与圆有关的最值问题

高中数学：与圆有关的最值问题
角度1 借助几何性质求最值的问题
已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，则
①y x 的最大值为3 ；
②y －x
③x 2＋y 2的最大值和最小值分别为
解析：原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆．
①y x 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设y x ＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时(如图)，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1
＝3，解得k ＝± 3.
所以y x 的最大值为 3.
②y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距．
如图所示，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，
此时|2－0＋b |2
＝3，解得b ＝－2±6， 所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.
③方法一：x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为2.所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3.
方法二：由x 2＋y 2－4x ＋1＝0，得(x －2)2＋y 2＝3.
设⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2＋3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)， 则x 2＋y 2＝(2＋3cos θ)2＋(3sin θ)2＝7＋43cos θ.
所以当cos θ＝－1时，(x 2＋y 2)min ＝7－43，
当cos θ＝1时，(x 2＋y 2)max ＝7＋4 3.
角度2 建立函数关系求最值的问题
(2019·厦门模拟)设点P (x ，y )是圆：x 2＋(y －3)2＝1上
的动点，定点A (2,0)，B (－2,0)，则P A →·PB
→的最大值为12__. 解析：由题意，知P A →＝(2－x ，－y )，PB →＝(－2－x ，－y )，所以P A →·PB
→＝x 2＋y 2－4，
由于点P (x ，y )是圆上的点，
故其坐标满足方程x 2＋(y －3)2＝1，
故x 2＝－(y －3)2＋1，
所以P A →·PB
→＝－(y －3)2＋1＋y 2－4＝6y －12. 易知2≤y ≤4，所以，当y ＝4时，P A →·PB →的值最大，最大值为6×4
－12＝12.
求解与圆有关的最值问题的方法
(1)借助几何性质求与圆有关的最值问题，根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解．
①形如μ＝y －b x －a
形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题或转化为线性规划问题；
②形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题或转化为线性规划问题；
③形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
(2)建立函数关系式求最值
根据题中条件列出相关的函数关系式，再根据函数知识或基本不等式求最值．
(1)已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( A )
A ．52－4 B.17－1 C ．6－2 2 D.17
解析：圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1的圆心为C 1(2,3)，半径r 1＝1；圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9的圆心为C 2(3,4)，半径r 2＝3.设圆心C 1关于x 轴的对称点为A (2，－3)，连接AC 2与x 轴交于点P ，
则|PC 1|＋|PC 2|＝|P A |＋|PC 2|＝(3－2)2＋(4＋3)2＝52，此时x 轴上的动点P 到两圆心的距离之和最小，
∴|PM |＋|PN |的最小值为|P A |＋|PC 2|－r 1－r 2＝52－4.
(2)设点P (x ，y )是圆：(x －3)2＋y 2＝4上的动点，定点A (0,2)，B (0，
－2)，则|P A →＋PB
→|的最大值为10__. 解析：由题意，知P A →＝(－x,2－y )，PB →＝(－x ，－2－y )，所以P A
→＋PB →＝(－2x ，－2y )，
由于点P (x ，y )是圆上的点，
故其坐标满足方程(x －3)2＋y 2＝4， 故y 2＝－(x －3)2＋4，
所以|P A →＋P B →|＝4x 2＋4y 2＝26x －5. 易知1≤x ≤5，所以，当x ＝5时，|P A →＋PB →|的值最大，最大值为26×5－5＝10.。