专题复习 存在性问题

专题复习 存在性问题
一【 能否构成等腰三角形】
1．（2013•云南）如图，四边形ABCD 是等腰梯形，下底AB 在x 轴上，点D 在y 轴上，直线AC 与y 轴交于点E （0，1），点C 的坐标为（2，3）．
（1）求A 、D 两点的坐标；
（2）求经过A 、D 、C 三点的抛物线的函数关系式；
（3）在y 轴上是否在点P ，使△ACP 是等腰三角形？若存在，请求出满足条件的所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
2（2013•铜仁地区）如图，已知直线y=3x ﹣3分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，
抛物线y=x 2
+bx+c 经过A 、B 两点，点C 是抛物线与x 轴的另一个交点（与A 点不重合）．
（1）求抛物线的解析式； （2）求△ABC 的面积；
（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M ，使△ABM 为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出点M 的坐标．
3（2013•湘西州）如图，已知抛物线y =﹣x 2+bx +4与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，若已知A 点的坐标为A （﹣2，0）．
（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；
（2）求点C 的坐标，连接AC 、BC 并求线段BC 所在直线的解析式； （3）试判断△AOC 与△COB 是否相似？并说明理由；
（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△ACQ 为等腰三角形？若不存在，求出符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由．
二【 能否构成直角三角形】
4、如图，抛物线21222
y x x =-
++与x 轴交于A B 、两点，与y 轴交于C 点．（1）求A B C 、、三点的坐标；（2）证明ABC △为直角三角形；（3）在抛物线上除C 点外，是否还存在另外
一个点P ，使ABP △是直角三角形，若存在，请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．
5（2013•抚顺）如图1，已知直线y=x+3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线y=-x 2+bx+c 经过A 、B 两点，与x 轴交于另一个点C ，对称轴与直线AB 交于点E ，抛物线顶点为D ． （1）求抛物线的解析式；
（2）在第三象限内，F 为抛物线上一点，以A 、E 、F 为顶点的三角形面积为3，求点F 的
坐标； （3）点P 从点D 出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t 秒，当t 为何值时，以P 、B 、C 为顶点的三角形是直角三角形？直接写出所有符合条件的t 值．
6．（2013•攀枝花）如图，抛物线y=ax 2
+bx+c 经过点A （-3，0），B （1.0），C （0，-3）． （1）求抛物线的解析式；
（2）若点P 为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC 的面积为S ，求S 的最大值并求出此时点P 的坐标；
（3）设抛物线的顶点为D ，DE ⊥x 轴于点E ，在y 轴上是否存在点M ，使得△ADM 是直角三角形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
7（2013•绵阳）如图，二次函数y =ax 2+bx +c 的图象的顶点C 的坐标为（0，-2），交x 轴于A 、B 两点，其中A （-1，0），直线l ：x
=
m （m ＞1）与x 轴交于D 。

（1）求二次函数的解析式和B 的坐标；
（2）在直线l 上找点P （P 在第一象限），使得以P 、D 、B 为顶点的三角形与以B 、C 、O 为顶点的三角形相似，求点P 的坐标（用含m 的代数式表示）；
（3）在（2）成立的条件下，在抛物线上是否存在第一象限内的点Q 角形？如果存在，请求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由。

三【能否构成相似三角形】
8．（2013•营口）如图，抛物线与x轴交于A（1，0）、B（-3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），设抛物线的顶点为D．
（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标．
（2）试判断△BCD的形状，并说明理由．
（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD
相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
9．（2013•黔西南州）如图，已知抛物线经过A（-2，0），B（-3，3）及原
点O，顶点为C
（1）求抛物线的函数解析式．
（2）设点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以AO为边的四边形AODE是平行四边形，求点D的坐标．
（3）P是抛物线上第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P，M，A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
10．（2013•凉山州）如图，抛物线y=ax2-2ax+c（a≠0）交x轴于A、B两点，A点坐标为（3，0），与y 轴交于点C（0，4），以OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴l在边OA（不包括O、A两点）上平行移动，分别交x轴于点E，交CD于点F，交AC于点M，交抛物线于点P，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示PM的长；
（3）在（2）的条件下，连结PC，则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P、C、F 为顶点的三角形和△AEM相似？若存在，求出此时m的值，并直接判断△PCM的形状；若不存在，请说明理由．
11（2013•毕节地区）如图，抛物线y=ax2+b与x轴交于点A、B，且A点的坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，1）．
（1）求抛物线的解析式，并求出点B 坐标；
（2）过点B 作BD ∥CA 交抛物线于点D ，连接BC 、CA 、AD ，求四边形ABCD 的周长；（结果保留根号）
（3）在x 轴上方的抛物线上是否存在点P ，过点P 作PE 垂直于x 轴，垂足为点E ，使以B 、P 、E 为顶点的三角形与△CBD 相似？若存在请求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．
30．（2013•三明）如图，△ABC 的顶点坐标分别为A （-6，0），B （4，0），C （0，
12．（2013•盘锦）如图，抛物线y=ax 2+bx+3与x 轴相交于点A （-1，0）、B （3，0），与y 轴相交于点C ，点P 为线段OB 上的动点（不与O 、B 重合），过点P 垂直于x 轴的直线与抛物线及线段BC 分别交于点E 、F ，点D 在y 轴正半轴上，OD=2，连接DE 、OF ． （1）求抛物线的解析式；
（2）当四边形ODEF 是平行四边形时，求点P 的坐标；
（3）过点A 的直线将（2）中的平行四边形ODEF 分成面积相等的两部分，求这条直线的解析式．（不必说明平分平行四边形面积的理由）
四【 能否构成特殊四边形】
13．（2013•遂宁）如图，抛物线
214y x bx c =-++与x 轴交于点A （2，0），交y 轴于点B （0，
5
2
）．直线
3
2
y kx =-
过点A 与y 轴交于点C ，与抛物线的另一个交点是D ． （1）求抛物线
214y x bx c =-++与直线3
2
y kx =-的解析式；
（2）设点P 是直线AD 上方的抛物线上一动点（不与点A 、D 重合），过点P 作 y 轴的平行线，交直线AD 于点M ，作DE ⊥y 轴于点E ．探究：是否存在这样的点P ，使四边形PMEC 是平行四边形？若存在请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，作PN ⊥AD 于点N ，设△PMN 的周长为l ，点P 的横坐标为x ，求l 与x 的函数关系式，并求出l 的最大值．
14．（2013•安顺）如图，已知抛物线与x 轴交于A （-1，0），B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，3）． （1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为D ，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P ，使得△PDC 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点M 是抛物线上一点，以B ，C ，D ，M 为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M 的坐标．
15．（2013•十堰）已知抛物线y=x 2
-2x+c 与x 轴交于A ．B 两点，与y 轴交于C 点，抛物线的顶点为D 点，点A 的坐标为（-1，0）． （1）求D 点的坐标；
（2）如图1，连接AC ，BD 并延长交于点E ，求∠E 的度数； （3）如图2，已知点P （-4，0），点Q 在x 轴下方的抛物线上，直线PQ 交线段AC 于点M ，当∠PMA=∠E 时，求点Q 的坐标．
16（2013•黄石）如图1所示，已知直线
y kx m =+与x 轴、y 轴分别交于A 、C 两点，抛物线2y x bx c
=-++经过A 、C 两点，点B 是抛物线与x 轴的另一个交点，当12x =-
时，y 取最大值25
4
. （1）求抛物线和直线的解析式；
（2）设点P 是直线AC 上一点，且S ABP ：S BPC 1:3=，求点P 的坐标；
（3）若直线1
2
y x a =
+与（1）中所求的抛物线交于M 、N 两点，问
①是否存在a 的值，使得090MON ∠
=？若存在，求出a ②猜想当090MON ∠>时，a （参考公式：在平面直角坐标系中，若11(,)M x y ，22(,)N x y
17（2013•潜江如图，已知抛物线42-+=bx ax y 经过A （-8，0），B （2，0）两点，直线4-=x 交
x
轴于点C ，交抛物线于点D . （1）求该抛物线的解析式；
（2）点P 在抛物线上，点E 在直线4-=x 上，若以A ，O ，E ，P 为顶点的四边形是平行四边形，求点P
图1
的坐标；
（3）若B ，D ，C 三点到同一条直线的距离分别是1d ，2d ，3d ，问是否存在直线l ，使2
3
21d d d =
=？若存在，请直接写出3d 的值；若不存在，请说明理由.。