2019-2020学年福建省龙岩市长汀、连城一中等六校高一上学期期中考试数学试题

福建省龙岩市长汀、连城一中等六校2019-2020学年
高一上学期期中考数学试题
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一．选择题(共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题列出的四个选项中，只有一项符合要求)
1. 已知集合2},2|{=
≤=a x x A ,则与集合的关系是（ ）
A. B. C. D. 2. 函数x
x x f --
+=11
)3(log )(2
1的定义域是（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中是偶函数但不是奇函数的是（ ） A.3
)(x x f = B.x x x f +=2
)( C. x
x
x f -+=2
2)( D.
4. 已知1.0log ,2,2ln 21
.0===c b a ，则下列关系式正确的是（ ） A. c b a >> B. c a b >> C. a c b >> D. b c a >> 5. 函数x x f x
32)(+=的零点所在的区间是（ ）
A. （-2，-1）
B. （-1，0）
C. （0，1）
D. （1，2） 6. 已知全集U=R ，集合，集合}3|{x y y N -==，则N
M C U )(等于（ ）
A.),0[)1,(+∞--∞
B.),0(]1,(+∞--∞
C.
D.),1[+∞- 7. 函数a
a x f x 1
)(1-
=+)10(≠>a a 且的大致图象可能是（ ）
A. B. C. D.
8. 如果函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（ ）
a A A a ∈A a ∉A a =A a ∈}{}3|{->x x }13|{<<-x x }113|{><<-x x x 或}1|{<x x 11)(22-+-=x x x f }02|{2
≤--=x x x M ]3,2()1,( -
-∞32)(2
--=x ax x f )2,(-∞a
A. B. C. D.
9. 已知函数2)2
1
(log )(+-=x x f a (10≠>a a 且)的图象恒过定点，则函数
的单调递增区间是（ ）
A. B. )2,(-∞ C. ),2(+∞ D. 10. 某市居民生活用电电价实行全市同价，并按三档累进递增。

第一档：月用电量为0-200
千瓦时（以下简称度），每度0.5元；第二档：月用电量超过200度但不超过400度时，超出的部分每度0.6元；第三档：月用电量超过400度时，超出的部分每度0.8元；若某户居民9月份的用电量是420度，则该用户9月份应缴电费是( ) A. 210元 B. 232元 C. 236元 D. 276元
11. 已知是定义在R 上的奇函数，且当时，,则当时，
的解析式是（ ）
A. B. C. D.
12.已知函数⎩⎨⎧≥<+-=)
1(,log )1(,2)(32x x x x x f ，若关于x 的方程0)(2=-k x f 有三个不同的实根，
则实数k 的取值范围是（ ）
A. )2,1[
B. )2,1[]1,2( --
C. )1,2(--
D. )2,1()1,2( --
第Ⅱ卷（共90分）
二．填空题(本题共4个小题，每小题5分，共20分)
13. 已知函数，则的值为__________.
14. 已知定义在]1,1[-上的偶函数)(x f 在区间]1,0[上是减函数，若)()1(m f m f <-，则实数m 的取值范围是__________.
15. 若函数⎪⎩⎪⎨⎧<-⨯≥-+=)
0(,2124)
0(,113
)(x x x x f x
的值域为A ，则A 为__________.
16．已知函数)()1
21
21()(x f x g x -+=为偶函数，
且0)2(=f ，若不相等的两正数21,x x 满足0)]()([1221>--x f x f x x ）（，则不等式0)2(1>--x f x ）（的解集为__________.
三．解答题（本题共6小题，共70分.要求写出必要的文字说明和解题过程.） 17．(本题满分10分)求值与化简
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡21,0⎥⎦⎤ ⎝⎛210，⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-21，⎪⎭⎫
⎝⎛∞-21，),(n m P )52(log )(2--=nx x x g m ()1-∞-，()∞+，
5)(x f 0≥x 1)(2
-++=a ax x x f 0<x )(x f x x -2
x x +2
x x +-2
x x --2
⎩
⎨⎧<+≥-=,8)),6((,
8,1)(x x f f x x x f )5(f
（1）
21
2
1)23(2
3971--+-）（）（ （2）
2log 9log 28lg 3
136.0lg 2113
lg 6lg 2324log 2⨯-+++-
18．(本题满分12分)
设集合{
}
2
3100A x x x =--<，{}221,B x a x a a R =-≤≤+∈，{}
33C x x =-<< （1）全集R U =，求()U C A C ；
（2）若A B A =，求实数a 的取值范围．
19．(本题满分12分)已知函数1
)(2
++=x b ax x f 为奇函数，且178
)4(=f ． （1）求实数b a ,的值；
（2）判断)(x f 在区间),1[+∞上的单调性，并用定义证明你的结论； (3) 求不等式0)4()42(2
≥-++-f x x f 的解集．
20．(本题满分12分)某机械制造厂生产一种新型产品，生产的固定成本为20000元，每生产一件产品需增加投入成本100元。

根据初步测算，当月产量是x 件时，总收益（单位：元）
为⎪⎩⎪
⎨⎧
∈>∈≤<-=)
,400(,80000),4000(,2
1400)(2N x x N x x x x x f ，利润=总收益－总成本． （1）试求利润y （单位：元）与x （单位：件）的函数关系式； （2）当月产量为多少件时利润最大？最大利润是多少？
21．(本题满分12分)设a 为非负实数，函数()f x x x a a =--.
（1）当4=a 时，画出函数)(x f 的草图，并写出函数)(x f 的单调递增区间； （2）若函数)(x f 有且只有一个零点，求实数a 的取值范围．
22．(本题满分12分)已知函数()x
f x e x =+． （1）求)(x f 在区间]1,0[的值域；
（2）函数()2g x x a =--，若对于任意[]20,1x ∈，总存在]2,1[1-∈x ，使得
12)()(112x e x x f x g -+-≥恒成立，求实数a 的取值范围．
【参考答案】
一．选择题（每题5分）1--12 ABCBB AAADC CD
二．填空题（每题5分）13. 9 14. )21
,0[ 15. )2
7,1(- 16. )4,2()1,0( 三．解答题 17.解：（1）原式=
3323
234=--+）（..........5分 （2）原式=
32412
lg 12
lg 2log 3log 242lg 6.0lg 112lg 32=-+=⨯-+++.......10分
18.解：（1）}52|{<<-=x x A ),5[]2,(+∞--∞=∴ A C U ..........2分
]2,3(--=∴C A C U ）（...................4分
（2）∵A B A = ∴A B ⊆.................6分 当φ=B 时，3
1
,122<
∴+>-a a a ..................8分 当φ≠B 时，依题意得⎪⎩
⎪
⎨⎧->-<++≤-2
25121
22a a a a ，解得231<≤a ..........10分
综上所述，a 的取值范围是)2,(-∞................12分
19.解：（1）由题意，)(x f 为R 上奇函数，则0)0(=f ，得0=b ，再由17
8
)4(=f ，得2=a 。

经检验，当2=a ，0=b 时)(x f 是奇函数。

.................3分 (2) 由（1）得1
2)(2+=x x
x f ，)(x f 在),1[+∞上单调递减。

.................4分 证明如下：
任取)1
[21∞+∈，，x x 且21x x <，则 =++--+=
+-
+=
-)
1)(1(2222121
2)()(2
1221
2
212212
12
212212x x x x x x x x x x x x x f x f
211x x <≤ ，∴121>x x ，021<-x x ，∴0)()(12<-x f x f ，即)()(12x f x f <
)
1)(1()1)((2)
1)(1(22)(22
12
21212
12
21
221122++--=
++-+-x x x x x x x x x x x x x x
∴)(x f 在),1[+∞上单调递减..............8分
（3）∵)(x f 为奇函数，∴）（4)4(f f =--，则原不等式化为
)4()42(2f x x f ≥+-，而由（2）得)(x f 在1≥x 时单调递减，且3422≥+-x x
∴4422≤+-x x ，即022≤-x x ，∴20≤≤x ∴原不等式的解集为]20[，..............12分 20.解：（1）依题意， 当4000≤<x 时200003002
1
100200002140022-+-=---
=x x x x x y ............2分 当400>x 时x x y 100600001002000080000-=--=..............4分 ∴2
1300(2200000400,)60000100(400,)x x x x y x x x ⎧-+-<≤∈⎪=⎨⎪->∈⎩
N N ...............6分
（2）当4000≤<x 时250003002
1
2
+--=）（x y ，∴当25000300max ==y x 时....8分
当400>x 时250002000010060000<<-=x y ，..............10分 ∴当25000300max ==y x 时............12分 21.解：（1）函数)(x f y =的草图如右. ....................4分
由图可知函数)(x f 的增区间为），，（），（∞+∞-42................6分
（2）因为⎩⎨⎧<-+-≥--=)()
()(2
2a x a ax x a x a ax x x f ，而0≥a 则0)(≤-=a a f 。

若0=a 时⎩
⎨⎧<-≥=)0()
0()(2
2x x x x x f 有唯一零点。

符合题意................8分 若0>a 时)(x f 在),[+∞a 上单调递增，0)(<-=a a f ，∴)(x f 在),[+∞a
上有唯一零点。

而)(x f 在)2a
，（∞-上单调递增，在),2
[a a 上单调递减。

由题意，要使)(x f 在R 上有唯一零点，则)(x f 在)a ，（∞-上没有零点，故在)a ，（∞-上)(x f 的最大值
04
)2(2<-=a a a f ，∴40<<a . 综合上述，a 的取值范围是）
，40[...............12分 22.解：（1）易知)(x f 在[0,1]上单调递增，∴1)0()(,1)1()(min max ==+==f x f e f x f ∴值域为]11[+e ，...........4分 （2）设）（212)()(≤≤-+=+-=--x e e e
x x f x K x x x
，
）（102)(≤≤--=x a x x g ，易知a g x g 21)1()(min --==............6分 令x e t =，则],1
[2e e
t ∈ ∵t 2)(+
=t t ψ在]2,1[e
t ∈上递减，在]2[2
e t ，∈上递增. ∴22)2()(min ==ψψt .即22)(min =x K ............9分 由题意知，)()(min min x K x g ≥，即2221≥--a ，∴2
2
21--≤a .............12分。