精品解析：北京市房山区2020届高三第二次模拟检测数学试题(解析版)

B. (, 0) (1, )
C. (0,1)
D. [0,1]
【答案】D
【解析】 【分析】
计算 A , 0 1, ，再计算补集得到答案.
【详解】 A {x | x2 x 0}， x2 x 0 ，解得 x 1 或 x 0 ，故 A , 0 1, ，
故 ðU A [0,1] .
又因为 f (0) 1，所以 x (0, ) ， f (x) 0 .
故 f (x) 在 (0, ) 无零点.
综上：函数 f (x) ex x2 的零点个数为1.
故选：B 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的零点，同时考查了数形结合的思想，属于中档题.
6.“ sin sin ”是“ ”的（ ）
【详解】
f
(x)
sin πx cos πx
1 sin 2 x ，故周期 T 2
2 2
1.
故选：A.
【点睛】本题考查了二倍角公式，三角函数周期，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.
4.若双曲线
x2 a2
y2 b2
1
(a
0, b
0) 的一条渐近线经过点 (1,
3) ，则该双曲线的离心率为（
）
A. 2
故选：A. 【点睛】本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力.
7.已知函数 f (x) lg |1 x | lg |1 x | ，则 f (x) （ ） A. 是奇函数，且在 (1, ) 上是增函数 B. 是奇函数，且在 (1, ) 上是减函数 C. 是偶函数，且在 (1, ) 上是增函数 D. 是偶函数，且在 (1, ) 上是减函数
【点睛】本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数相等的条件与运算求解能力，属于基础题.
12.若直线 x 3 与圆 x2 y2 2x a 0 相切，则 a _________．
【答案】 3
【解析】 【分析】
由题意结合圆的方程可得该圆圆心为 1, 0 ，半径为 a 1 ，再利用圆心到直线的距离等于半径即可得解. 【详解】由题意圆的方程 x2 y2 2x a 0 可转化为 x 12 y 2 a 1 ，
△ MOF （ O 为坐标原点）的面积为_________．
【答案】
(1). 1 2
(2). 1 4
【解析】
【分析】
设出焦点坐标，根据抛物线定义即可求出点 M 的横坐标，得到点 M 坐标，继而可求△ MOF （ O 为坐标
原点）的面积.
【详解】因为
y2
2x
，所以焦点
F
1 2
,
0
，
设点 M x1, y1 ，
B. 3
C. 2
D. 5
【答案】C
【解析】 【分析】
首先根据题意得到 b a
3 ，再根据 e
1
b2 a2
计算即可.
【详解】由题知：双曲线
x2 a2
y2 b2
1
(a
0, b
0) 的渐近线方程为
y
b a
x，
因为渐近线方程过点 (1, 3) ，
所以
y
b a
x
过点
(1,
3) ，即
b a
3.
e
c2 a2
所以该圆圆心为 1, 0 ，半径为 a 1 ，
所以圆心到直线 x 3 的距离 d 3 1 a 1 ，解得 a 3 .
故答案为： 3 .
【点睛】本题考查了圆的方程的应用，考查了直线与圆的位置关系的应用以及运算求解能力，属于基础题.
13.已知抛物线 C ： y2 2x 的焦点为 F ，点 M 在抛物线 C 上， | MF | 1 ，则点 M 的横坐标是________，
分别需要每隔 2 天、3 天、5 天、6 天去配送一次．已知 5 月1日李明分别去了这四家超市配送，那么整个 5
月他不用去配送的天数是（ ）
A. 12
B. 13
C. 14
D. 15
【答案】B
【解析】 【分析】 由题意将剩余天数编号，转化条件得李明每逢编号为 3、4、6、7 的倍数时要去配送，利用分类加法即可得 解.
所以李明需要配送的天数为10 5 0 2 17 ， 所以整个 5 月李明不用去配送的天数是 30 17 13 .
故选：B. 【点睛】本题考查了计数原理的应用，考查了逻辑推理能力、转化化归思想与分类讨论思想，关键是对于 题目条件的转化与合理分类，属于中档题.
第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．
【答案】D
【解析】 【分析】
80 ℃的物体，放在 20 ℃的空气中冷却，4 分钟以后物体的温度是 40 ℃，则 40 20 (80 20)e4k ，从而 e4k 1 ，由此能求出 k 的值．
3
【 详 解 】 由 题 知 ， 80 ℃ 的 物 体 ， 放 在 20 ℃ 的 空 气 中 冷 却 ， 4 分 钟 以 后 物 体 的 温 度 是 40 ℃ ， 则
故选：D.
【点睛】本题考查解不等式，补集的计算，属于简单题.
2.在△
ABC
中，若
A
π 4
，
B
π 3
，
a
2
3 ，则 b （
）
A. 2 3
B. 3 2
C. 2 6
D. 3 3
【答案】B
【解析】 【分析】 直接利用正弦定理计算得到答案.
【详解】根据正弦定理：
a
b
23 ，故
sin A sin B sin
可由公式 0 (1 0 )ekt 求得，其中 k 是一个随着物体与空气的接触状况而定的大于 0 的常数．现有 80 ℃的物体，放在 20 ℃的空气中冷却，4 分钟以后物体的温度是 40 ℃，则 k 约等于（参考数据：ln 3 1.099 ）
（）
A. 0.6 C. 0.4
B. 0.5 D. 0.3
PB PO2 OB2 PO2 OA2 AB2 22 22 22 2 3 ，
∴该四棱锥最长侧棱长为 2 3 .
故选:C 【点睛】本题考查三视图的问题，关键是画出直观图，结合图形即可得到答案，考查学生的直观想象和运
算求解能力.
9.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是1 ℃，空气的温度是0 ℃，经过 t 分钟后物体的温度 ℃
a2 b2 a2
1
b2 a2
1 3 2 .
故选：C
【点睛】本题主要考查双曲线离心率的求法，根据题意找到 a, b, c 的关系式为解题的关键，属于简单题.
5.函数 f (x) ex x2 的零点个数为（ ）
A. 0
C. 2
B. 1 D. 3
【答案】B
【解析】 【分析】
由 f (x) e x x 2 0 ，得到 ex x2 .分别画出 y ex 和 y = x2 的图象可知当 x 0 时，函数 y ex 和 y = x2
【答案】C 【解析】 【分析】 利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性，再利用复合函数单调性法则判断单调性，结合选项可得结果.
【详解】 f x lg 1 x lg 1 x
f x，
f x 是偶函数；
当 x 1 时， f (x) lg 1 x lg x 1 lg x 2 1 ，
设 t x x2 1，则 t x 在 (1, ) 上单增，
房山区 2020 年高考第二次模拟检测
高三数学
第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项．
1.已知全集U R ，集合 A {x | x2 x 0}，那么集合 ðU A = （ ）
A. (, 0] [1, )
A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件
B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】 【分析】 根据三角函数运算依次判断充分性和必要性得到答案.
【详解】若 ，则 sin sin ，则若 sin sin ，则 ，故是充分条件；
若 ，取 2 ，则 sin sin ，故不是必要条件. 故“ sin sin ”是“ ”的充分而不必要条件.
根据三视图可得直观图四棱锥 P ABCD ，结合图形，即可得到最长的侧棱为 PB ，根据勾股定理即可求
出 PB 的长． 【详解】根据三视图可得直观图四棱锥 P ABCD ，如图：
底面是一个直角梯形， AD AB ， AD / /BC ， AD 4 , AB BC PO 2 ,且 PO 底面 ABCD ，所以 PA PD PC 22 22 2 2 ，
b
sin
，解得 b 3
2.
4
3
故选：B.
【点睛】本题考查了正弦定理，意在考查学生的计算能力.
3.函数 f (x) sin πx cos πx 的最小正周期为（ ）
A. 1 C. π
B. 2 D. 2π
【答案】A
【解析】
【分析】
化简得到 f (x) 1 sin 2 x ，利用周期公式得到答案. 2
11.若 (m i)(1 i) 1 3i （ m R ），则 m _________．
【答案】 2
【解析】 【分析】
由题意结合复数的乘法法则可得 m 1 m 1i 1 3i ，由复数相等的条件即可得解.
【详解】由题意 (m i)(1 i) m 1 m 1i 1 3i ，
m 1 1 由 m R 可得 m 1 3 ，解得 m 2 . 故答案为： 2 .
直接法， f x f x (正为偶函数，负为减函数)；（2）和差法， f x f x 0（和为零奇函数，
差为零偶函数）；（3）作商法，
f x f x
1（1
为偶函数， 1
为奇函数）.
8.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长侧棱的长为（ ）
A. 2
B. 2 2
C. 2 3
D. 4
【答案】C 【解析】 【分析】
所以根据抛物线的定义由：
MF
x1
1 2
，
又 | MF | 1 ，
所以
x1
1 2
1，解得：
x1
1 2
，
即点 M
的横坐标是 1 2
.
因为 S△MOF
1 2
y1
OF
，
又 y12
2 1 2
1，所以
y1
天依次编号为 1，2，3 30， 因 为甲、乙、丙、丁四家超市分别需要每隔 2 天、 3 天、 5 天、 6 天去配送一次，且 5 月1日李明分别去了
这四家超市配送， 所以李明每逢编号为 3 的倍数的那天要去甲超市配送，每逢编号为 4 的倍数的那天要去乙超市配送，每逢 编号为 6 的倍数的那天要去丙超市配送，每逢编号为 7 的倍数的那天要去丁超市配送， 则李明去甲超市的天数编号为：3、6、9、12、15、18、21、24、27、30，共 10 天； 李明去乙超市但不去甲超市的天数编号为：4、8、16、20、28，共 5 天； 李明去丙超市但不去甲、乙超市的天数编号不存在，共 0 天； 李明去丁超市但不去甲、乙、丙超市的天数编号为：7、14，共 2 天；
当 x 0 时，函数 y ex 和 y = x2 有一个交点. 当 x 0 时， f (x) ex 2x ， 令 g(x) ex 2x ， g (x) ex 2 ， g(x) 0 ， x ln 2 . 当 x (0, ln 2) ， g(x) 0 ， g(x) 为减函数， 当 x (ln 2, ) ， g(x) 0 ， g(x) 为增函数. 所以 gmin (x) g(ln 2) eln2 2 ln 2 2 ln 4 0 ， 所以 f (x) 在 (0, ) 为增函数，
40 20 (80 20)e4k ，从而 e4k 1 ， 3
4k ln 1 ln 3 ，得 k 1 ln 3 1.009 0.3 .
3
4
4
故选:D
【点睛】本题主要考查指数与对数的运算，考查了学生的阅读理解能力和运算求解能力.
10.李明自主创业种植有机蔬菜，并且为甲、乙、丙、丁四家超市提供配送服务，甲、乙、丙、丁四家超市
又 f t lg t 为增函数，所以 f (x) lg x2 1 在 (1, ) 上单增，
f x 是偶函数，且在 (1, ) 上是增函数.
故选：C. 【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断以及函数单调性的判断，属于中档题. 判断函数的奇偶性首先要看
函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）
有一个交点.当 x 0 时，利用导数研究函数 f (x) ex x2 的单调性和最值即可得到零点个数，再综合 x 0 和 x 0 的情况即可得到函数的零点个数. 【详解】令 f (x) e x x 2 0 ，得： ex x2 ，
分别画出 y ex 和 y = x2 的图象，如图所示：