选：B ．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知11
0a b
<<，则下列不等关系中正确的是（）
A.b a <
B.2b a a b
+> C.23ab b < D.
1b a
>【答案】ABD 【解析】
【分析】由已知，可根据题意，选项A 可根据条件直接判断；选项B ，先判断
0b a >，0a
b
>，在利用基本不等式的知识即可判断；选项C ，先根据条件判断a b >，再判断23ab b >；选项D ，由已知条件可直接判断.
【详解】对A ，由11
0a b
<<，得0b a <<，A 正确；对B ，由110a b <<，得0b a <<，所以0b a >，0a
b >，根据基本不等式知，B 正确：
对C ，因为11
0a b
<<，所以a b >，因此23ab b >，所以该选项显然错误；
对D ，由0b a <<，所以1b
a
>，所以D 正确.
故选：ABD.
10.将函数()=sin2g x x 的图像向右平移
π
6
个单位长度，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()=y f x 的图像，下列结论中正确的是（
）
A.()πsin 43f x x ⎛⎫=-
⎪⎝
⎭
B.函数()f x 的图像关于点π,03⎛⎫
⎪⎝⎭
对称C.函数π2f x ⎛⎫-
⎪
⎝
⎭的一个零点为6
π
-D.函数()f x 的图像关于直线π
6
x =-对称【答案】BCD 【解析】
【分析】由已知，先将函数()g x 经过向右平移和伸缩变换即可得到()=y f x ，从而可以判断选项A ；选项B ，可令3
x π=代入()=y f x 中验证；选项C ，可令π
6x =-代入()=y f x 中验证；选项D ，可通过计算
π6f ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
即可判断.
【详解】函数()=sin2g x x 的图像向右平移π
6
个单位长度，得到ππsin 2sin 263y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫
=-
=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭
⎣⎦的图像，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到()πsin 3f x x ⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
的图像，故A 错误；当3
x π=
时，0π3f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，故B 正确；当π
6x =-
时，ππ062f ⎛⎫--= ⎪⎝⎭
，故C 正确；π16f ⎛⎫
-=- ⎪⎝⎭
，故D 正确.故选：BCD.
11.两位同学解关于x 的方程2220x x b c +⋅+=，其中一个人写错了常数c ，得到的根为1x =-或
2
7
log 4
x =，另一人写错了常数b ，得到的根为=0x 或1x =-，则下列是原方程的根的是（）
A.1
x =- B.2
x =- C.=0
x D.=1
x
【答案】BD 【解析】
【分析】将原方程转化为20t bt c ++=(2x t =)，由韦达定理可解得94b =-
，1
2
c =，进而得方程为291
042
t t -+=，解得t 的值，即可得原方程的根.
【详解】解：令2x t =，则方程即为：20t bt c ++=，则一人写错了常数c ，得到的根为12t =
或t =74，由两根之和得：179244b ⎛⎫
=-+=- ⎪⎝⎭
，
另一人写错了常数b ，得到的根为021t ==或12t =，由两根之积得：1
2
c =，所以方程为291042t t -+=，解得：14
t =或=2t ，即124x
=或22x =，
解得：2x =-或=1x .故选：BD.
12.已知函数()()2
202
m
f x x x m =-+
+>，()2e 31x g x x =-+，若不等式()()2211g x f x x >--对一切实数x 恒成立，则实数m 可能取到的正整数值为（）
A.9
B.8
C.6
D.4
【答案】CD 【解析】
【分析】不等式化简后引入新函数()=e
+8x
h x mx -，由导数求得其最小值min ()h x ，min ()0h x >，最小值
其作为m 的函数，利用导数确定其单调性，零点区间后可得结论．【详解】若不等式()()2
>211g x f x x
--对一切实数x 恒成立，
即不等式e +8>0x mx -对任意实数x 恒成立，令()=e
+8x
h x mx -，∴()=e x h x m -'，令()0h x '=得ln x m =，
ln x m <时，()0'<h x ，ln x m >时，()0'>h x ，
∴函数()h x 在(),ln m -∞上单调递减，在()ln ,+m ∞上单调递增，∴()()min =ln =ln +8>0h x h m m m m -，
令()=ln +8m m m m ϕ-，()=ln m m ϕ-'，令()0m ϕ'=得=1m ，
01m <<时，()0m ϕ'>，1m >时，()0m ϕ'<，
∴()m ϕ在()0,1上递增，在()1,∞+上递减，取()2
=e
7,8m ∈，()22e =8e >0ϕ-，取=8m ，()()8=82ln8<0ϕ-，
所以)m ϕ(在(1,+)∞上存在唯一零点0m 且0(7,8)m ∈，在0(0,)m m ∈上()0m ϕ>，在0(,)m m ∈+∞上()0m ϕ<，
所以m 的最大正整数为7.故选：CD.
【点睛】方法点睛：通常有两种转化方法：
（1）利用分离参数法分离参数后构造新函数，求出新函数的最值或值域即可得参数范围；
（2）不等式化简后，直接引入含有参数的函数，由导数求得函数的最值，由最值满足的不等关系得参数范围．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.
()
2
sin 242cos 121︒
=︒︒-__________．
【答案】【解析】
【分析】利用诱导公式和二倍角公式即可求出结果．
【详解】(
)248481sin 24cos 24sin 242cos 121sin 482
︒︒︒
===︒︒︒︒-︒
故答案为：14.已知0a >，0b >，且有+2=2a b ，则a b
ab
+的最小值为__________.
【答案】(1
32
+【解析】【分析】化简
a b
ab
+后，根据“1”的变形，利用均值不等式求最值即可.【详解】因为0a >，0b >，
(
)(11111121
233222
a b b a a b ab a b a b a b +⎛⎫⎛⎫=+=++=++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
当且仅当
2b a
a b =
，即2b =
，2a =时等号成立.
故答案为：(1
32
+.15.已知奇函数()f x 的定义域为R ，导函数为()f x '，若对任意[
)0,+x ∈∞，都有()()3+>0f x xf x '恒
成立，()22f =，则不等式()()3
11<16x f x --的解集是__________.【答案】()1,3-【解析】
【分析】构造新函数()()3
g x x f x =，根据()f x 的性质推出()g x 的性质，最后利用()g x 单调性解不等式.
【详解】设()()3
g x x f x =，x ∈R ，()f x 为奇函数，∴()()()3
3=()=()=g x x f x x f x g x ---，即()
g x 是偶函数，有()
()=()=g x g x g x -，∵[
)0,+x ∀∞∈，()()3+>0f x xf x '恒成立，故[
)0,+x ∞∈时，
()()()()()()232=3+=3+0g x x f x x f x x f x xf x ≥'''，∴函数()g x 在[)0,+∞上为增函数，∵()22f =，
∴()()2=2=16g g -，()()3
11<16x f x --等价于()1<16=(2)g x g -，()
(1)=1<(2)g x g x g --，且函
数()g x 在[)0,+∞上为增函数，∴1<2x -，解得1<<3x -.故答案为：()1,3-16.已知α，β均为锐角，21
sin sin 2cos sin sin 02
αβαβα+-=，则tan α的最大值为__________.【答案】43
【解析】
【分析】化简已知条件得()sin cos +cos sin sin =sin αβαββα，进而得22
tan tan =tan tan +1
β
αβ-β，令()=tan 0,+t β∈∞，则有
2
1
tan =
11+1t t
α-⎛⎫ ⎪⎝⎭=21
113()+24t -，即可求得tan α的最大值.【详解】解：由题意可得
2211
sin sin2+cos sin sin =sin (2sin cos )+cos sin sin =022
αβαβ-αα⋅β⋅βαβ-α，即sin (sin cos +cos sin )sin =0βαβαβ-α，即有()sin cos +cos sin sin =sin αβαββα，
等式两边同除以“cos ”cos 0αα≠，得：()tan cos +sin sin =tan αβββα.
∴222222
sin sin tan tan ===1cos sin sin +cos cos sin tan tan +1
βββ
α-ββββ-βββ-β，∵β为锐角，∴令()=tan 0,+t β∈∞，
∴
22
21tan ==+111+1t t t t t
α--⎛⎫ ⎪⎝⎭=21113()+24t -，∴当=tan =2t β时，tan α取到最大值43
.故答案为：
43
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.函数(
)2
2cos cos 2f x x x x =-+.
（1）求()f x 的单调递增区间；（2）求()f x 在π0,
2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的值域.【答案】（1）2πππ,π36k k ⎡⎤
-+-+⎢⎥⎣⎦
，Z
k ∈（2）[]1,4【解析】
【分析】（2）由已知，根据题意，对原函数化简，得到函数(
)2
2cos cos 2f x x x x =-+，
π()2cos 233f x x ⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭，然后根据余弦函数单调区间，解不等式ππ2π22π3k x k -+≤+≤，即可完成
求解；
（2）由已知，可令3
π
2t x =+，根据x 的范围，求解出t 的范围，先求解出cos t ，然后再求解函数()f x 的值域.
【小问1
详解】
cos 223x x =-+π2cos 23
3x ⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭
π
π2π22π3
k x k -+≤+
≤，Z k ∈，2ππππ36
k x k -+≤≤-+，Z k ∈；∴()f x 的单调增区间为2πππ,π36k k ⎡⎤
-+-+⎢⎥⎣⎦
，Z k ∈；
【小问2详解】
因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，令3π2t x =+，所以π4π,33t ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，∴1cos 1,2t ⎡
⎤
∈-⎢⎥⎣⎦，所以[]π()2cos 231,43f x x ⎛
⎫
=++∈ ⎪⎝⎭，
∴()[]1,4f x ∈.18.已知π04α<<
，π22sin 43α⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭.（1）求cos α的值；（2）若π02β-
<<，()3
cos 5
αβ-=，求cos β的值.
【答案】（1）
46
（2）
282
30
-【解析】
【分析】（1）先确定π+
4α的范围，已知其正弦值求出余弦值，然后利用ππ
=+44
αα-求解；（2）先确定α-β的范围，已知其余弦值求出正弦值，然后利用=()βα-α-β并结合第（1）问的数据求解.
【小问1详解】
π0<<
4α，∴πππ<+<442α，故πcos +>04α⎛
⎫ ⎪⎝
⎭，所以
π1cos +43α⎛⎫ ⎪⎝⎭，
ππππππ4+2cos =cos +=cos +cos +sin +sin =4444446αα-αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛
⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦；
【小问2详解】
因为π0<<
4α，π<<02-β，则3π0<<4
α-β，又()3cos =5α-β，∴π0<<2α-β，∴()sin >0α-β，()
4sin 5
α-β，
结合（1）中数据知，
ππππππsin =sin +=sin +cos cos +cos 444444αα-α-α⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛
⎫ ⎪ ⎪ ⎢⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎣
⎦14==2336
--⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以()()
()28cos =cos =cos cos +sin sin =
30
-βα-α-βαα-βαα-β⎡⎤⎣⎦.19.已知函数()()2
33f x ax a x =-++.
（1）若函数()lg 1y f x =+⎡⎤⎣⎦的定义域为R ，求实数a 的取值范围；（2）当0a >时，解关于x 的不等式()0f x >.【答案】（1）1<<9a （2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）由题意可得()2
340ax a x -++>恒成立，故()2
>0Δ=+316<0
a a a -⎧⎪⎨⎪⎩求解即可；（2）由()0f x >，得()()310ax x -->，然后分31a >，31a =，3
1a
<求解即可
【小问1详解】
由题设，令()()()2
134g x f x ax a x =+=-++，
由函数()lg 1y f x =+⎡⎤⎣⎦的定义域为R ，
∴(
)2
>0
Δ=+316<0a a a -⎧⎪⎨⎪⎩，解得19a <<.∴a 的取值范围为19a <<.【小问2详解】
由题意，()()()()2
33310f x ax a x ax x =-++=-->，
当
31a >，即0<<3a 时，解集为()3,1,a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭；当
3
1a
=，即=3a 时，解集为{}1x x ≠；
当
31a <，即3a >时，解集为()3,1,a ⎛
⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝
⎭.
综上可知：0<<3a 时，解集为()3,1,a ⎛⎫
-∞⋃+∞
⎪⎝⎭
；=3a 时，解集为{}1x x ≠；3a >时，解集为()3,1,a ⎛
⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝
⎭.
20.已知函数()()()
sin 0,πf x x ωϕωϕ=+><的图像如图所示，直线l 经过()f x 图像的最高点M 和最
低点N ，1,12M ⎛⎫
⎪⎝⎭
且MN =
（1）求()f x 解析式；
（2）计算()()()()1232021f f f f +++⋅⋅⋅+.【答案】（1）()π
πsin 2
4f x x ⎛⎫=+
⎪⎝⎭；
（2）
2
.【解析】
【分析】（1）根据MN =，及M 、N 分别是图像的最高点和最低点，求出2N M x x -=，从而得到最小正周期和π2ω=
，再代入特殊点的坐标求出π
4
ϕ=，确定函数解析式；（2）先计算出()()()()12340f f f f +++=，再根据函数的周期性求解.【小问1详解】
因为M 、N 分别是图像的最高点和最低点，
所以M 、N 的纵坐标分别为1和-1，MN =
由此可得()
(2
2
2
2N M x x -+=，解得：2N M x x -=，故2π
4T ω
==
，故π2
ω=
，又1,12M ⎛⎫
⎪⎝⎭
，将点M 代入()f x ，得π11sin 22ϕ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭，
故
π1π2π222k ϕ⨯+=+，所以π
2π4
k ϕ=+，Z k ∈，因为πϕ<，所以π
4
ϕ=，
∴()π
πsin 2
4f x x ⎛⎫=+
⎪⎝⎭.
【小问2详解】
()1sin 242ππf ⎛⎫=+=
⎪⎝⎭，()2sin 4π2πf ⎛
⎫=+=- ⎪⎝⎭，()23sin 2423ππf ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，()24sin 42π2πf ⎛
⎫=+= ⎪⎝
⎭∵()f x 周期为=4T ，()()()()12340f f f f +++=，
∴()()()()()()312320212021n π1si 42
f f f f f f +++⋅⋅⋅+====
.21.函数()22=e
x
f x x -.
（1）若()f x m =有三个解，求m 的取值范围；
（2）若()3
g x x =，且(),0x ∀∈-∞，()()2
>f x x ag x -，求实数a 的取值范围.
【答案】（1）2
1
0<<e m （2）2
a ≥-【解析】
【分析】（1）求导，分析单调性，结合极值、边界正负即得解；（2）转化()()2
>f x x ag x -为()()21
=
+1>0e
x h x ax -，求导，分2a ≥-、<2a -分析单调性，即得解.【小问1详解】
()f x 的定义域为R ，由()f x 得()()221=
e x
x x f x -'，
当=0x 或=1x 时，()=0f x '；
当<0x 时，()<0f x '，()f x 单调递减；当0<<1x 时，()>0f x '，()f x 单调递增；当>1x 时，()<0f x '，()f x 单调递减.故()f x 有极大值()2
1
1e f =
，有极小值()0=0f .+x →∞时，()f x →-∞；x →-∞时，()+f x →∞；
若()f x m =有三个解，则210<<e
m .【小问2详解】
因为(),0x ∀∈-∞，()()2
>f x x ag x -，
即2232e >+x x ax x -，得()21
+1>0e
x ax -，令()()21
=
+1e
x h x ax -，则()>0h x 在(),0-∞上恒成立.由()h x 得()2=2e x
h x a ---'，且()00h =.
①当2a ≥
-即2a -≤时，由(),0x ∈-∞，得22e <2x ---，所以()2=2e <0x
h x a ---'，
所以()h x 在(),0-∞上单调递减，所以()()>0=0h x h ，所以2a ≥-符合题意.
②当<2a -时，令()2=2e
=0x
h x a ---'，得11=ln 22x a --⎛⎫
⎪⎝⎭
；
令()2=2e
>0x
h x a ---'，得1
1ln <<022a x --⎛⎫
⎪⎝⎭
，此时()h x 递增，所以()()<0=0h x h ，
这与()>0h x 相矛盾，所以<2a -不合题意.综上知，2a ≥
-.
22.已知函数()2
1e 2
x
f x x =-
（e 为自然对数的底数）.（1）求曲线()=y f x 在点()()
1,1f 处的切线方程；
（2）设()()31g x f x x =++，当120x x +≥，求证：()()124g x g x +≥.【答案】（1）()1
e 102
x y --+=（2）证明见详解【解析】
【分析】（1）由导数的几何意义求出斜率，再由点斜式即可求解；
（2）先用导数法判断()g x 的单调性，再令函数()()()2e e
2x
x
F x g x g x x -=+-=+-+，利用导数法研
究()F x 的单调性，从而有x ∀∈R ，()()4g x g x +-≥，由()g x 的单调性结合题意可得()()12g x g x ≥-，进而()()()()12224g x g x g x g x +≥+-≥，得证【小问1详解】∵()2
1e 2
x
f x x =-
，∴()e x
f x x '=-，
∴()1e 1f '=-，∵()11e 2f =-
，故切点坐标为11,e 2⎛
⎫- ⎪⎝
⎭.
故曲线()=y f x 在点()()
1,1f 处的切线方程为()()1e e 112y x ⎛
⎫
--=-- ⎪⎝
⎭
即()1
e 102
x y --+=.【小问2详解】
因为()2
1e 2x
f x x =-
，设()()31g x f x x =++，故有()21e 312
x
g x x x =-++，则()e 3x g x x '=-+，
令()e 3x
x x ϕ=-+，则()1x
x e ϕ'=-，
显然()x ϕ'在R 上单调递增，
当0x <时，()0x ϕ'<，当0x >时，()0x ϕ'>，则()x ϕ在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，则()()min 040x ϕϕ==>，即()0g x '>，于是得()g x 在R 上单调递增，令函数()()()2e e
2x
x
F x g x g x x -=+-=+-+，
∴()e e
2x
x
F x x -'=--，
令()e e
2x
x
G x x -=--，则()e e 220x x G x -'=+-≥-=，
第17页/共18页当且仅当=0x 时取等号，即有()G x 在R 上单调递增，
而()00G =，即当0x <时，()()0F x G x '=<，
当0x >时，()()0F x G x '=>，
因此，()F x 在(),0-∞单调递减，在()0,+∞上单调递增，
()()min 04F x F ==，
从而有x ∀∈R ，()()4g x g x +-≥，
因为120x x +≥，即12x x ≥-，且()g x 在R 上单调递增，
故()()12g x g x ≥-，
所以()()()()12224
g x g x g x g x +≥+-≥【点睛】求曲线的切线方程要注意“在点”与“过点”的区别，“在点”问题点即为切点，“过点”问题点不一定是切点；本题第二问的利用导数法研究函数的单调性与最值，关键是构造函数()()()F x g x g x =+-，并利用导数法得到x ∀∈R ，()()4
g x g x +-≥。