附录l 张量记法

3．求导数的简记方法 微分算符简记为
∂Φ ∂Φ ∂Φ = Φ '1 ; = Φ '2 ; = Φ '3 ∂x ∂y ∂z
Kronecker符号 4. Kronecker符号
∂σ x ∂τ xy ∂τ xz + + = σ1 j ' j ∂x ∂y ∂z
矢量的点积： 矢量的点积 ： 一个矢量和另一个矢量的点积可以决 定一个标量， 定一个标量，也可以用指标符号标记 记基矢的点积为 δ11 δ12 δ13 1 0 0 e i ·e j = δij δij = δ21 δ22 δ23 = 0 1 0 其中
∂( ) = ( ) ,i ∂xi
梯度可记为
∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∇ ϕ = e1 + e2 + e3 = ϕ ,i e i ∂ x1 ∂x 2 ∂ x3
则散度可记为
∂v1 ∂v2 ∂v3 ∇•v = + + = vi ,i ∂x1 ∂x2 ∂x3
张量的定义： 标量与坐标轴的选取无关，但矢量分 量和应力分量和坐标轴的选取有关，这种与坐标变换 有关，满足坐标变换公式的物理量称为张量。 设新坐标系的新坐标轴 的基矢 e1‘ 、 e2’ 、e3‘对原 基矢e1、e2和e3的变换矩阵 为[lij]= l，矢量为一阶张量， 矢量分量的坐标变换公式为 [vi’] = l [vi] 用指标符号记为
∑a bc
i =1
i i i
≠ ai bi ci
(2)哑标的有效范围仅限于本项。 (2)哑标的有效范围仅限于本项。 哑标的有效范围仅限于本项 (3)多重求和可采用不同的哑标表示 多重求和可采用不同的哑标表示。 (3)多重求和可采用不同的哑标表示。 a ij xi x j (4)哑标可以局部地成对替换。自由指标必须整体换名， (4)哑标可以局部地成对替换。自由指标必须整体换名，即把 哑标可以局部地成对替换 表达式中出现的同名自由指标全部改为同一个新名字， 表达式中出现的同名自由指标全部改为同一个新名字，而不会 影响它的含义。 影响它的含义。
附录Ⅰ： 张量的概念与坐标变换
一.张量 1.定义： 1.定义： 定义 一些矢量的分量（如力）和坐标轴的选取有关， 一些矢量的分量（如力）和坐标轴的选取有关， 这种与坐标变换有关， 这种与坐标变换有关，满足坐标变换公式的物理 量称为张量。 量称为张量。 张量是对矢量的一种描述： 张量是对矢量的一种描述：一个矢量如果能用 =1个分量描述则称为零阶张量，即标量。 30=1个分量描述则称为零阶张量，即标量。一个 个分量描述则称为零阶张量 矢量如果能用3 =3个分量描述则称为一阶张量 个分量描述则称为一阶张量， 矢量如果能用31=3个分量描述则称为一阶张量， 如速度、位移等；一个矢量如果能用3 =9个分量 如速度、位移等；一个矢量如果能用32=9个分量 描述则称为二阶张量，如应力、应变等。 描述则称为二阶张量，如应力、应变等。
v v r c = a × b = a1 b1 v e1 v e2 a2 b2 v e3
当i，j，k有两个或三个相同 ， ， 有两个或三个相同
r a 3 = eijk a j a k e k b3
用置换符号两基矢量的混合积记为(ei×ej）·ek= eijk 用置换符号两基矢量的混合积记为
将求导符号简记为
2. 指标符号 记为x 把 x, y , z 轴，记为 1, x2, x3, 矢量的三个坐标通常可 各轴的基矢量记为e 简记为 xi（i=1，2，3）,各轴的基矢量记为 1,e2,e3,可简 ， ， ） 各轴的基矢量记为 可简 记为e 在此坐标系中的矢量v的分量记为 的分量记为v 记为 i, 在此坐标系中的矢量 的分量记为 1, v2, v3, 可简 记为v 应力分量记为可简记为σ 记为 i, 应力分量记为可简记为 ij. 3. Einstein 求和约定 力 r 在位移 上做功 f在位移 在位移s上做功 3 r w = f ⋅ s = f1s1 + f 2 s2 + f 3s3 = ∑ f i si 最后一个等式在符号∑ 有两个同样的指标i。 最后一个等式在符号∑ 下fi si有两个同样的指标 约定凡在一项中有一对相同的指标， 约定凡在一项中有一对相同的指标，就认为是对这一 指标全程求和，求和符号略去不写： 指标全程求和，求和符号略去不写：
sin θ σ x τ xy cosθ cosθ τ xy σ y sin θ
− sin θ cosθ
应力分量根据切应力互等定理，为对称张量。 当坐标系变化时，应力分量也发生变化，当坐 标系转动到某些位置时，应力分量中切应力为零， 仅有正应力不为零，这些正应力称为主应力。这时 坐标系所指方向为主方向。从变换的角度来说，主 应力是应力矩阵的特征值，主方向是特征向量的方 向。 可参看Mathcad. 平面应力状态的主应力和主方向可按照材料 力学的方法求得，空间应力状态可按照线性代 数的方法。
1 5.置换符号 5.置换符号 eijk = 3 (i − j )( j − k )(k − i ) a = aij = eijk a1i a2 j a3k
当i, j, k为偶置换 为偶置换 当i, j, k为奇置换 为奇置换
（1）行列式
r r r v （1）矢量的叉积 a = ai ei ; b = b j e j
v = lij v j
' i
应力分量为二阶张量，应力分量的坐标变换公式为 σ ' = lσ l T 用指标符号记为 σ i ' j ' = li 'iσ ij l j ' j 以平面应力状态为例， 设新坐标系由原坐标系逆 时针转动θ而成，新坐标轴 的基矢e 1' 、e2' 对原基矢 e1 、e2 的过渡矩阵为式 [lij]=l，
cosθ l= − sin θ sin θ cosθ
则坐标变换公式 [σi'j']=l[σij]lT
cosθ l= − sin θ
sin θ cosθ Nhomakorabea其展开形式为
σ x ' τ x ' y ' cosθ τ = − sin θ x'y' σ y'
i =1
w = ∑ f i si = f i si
i =1
3
求和所得到的结果，不再含有这一指标，这一指 求和所得到的结果，不再含有这一指标， 标换为其它的指标也不会影响其结果， 标换为其它的指标也不会影响其结果，这一指标称为 哑标。但重复次数超过两次则不再具有求和意义。 哑标。但重复次数超过两次则不再具有求和意义。 一项中有其它符号的指标，通常有泛指的意义，称 一项中有其它符号的指标，通常有泛指的意义， 自由标。 为自由标。
应特别强调以下几点： 应特别强调以下几点： (1)对于不只重复一次的指标，求和约定无效，如要表示求和， (1)对于不只重复一次的指标，求和约定无效，如要表示求和， 对于不只重复一次的指标 仍需借助求和符。当自由指标恰好在同一项中重复出现一次时， 仍需借助求和符。当自由指标恰好在同一项中重复出现一次时， 为避免混淆，应声明对该指标不求和。 为避免混淆，应声明对该指标不求和。 3
δ31 δ32 δ33 0 0 1
具有如下性质： 具有如下性质： (1)δ ii = 3; ( 2 ) δ ij Ai = A j ;
( 3) a ik δ kj = a ij
σ ij − σni = σ ij − σδ ij n j = (σ ij − σδ ij )n j