刚体力学2

§2.2 力矩 转动定律
一.力矩 M = Fd = Fr sin
r ⊙M
r r r 力矩矢量式： 力矩矢量式： M = r × F
r o r d
r F
按右手螺旋法则 右手螺旋法则如图力矩的方向为⊙ 右手螺旋法则 要按右旋规则定义坐标轴： 要按右旋规则定义坐标轴：
Y j
( )
X (i
v
r r r r r r r r r vZ i × j = k j × k = i k × i = j (k ) r r r 相同单位 r r 反序： j × i = k i ×i = 0 矢量叉乘：
转动惯量的计算: 三.转动惯量的计算 转动惯量: 转动惯量 转动惯性大小的量度 转动惯量与下列因素有关： 转动惯量与下列因素有关： ①质量大小 ; 转轴位置； ②转轴位置； 相对轴的质量分布. ③相对轴的质量分布. ---- 称为转动惯量三要素 说一个刚体的转动惯量时，只有指出该刚体 相对某一转轴的转动惯量才有明确的意义。
v
)
1
二.转动定律 转动惯量 (转动定律由牛顿定律而来) r r 质量元mi , 外力 Fi , 内力 f i
r fi O
r ri mi
O′
2
θi i
r Fi
r r r Fi + f i = mi ai
法向 Fi cos i + f i cos θ i = mi ain = miω ri 切向 Fi sin i + f i sin θ i = mi ait = mi β ri 法向力通过转轴, 力矩为零, 故不予考虑;
λ dx =
I = ∫ x 2 λdx =
d L / 2
d +L / 2
1 mL2 + md 2 12
比较可得：平行轴定理 I = I c + md 2 平行轴定理 例如当d = L/2 时, I = I’
( 这里插入正交轴定理 “正交轴 这里插入正交轴定理: 正交轴 正交轴.DOC” )
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工程中使用的刚体回转半径 回转半径： 回转半径 设刚体质量为m，对给定轴 给定轴的转动惯量为I， 给定轴 则定义刚体对该轴 该轴的回转半径为： 该轴
1 mL 2 3 L 任意位置力矩 mg cos θ 2 L 1 2 转动定律 mg cos θ = mL β 2 3
转动惯量
I =
θ
mg
13
角加速度 β = 2 L cos θ dω dω dθ dω β = = =ω dt dθ d t dθ 3g dω cos θ = ω 2L dθ
3g cos θ d θ = ω d ω 2L
( 1 R 2 + m2 R 2 β 2
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可以立即得到角加速度β
另外, T1 和 T2 也可以求出来.
( 4m2 + m ) m1 g 2 ( m1 + m2 ) + m ( 4m1 + m ) m2 g T2 = 2 ( m1 + m2 ) + m
2
考虑切向: Fi sin i + f i sin θ i = mi ait = mi β ri 两边乘以ri Fi ri sin i + f i ri sin θ i = m i β ri 2 对所有质元求和:
∑ Fi ri sin i + ∑ f i ri sin θ i = ∑ mi β ri 2
内力成对, 对轴的力矩之和为零 ∑ f i ri sin θ i = 0
2 定义: 转动惯量 I = ∑ mi ri
合外力矩: ∑ Fi ri sin i = M
M =Iβ
转动定律 转动定律
（对定轴转动，不 对定轴转动， 必写成矢量，只需 必写成矢量， 规定一个正方向） 规定一个正方向）
3
r r 转动定律矢量式 转动定律矢量式 M = I β
θ
3g
θ
mg
角速度
ω 3g cos θ d θ = ∫ ω d ω ∴ ω = 3 g sin θ ∫ 0 2L 0 L 1/2 ω 当θ ↑ 时， ↑, β ↓ 当θ=π/2时, ω=(3g/L) ， β = 0
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关于加速度的讨论:
θ = 0 , M = mg
an = 0 L 3g ,β = ,ω =0 2 2L a = aτ = β r
I c = ∫ x 2 λ dx =
L /2
L/2
1 mL 2 12
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角标 c 表示质心
d
(续前) O’
L/2 L / 2 L
x
dm
o
∫x
0 2
x
1 mL2 12
1 m L2 3
对过质心轴O的转动惯量 I c = ∫ x 2 λ dx = 对过一端轴O’的转动惯量 I ′ = 过距中心O为d的轴的I
: T1≠T2; 滑轮质量 滑轮转动定律 , 转动
( m1g m2 g ) R = I β
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题
,
得 m1 m 2 β = g ( m1 + m 2 + m / 2 ) R
方
m
向
正
T2
m2
m2 g
m1 m2 a= g (m1 + m2 + m / 2)
T 1
m1 m1 g
换一种考虑方法,将砝码固定在滑轮边缘上:
rG = I m
2 I = m rG 这就是说，从刚体对该轴的转动效 应讲，物体的质量可以视为全部集 中在离轴距离为 rG 的一个圆周上。
例如：圆盘对其中心 I mR 2 2 R rG = = = 垂直轴的回转半径为 m m 2
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四.转动定律解题
m
向
正
例:如图,滑轮是刚体,质量为m,
半径为R, 滑轮与细绳之间 T2 T 1 无滑动,求滑轮的角加速度. m2 m1 g T1 = m1a 平动 m1 T2 m2 g = m2 a m2 g m1 g 2 T1 R T2 R = I β = ( mR 2 ) β 转动 a = R β 平动与转动(绳轮彼此无滑动)
3g θ = ,M =0,β =0,ω = 2 L
π
aτ = 0 a = an = ω 2r
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T1 =
特例：当 m = 0 时， 绳中张力相等
T1 = T2 =
2m1m2 g ( m1 + m2 )
一般转动定律解题
r r 转动 ∑ M = I β r r 平动 ΣF = ma 关系 aτ = r β
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例：一质量为m,长为L的均匀细棒,可绕通过
其一端,且与棒垂直的水平轴O转动,今使 棒从静止开始由水平位置绕O轴转动， 求：棒转到900角时的角速度.
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例1:求质量为m,半径为R的细圆环 细圆环
或圆盘 圆盘绕通过中心并与圆面垂直的 圆盘 转轴的转动惯量。 m dm = λ dl 解：(1)圆环 λ = 2π R
R
dm
r dm
I = ∫ R 2 λ dl = R 2 λ 2π R = mR 2 0 m dm = σ 2π rdr (2)圆盘 σ = πR 2 R m R mR 2 2 3 I = ∫ r σ 2π rdr = ∫ 2π r dr = 0 πR 2 0 2
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转动惯量的获得: 转动惯量的获得 转动惯量的计算: 转动惯量的计算 质点系: I = ∑ mi ri 刚 体:
2
规则几何体：理论计算 不规则几何体：实验测定
线分布 dm = λ dl 面分布 dm = σds 体分布 dm = ρdV
I = ∫ r 2 dm
( r 是 dm 到转轴的距离)
由定义可知：转动惯量具有可加性 转动惯量具有可加性
注意对比：转动惯量与质量分布的关系
2π R
O
r
dr
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例2:计算质量为m、长为L 的均匀细棒对中
心或一端并与棒垂直的轴的转动惯量。 分析：质量沿x分布
d
O’
m dm = λ dx = dx L
x
dm
o
x
相对中心O点的转轴，dm 到转轴距离为x 2 对过质心轴O的转动惯量: (根据: I = ∫ r dm )