高考数学试题南通市2018届高三模拟卷(二)

南通市2021届高三模拟卷〔二〕数学
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-------南通数学学科基地命题------------------
一．填空题：本大题共14小题，每
题5分，共
70分.不需写出解答过程．请把答案直接填写在答
题卡
．．．
相应位置上．．．．．.
1 .假设
集合
A
{
x
|2x4}
a
,
▲．
，那么a=
2
.复数z12ai,z22i，假设
|z1|＜|z
2
|，那么实数a的取值范围是．
为了了解高三学生的身体状况．抽取了局部男生的体重，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图
〔如图〕，图中从左到右的前3个小组的频率之比为1︰2︰3，第2小组的频数为12，那么抽取的男生人数是．频率
组距
0．0375
0．0125
50 55 60 65 70 75体重
4.
数列—1，a1，a2，—4成等差数列,—1，b1,b2,b3,—4成等比数
列，那么a2a1的值为
b2
5
.
抛掷一颗骰子的点数
为
a，得到函
数f(x)sin aπx，那么“y f(x)在[0，4]上至少有
5个零点〞的
概
3
率是．
6
.一个棱长为
6cm的正方体盒子(无上盖)，上口放着一个半
径为
5cm的球，那么球心到盒底的
距离为
cm.
π1p
p 4.
7．对于x(0,)
,不等式
sin2x
cos
2
x≥9恒成立,那么正实数p的取值
范围为
2
8
.如图，在Rt△ABC中，AC⊥BC，D在边AC上，BC＝2，CD＝1，∠ABD＝45°，那么AD＝．
Read x
A
If x<5Then
y←x2+1
Else
D y←5x
C B Printy
9.如图是由所输入的x值计算y值的一个算法程序，假设x依次取数列{
2
n}
，n≤2021〕的项，n+4〔n N*
那么所得y值中的最小值为.
10.直线y x b是曲线y lnx1的一条切线，那么b_______.
11.双曲线x2y2
1(a0,b0)的左、右焦点分别为12121 a2b2F、F，P是双曲线上一点，且PF⊥PF，PFP
F2=4ab，那么双曲线的离心率是.
12.在周长为16的PMN中，MN6，那么PMPN的取值范围是.
x
*
13.设函数f(x)x11,A0为坐标原点，A n为函数y=f〔x〕图象上横坐标为n(n N)
2x1
n
的点，向量a n
k1A k1A k，向量i=〔1，0〕，设n为向量a n与向量i
的夹角，那么满
足
n5的最大整数n是.
tan k
k13
14.l1和l2是平面内互相垂直的两条直线，它们的交点为A，动点B、C分别在l1和l2
上，且BC32，过A、B、C三点的动圆所形成的区域的面积为.
二．解答题:本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或
．．．．．．．．
演算步骤．
15〔此题总分
值14分〕(0,),(,),cos277 ,sin().
2299
(Ⅰ)求cos的值；(Ⅱ)求sin的值.
16〔此题总分值14分〕如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD底面ABCD，
且PA PD 2AD，假设E、F分别为PC、BD的中点.(Ⅰ)求证：EF∥平面PAD；(Ⅱ)求证：
2
EF 平面PDC.
P
E
D C
F
A B
第16题
17〔此题总分值15分〕等差数列{a n}满足：a18,a50。

数列{b n}的前n项和为S n2n11
(n N*) 2
〔1〕求数列{a n}和{b n}的通项公式；〔2〕令c n2a n，试问：是否存在正整数n，使不等式b n c n1b n c n 成立？假设存在，求出相
应n的值；假设不存在，请说明理由。

18〔此题总分值15分〕图1是某种称为“凹槽〞的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面〔阴影局部〕示
意图，其中四边形ABCD是矩形，弧CmD是半圆，凹槽的横截面的周长为 4.凹槽的强度与横截面的面积
成正比，比例系数为3,设AB=2x,BC=y.〔Ⅰ〕写出y关于x函数表达式，并指出x的取值范围；〔Ⅱ〕
求当x取何值时，凹槽的强度最大.
D
C
m
A B
图1图2
22
19〔此题总分
值16分〕如图，椭圆C：x
y1(ab0)的长轴AB长为4，离心率e
3
，O为坐标
a2b22
原点，过B的直线l与x轴垂直．P是椭圆上异于A、B的任意一点，PH x轴，H为垂足，延长HP到点Q使得HP PQ，连结AQ延长交直线l于点M，N为MB的中点．〔1〕求椭圆C的方程；〔2〕证明Q点在以AB为直径的圆O上；〔3〕试判断直线QN与圆O的位置关系．
y
Q
M
N
P
A O H
B x
l
20〔本分16分〕f 1(x)
|3x 1|,f 2(x)
|a3x
9|(a 0),xR ,
f 1(x), f 1(x) f 2(x)
.(Ⅰ)当a
1,求f(x)在x
1的切方程；(Ⅱ)当
2a9,
且f(x)
f 1(x)
f 2(x) f 2(x),
f(x)f 2(x)所的自量取区的度
l (区[m,n]的度定nm ),
求l 的最大；
(Ⅲ)是否存在的 a ，使得当
x2,
,
f(x)
f 2(x)?
a
的取范；假设不存在，
假设存在,求
出
明理由.
南通市2021届高三模拟卷〔二〕
参考答案及评分标准 一.填空：本大共 14小，每小 5分,共70分,不需写出解答程 ,把答案直接填写在答相
位置上． 1.a=2
2.
的取范是
〔－1，1〕
．3.男生人数是
48
．
4.
的__
1 2 ．6.
10
．p
4
__.5.
3
2
8. 5 ．9. 17.10.__-2_____.11. 是
5.12.
是[7,16).
13.是3
.14.
18π.
二．填空：本大共
6小，共
90分,需写出解答程 ,把答案直接填写在答相位置上．
15.
解：〔Ⅰ〕因
( ,
),cos
0⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分
2 7
1
又cos2
2cos 2
1
,所以cos
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
6分
9
3
〔Ⅱ〕根据〔Ⅰ〕，得sin
1 cos 2
2 2 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分
3
而
(
3 ), 且
sin(
7
, 所
2
)
4 2
2
,
)
以cos()1sin(
9
2
9
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
10分
故sin sin[( ) ] sin( )cos cos( )sin ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分
=
7
(1)(
42)
221
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14分
9
3
9
3
3
16.
明：〔Ⅰ〕 AC ，F 是AC 的中点，在△
CPA 中，EF ∥PA ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分 且PA 平面 PAD ，EF 平面PAD ，∴EF ∥平面PAD ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
6 分
〔Ⅱ〕因平面
PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD=AD ，又CD ⊥AD ，所以CD ⊥平面PAD ，
∴CD ⊥PA ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9分
又PA=PD=
2
2
AD ，所以△PAD 是等腰直角三角形，且
APD ，即PA ⊥PD ⋯⋯⋯⋯12分 2
而
CD ∩PD=D ，∴PA ⊥平面 PDC ，又 EF ∥PA ，所以 EF ⊥平面 PDC ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14分
17．解：〔1〕数列
a n 的公差d ，由a 5 a 1 4d 1，得d 1 2，得a n 2n 10．⋯2分
由数列
b n
的前n 和为S n 2n
1
1n
N 可知，当n
1时，b 1
S 1
1，
2
2
当n ≥2时，n
n 2
n2
n1
b 1
n n1
2 ，
n
2
当 时，得 ，
2
故数列a n
的通项公式为a n
2n
10, b n 的通项公式为b n 2n2
．
6分
〔2〕假设存在正整数
n 使不等式
n n
1
n
n 成立，即要满足
(c n
n
1)0,
bc
b c
1)(b
由c n 2a n 2102n
45n ，b n
2n2，
所以数列
c n 单调减，数列
b n 单调增，
8分
①当正整数n 1,2 时， 2n 2 1≤0，所以b n c n 1
b n
c n 不成立； 10分
②当正整数n
3,4时，c n
1 0,b n 1 0 ，所以b n c n 1 b n c n 成立； 1
2 分
③当正整数n ≥5时，
c
n
1 0, n 1 0， 所以 n n 1 n
n 不成立.
b ≤ b
c b
c
综上所述，存在正整数 n
3,4时，使不等式b n c n 1 b n c n 成立.14分
18〔Ⅰ〕易知半圆 CmD 的半径为x ，故半圆CmD 的弧长为 x.所以
4 2x
2y x ，
得y
4 (2
)x
2
依题意知：0
x y
得0
x 4 所以，y 4
(2
)x 〔0 x
4 〕.
4
2
4
〔Ⅱ〕依题意，设凹槽的强度为
T ，横截面的面积为 S ，那么有
T
3S 3(2xy
x 2
)
2
3(2x 4 (2 )x
x 2 ) 3[4x (2 3 )x 2]
2
2
2
3(4 3 )
(x
4 4 )2 8 3.
2
3 4 3
因为 0
4
4 , 所以，当 x
4
时，凹槽的强度最大.
4 3
4
4 3
x
4
43
时，凹槽的强度最大.
答:当
19．18.解：〔1〕由题设可得
c
3
1所以椭圆C 的方程为
x
2
y 2
2a 4,
，解得a 2,c
3，所以b
1．
a
2
4
〔2〕设Px 0,y 0，那么
x 02
y 02 1．
4
因为HP
PQ ，所以 Qx 0,2y 0
．所以 OQ
x 0 2 2y 0 2
2．所以 Q 点在以O 为圆心，2为半径的的
圆上．即Q 点在以AB 为直径的圆
O 上．
〔3〕Px 0,y 0
x 0 2 ，Qx 0,2y 0
，且x 02
y 02 1．
4
又A 2,0 ，所以直AQ 的方程y
2y 0 x
2．
x 0
2
令x
2，得M
8y 0
．又B2,0，N MB 的中点，所以
N
4y 0 ．
2,
2
2,
x 0
x 02
所以OQ
x,2y ，NQ
x
2, 2x 0y 0
．
x 0 2
所以
OQNQx 0x 0
22y 0
2x 0y 0 x 0x 0
2
4x 0y 02 x 0x 0
x 04x 02
x 0 2
x 0 2
2
x 02
x 0x 0 2x 02x 0
0．
所以OQ
NQ ．所以 直QN 与O 相切．
20. 解:( Ⅰ)当a1
,
f 2(x)
|3x 9|.
因当x (0,log 3 5), f 1(x) 3x 1,f 2(x) 9 3x ,
且f 1(x) f 2(x)
23
x
10
23
log 3
5
10 25 10 0,
所以当x (0,log 3
5), f(x)
3x
1,且1 (0,log 35)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
(3分)
由于f
(x) 3x ln3, 所以k
f (1) 3ln3 , 又f(1)2,
故所求切方程
y 2
(3ln3)( x 1) ,
即(3ln3)x y 2 3ln3 0⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(5 分)
(Ⅱ)因2
a 9,所以0 log 3
9 9
,
a log 3
log 3
9
2
①当x
,因a3x
9 0, 3x 1 0,
a
8
所以由f 2(x)
f 1(x) (a 3x 9) (3x 1) (a1)3x
8 0, 解得x log 3
,
9
8
a 1
从而当log 3 x log 3 1 , f(x)
f 2(x)
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(6 分)
a
a
②当
9
x
x 0 x
log 3 a ,
因a
3 9 0, 3 1 0,
10
所以由f 2(x)
f 1(x)
(9 a 3x ) (3x 1) 10(a
1)3x
0,解得x log 3 ,
10
9
a 1
从而当log 3
x log 3 , f(x)
f 2(x)
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(7
分)
a1 a (9a3x
)
3x
)
(a1)3x
③当x 0,因f
2(x)
f(x)
(1 8
0,
1
从而f(x)
f(x)一定不成立⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(8
分)
2
上得,当且当x
[log 3 10
,log 8
f(x)
f 2(x),
a
3
],
1
a 1
故llog 3
8 log 3 10 log 3[
4
(1 2 )]⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(9分)
a 1
a1 5
a 1
从而当a 2 ,l 取得最大
log 3
12
5
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(10分)
(Ⅲ)“当x 2,
,
f(x)
f 2(x)〞等价于“f 2(x)
f 1(x)x2,
恒成立〞,
即“|a
3x 9| |3x 1| 3x
1(*) x
2,
恒成立〞
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ (11分)
9
x
9
①当a
1, log 3
2,当x
2, a 9 log
3a
9
0,(*)
a
3 a3
可化
8
8
a3 x
93x
1,即a
1
2,1
x ,而当x
x 1,
所以a
1,从而a 1
3
3
适合意⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(
12分)
②当0
a
1,log 3
9
2.
9 a
8
8
⑴当x log 3 ,(*) 可化a3
x
93x
1,即a
1
,而1 1,
a
3x
3
x
所以a 1,此要求 0 a 1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(
13分)
⑵当x
log 3 9 ,(*)
可化0 3x
1 9 1,
a
a
所以a R ,此只要求
0 a 1
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯( 14分)
(3)当2
xlog 39
,(*)可化
9 a3x
3x 1,即a
10 1,而 10
1 1 ,
a
3x 3x
9
所以a 1 ,此要求
1 a
1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(
15分)
9 9
由⑴⑵⑶,得
1
a 1符合意要求.
9
1
合①②知,足意的a 存在,且a 的取范是
a 1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(16分)
9
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