2020-2021学年天津市某校高一(上)第一次月考数学试卷

2020-2021学年天津市某校高一（上）第一次月考数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的）
1. 集合{x∈N|x−3<2}，用列举法表示是()
A.{0, 1, 2, 3, 4}
B.{1, 2, 3, 4}
C.{0, 1, 2, 3, 4, 5}
D.{1, 2, 3, 4, 5}
【答案】
A
【考点】
集合的含义与表示
【解析】
化简集合，将元素一一列举出来．
【解答】
解：集合{x∈N|x−3<2}
={x∈N|x<5}={0, 1, 2, 3, 4}．
故选A．
2. 设全集U＝{−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3}，集合A＝{−1, 0, 1, 2}，B＝{−3, 0, 2, 3}，则A∩(∁U B)＝（）
A.{−3, 3}
B.{0, 2}
C.{−1, 1}
D.{−3, −2, −1, 1, 3 }
【答案】
C
【考点】
交、并、补集的混合运算
【解析】
进行补集、交集的运算即可．
【解答】
全集U＝{−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3}，集合A＝{−1, 0, 1, 2}，B＝{−3, 0, 2, 3}，
则∁U B＝{−2, −1, 1}，
∴A∩(∁U B)＝{−1, 1}，
3. 若2∈{1, a2+1, a+1}，则a＝（）
A.2
B.1或−1
C.1
D.−1
【答案】
D
【考点】
元素与集合关系的判断
【解析】
根据若2∈{1, a2+1, a+1}，则a+1＝2或a2+1＝2，再根据元素的互异性进行检验即可．
【解答】
若2∈{1, a2+1, a+1}，
则a+1＝2或a2+1＝2，
所以a＝1或−1，
当a＝1时，a2+1＝a+1，与元素互异性相矛盾，舍去；
当a＝−1时，a+1＝0，a2+1＝2，合题意，
故a＝−1．
4. “x>2”是“x>1”的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】
A
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
由x>1，我们不一定能得出x>2；x>2时，必然有x>1，故可得结论
【解答】
解：由x>1，我们不一定能得出x>2，比如x=1.5，所以x>1不是x>2的充分条件；
∵x>2>1，
∴由x>2，能得出x>1，
∴x>1是x>2的必要条件,
∴x>2是x>1的充分不必要条件.
故选A．
5. 设命题p:∃n∈N，n2>2n，则￢p为()
A.∀n∈N，n2>2n
B.∃n∈N，n2≤2n
C.∀n∈N，n2≤2n
D.∃n∈N，n2=2n
【答案】
C
【考点】
命题的否定
【解析】
根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．
【解答】
解：特称命题的否定是全称命题，
故命题的否定是：∀n∈N，n2≤2n.
故选C.
6. 下列不等式中成立的是（）
A.若a>b，则ac2>bc2
B.若a>b，则a2>b2
C.若a<b<0，则a2<ab<b2
D.若a>b，则a3>b3
【答案】
D
【考点】
不等式的基本性质
【解析】
对于选项ABC，直接利用不等式的基本性质的应用进行判断，对于选项D利用配方法判断结果．
【解答】
对于选项A：当c＝0时，由于a>b，所以c2(a−b)＝0，故选项A错误．
对于选项B：由于a>b，当a与b互为相反数时，a2−b2＝(a+b)(a−b)＝0，故选项B错误．
对于选项C:a<b<0，所以a2>ab>b2，故选项C错误．
对于选项D：由于a>b，所以a3−b3＝(a−b)(a2+ab+b2)＝(a−b)[(a+b
2
)2+
3
4
b2]>0，故选项D正确．
故选：D．
7. 下列表示图中的阴影部分的是（）
A.(A∪C)∩(B∪C)
B.(A∪B)∩(A∪C)
C.(A∪B)∩(B∪C)
D.(A∪B)∩C
【答案】
A
【考点】
Venn图表达集合的关系及运算
【解析】
由韦恩图分析阴影部分表示的集合，关键是要分析阴影部分的性质，先用自然语言将其描述出来，再根据集合运算的定义，将共转化为集合语言，再去利用集合运算的方法，对其进行变形和化简．
【解答】
图中阴影部分表示元素满足：
是C中的元素，或者是A与B的公共元素
故可以表示为C∪(A∩B)
也可以表示为：(A∪C)∩(B∪C)
8. 下列不等式中，正确的是( )
A.a+4
a ≥4 B.a2+b2≥4a
b C.√ab≥a+b
2
D.x2+3
x2
≥2√3
【答案】
D
【考点】
基本不等式
【解析】
利用基本不等式成立的条件，判断选项的正误即可．
【解答】
解：当a<0时，则a+4
a
≥4不成立，故A错误；
当a=1，b=1时，a2+b2<4ab，故B错误；
当a=4，b=16时，则√ab<a+b
2
，故C错误；
由均值不等式可知D项正确．
故选D.
9. 一元二次方程ax2+4x+3＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（）
A.a<0
B.a>0
C.a<−1
D.a>1
【答案】
C
【考点】
充分条件、必要条件、充要条件
【解析】
先由已知条件得到{△=16−12a>0
3
a
<0，解得a<0，而a<−1能得到a<0，a<0得不
到a<−1，所以a<−1是一元二次方程ax2+4x+3＝0 (a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件．
【解答】
若一元二次方程ax2+4x+3＝0 (a≠0)有一个正根和一个负根，则：
{a≠0
16−12a>0
3 a <0
，解得a<0；
∴a<−1时，能得到a<0，而a<0，得不到a<−1；
∴a<−1是a<0的充分不必要条件，即a<−1是一元二次方程ax2+4x+3＝
0 (a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件；
10. 已知实数a>0，b>0，+＝1，则a+2b的最小值是（）
A. B. C.3 D.2
【答案】
B
【考点】
基本不等式及其应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
二、填空题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，把答案填在相应横线上）
已知命题p:∃x∈R，x2−1>0，那么￢p是________．
【答案】
∀x∈R，x2−1≤0
【考点】
命题的否定
【解析】
根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
【解答】
命题为特称命题，则命题的否定为：∀x∈R，x2−1≤0，
已知a，b，c均为非零实数，集合A={x|x=|a|
a +b
|b|
+ab
|ab|
}，则集合A的元素的个数
有________个．
【答案】
2
【考点】
元素与集合关系的判断
【解析】
通过对a，b的正负的分类讨论，利用绝对值的定义去掉绝对值的符号然后进行运算，求出集合中的元素．
【解答】
当a>0，b>0时，x=|a|
a +b
|b|
+ab
|ab|
=1+1+1＝3，
当a>0，b<0时，x=|a|
a +b
|b|
+ab
|ab|
=1−1−1＝−1，
当a<0，b>0时，x=|a|
a +b
|b|
+ab
|ab|
=−1+1−1＝−1，
当a<0，b<0时，x=|a|
a +b
|b|
+ab
|ab|
=−1−1+1＝−1，
故x的所有值组成的集合为{−1, 3}
设集合A＝{−1, 1, m}，B＝{m2, 1}，且B⫋A，则实数m＝________．
【答案】
【考点】
集合的包含关系判断及应用
【解析】
由真子集的定义得m2＝m，再利用集合中元素的互异性能求出实数m．
【解答】
∵集合A＝{−1, 1, m}，B＝{m2, 1}，且B⫋A，
∴m2＝m，解得m＝0或m＝1（舍），
故实数m＝0．
设集合A={x|0≤x≤3}，B={x|1≤x≤5, x∈Z}，则A∩B非空真子集个数为________．
【答案】
6
【考点】
交集及其运算
【解析】
可求出集合B，然后进行交集的运算得出A∩B={1, 2, 3}，然后根据非空真子集个数的计算公式即可求出A∩B的非空真子集的个数．
【解答】
∵A={x|0≤x≤3}，B={1, 2, 3, 4, 5}，
∴A∩B={1, 2, 3}，
∴A∩B非空真子集个数为：23−2=6．
给出下列条件p与q：
①p:x＝1或x＝2；q:x2−3x+2＝0；
②p:x2−1＝0，q:x−1＝0；
③p：一个四边形是矩形；q：四边形的对角线相等．
其中p是q的必要不充分条件的序号为________．
【答案】
②
【考点】
充分条件、必要条件、充要条件
【解析】
直接利用方程的解法和充分条件和必要条件的应用判断①、②、③的结论．
【解答】
①p:x＝1或x＝2；
q:x2−3x+2＝0，解得x＝1或x＝2；，
故p＝q，所以p为q的充要条件；
②p:x2−1＝0，解得x＝±1，
q:x−1＝0；解得x＝1，所以q是p的充分不必要条件，即p是q的必要不充分条件，③p：一个四边形是矩形；则对角线相等，q：四边形的对角线相等．但是该四边形不一定为矩形，
故p是q的充分不必要条件．
已知全集U＝{x|x≤8, x∈N∗}，若A∩(∁U B)＝{2, 8}，(∁U A)∩B＝{3, 7}，(∁U A)∩(∁U B)＝{1, 5, 6}，则集合A＝________，B＝________．
【答案】
{2, 4, 8},{3, 4, 7}
【考点】
交、并、补集的混合运算
【解析】
先求出A∩B＝{4}，由此能求出集合A，B．
【解答】
全集U＝{x|x≤8, x∈N∗}＝{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，
A∩(∁U B)＝{2, 8}，(∁U A)∩B＝{3, 7}，
(∁U A)∩(∁U B)＝{1, 5, 6}，
∴A∩B＝{4}，
集合A＝{2, 4, 8}，B＝{3, 4, 7}．
已知集合A＝{x|1<x<4}，B＝{x|a<x<2a}，若A∪B＝A，则实教a的取值范围是________．
【答案】
[1, 2]
【考点】
集合的包含关系判断及应用
并集及其运算
【解析】
根据集合的包含关系得到关于a的不等式组，再求出a的取值范围．
【解答】
因为A＝{x|1<x<4}，B＝{x|a<x<2a}，
若A∪B＝A，则B⊆A，则{a≥1
2a≤4
，解得1≤a≤2，
所以a的取值范围为[1, 2]．
设n∈N∗，一元二次方程x2−4x+n＝0有整数根的充要条件是n＝________．
【答案】
3或4
【考点】
充分条件、必要条件、充要条件
【解析】
一元二次方程x2−4x+n＝0有实数根的充要条件是△≥0，n∈N∗，解得n．经过验证即可得出．
【解答】
一元二次方程x2−4x+n＝0有实数根的充要条件是△＝16−4n≥0，n∈N∗，解得1≤n≤4．经过验证n＝3，4时满足条件．
若x<5
3，y＝3x+1
3x−5
，当x＝________4
3
时，y的最大值为________．
【答案】
,3
【考点】
基本不等式及其应用【解析】
y＝3x+1
3x−5=3x−5+1
3x−5
+5＝−(5−3x+1
5−3x
)+5，然后结合基本不等式即可
求解．
【解答】
由x<5
3
得3x−5<0，
y＝3x+1
3x−5=3x−5+1
3x−5
+5＝−(5−3x+1
5−3x
)+5≤−2√(5−3x)⋅1
5−3x
+5＝3，
当且仅当5−3x=1
5−3x ，即x=4
3
时取等号，此时y＝3x+1
3x−5
取得最大值3．
已知正实数a，b满足a+b＝1，则1
a (b+1
b
)的最小值是________．
【答案】
2+2√2
【考点】
基本不等式及其应用【解析】
由1
a (b+1
b
)=b
a
+1
ab
=b
a
+(a+b)2
ab
=2b
a
+a
b
+2，然后结合基本不等式即可求解．
【解答】
∵正实数a，b满足a+b＝1，
∴1
a (b+1
b
)=b
a
+1
ab
=b
a
+(a+b)2
ab
=2b
a
+a
b
+2≥2√2b
a
⋅a
b
+2=2+2√2，
当且仅当2b
a =a
b
且a+b＝1，即a＝2−2√2，b=√2−1时取等号，
则1
a (b+1
b
)的最小值2+2√2．
三、解答题：（本大题共2个小题，共20分，请用黑色水笔将答案写在规定区域内，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
设集合P＝{x|−2<x<3}，Q＝{x|2a≤x≤a+3}．
（1）若a＝1时，求P∪Q；P∩(∁R Q)；
（2）若P∩Q＝⌀，求实数a的取值范围；
（3）若P∩Q＝{x|0≤x<3}，求实数a的值．
【答案】
a＝1时，集合P＝{x|−2<x<3}，Q＝{x|2≤x≤4}．
∴P∪Q＝{x|−2<x≤4}，
∁R Q＝{x|x<2或x>4}，
P∩(∁R Q)＝{x|−2<x<2}．
∵集合P＝{x|−2<x<3}，Q＝{x|2a≤x≤a+3}．P∩Q＝⌀，
∴当Q＝⌀时，2a>a+3，解得a>3，
当Q≠⌀时，{2a≤a+3
a+3≤−2或{2a≤a+3
2a≥3
，
解得a≤−5或3
2
≤a≤3，
∴实数a的取值范围是(−∞, −5]∪[3
2
, 3]．
∵集合P＝{x|−2<x<3}，Q＝{x|2a≤x≤a+3}．P∩Q＝{x|0≤x<3}，
∴ P ∩Q ＝{x|2a ≤x <3}＝{x|0≤x <3}，
解得实数a ＝0．
【考点】
交、并、补集的混合运算
【解析】
（1）a ＝1时，求出集合Q ．由此能求出P ∪Q ，求出∁R Q ，由此能求出P ∩(∁R Q)．
（2）当Q ＝⌀时，2a >a +3，当Q ≠⌀时，{2a ≤a +3a +3≤−2 或{2a ≤a +32a ≥3
，由此能求出实数a 的取值范围．
（3）推导出P ∩Q ＝{x|2a ≤x <3}＝{x|0≤x <3}，由此能求出实数a ．
【解答】
a ＝1时，集合P ＝{x|−2<x <3}，Q ＝{x|2≤x ≤4}．
∴ P ∪Q ＝{x|−2<x ≤4}，
∁R Q ＝{x|x <2或x >4}，
P ∩(∁R Q)＝{x|−2<x <2}．
∵ 集合P ＝{x|−2<x <3}，Q ＝{x|2a ≤x ≤a +3}．P ∩Q ＝⌀， ∴ 当Q ＝⌀时，2a >a +3，解得a >3，
当Q ≠⌀时，{2a ≤a +3a +3≤−2 或{2a ≤a +32a ≥3
， 解得a ≤−5或32≤a ≤3，
∴ 实数a 的取值范围是(−∞, −5]∪[32, 3]．
∵ 集合P ＝{x|−2<x <3}，Q ＝{x|2a ≤x ≤a +3}．
P ∩Q ＝{x|0≤x <3}，
∴ P ∩Q ＝{x|2a ≤x <3}＝{x|0≤x <3}，
解得实数a ＝0．
已知集合A ＝{x|2−a ≤x ≤2+a}，B ={x|x ≤1或x ≥4}．
(1)当a =3时，求A ∩B ；
(2)若a >0，且“x ∈A ”是“x ∈(∁R B)”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．
【答案】
解：(1)当a =3时，集合A ={x|−1≤x ≤5}，
B ={x|x ≤1或x ≥4}，
∴ A ∩B ={x|−1≤x ≤1或4≤x ≤5}.
(2)∵ 若a >0，且“x ∈A ”是“x ∈(∁R B)”的充分不必要条件，
∴ A 是∁R B 的真子集，且A ≠⌀，
A ={x|2−a ≤x ≤2+a}(a >0)，∁R
B ={x|1<x <4}，
∴ {2−a >1，
2+a <4，a >0，
解得：0<a <1．
∴ a 的取值范围是{a|0<a <1}．
【考点】
根据充分必要条件求参数取值问题
补集及其运算
交集及其运算
集合的包含关系判断及应用
【解析】
（1）a ＝3时化简集合A ，根据交集的定义写出A ∩B ；
（2）根据若a >0，且“x ∈A ”是“x ∈∁R B ”的充分不必要条件，得出关于a 的不等式，求出a 的取值范围即可
【解答】
解：(1)当a =3时，集合A ={x|−1≤x ≤5}， B ={x|x ≤1或x ≥4}，
∴ A ∩B ={x|−1≤x ≤1或4≤x ≤5}.
(2)∵ 若a >0，且“x ∈A ”是“x ∈(∁R B)”的充分不必要条件， ∴ A 是∁R B 的真子集，且A ≠⌀，
A ={x|2−a ≤x ≤2+a}(a >0)，∁R
B ={x|1<x <4}，
∴ {2−a >1，
2+a <4，a >0，
解得：0<a <1．
∴ a 的取值范围是{a|0<a <1}．。