8-空间问题解答.

（2）最大位移发生在边界上：
wmax

w z0

1 1 E 1
2



qh

1 2
gh2

（3）侧压系数
x y z z 1
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13
半无限体受法向集中力——位移解法 布希涅斯克解答
半无限体受法向分布力——位移解法 布希涅斯克解答推广
yz

1




2 z x2

2 x z 2




2 x2

2
z 2


2 1

2 zx zx

1


2 x y 2

2 y x2



2 y 2


1 2

w y

v z

,


zx

1 2
u z

w x

,
xy

1 2

v x

u y

利用上面三个红色的式子，消去位移
2 y
z2

2 z
y2

3v yz2

3w zy2

2 yz

v z
E
1
1 2



x

;

y

E
1
1 2

y

;
z

w z
代 入
z

E
1
1 2



z

;

yz

1
2

w y

v z
,
xy

E
2 1
xy ;
zx

1 u 2 z
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17
§8.3 按应力求解空间问题
将物理方程（7－12）带入相容方程（8－10）和（8－11）
1



2 y z 2

2 z y 2




2 z 2

2 y 2


2 1
2 yz
1

2


u x

x

E 1


1

2


v y

x

E 1


1

2


w z

yz

E
2
1




w y

v
z

zx

E
2 1


u z

w x

xy

E
2 1
x

yz
x

zx
y

xy
z


2 2 x
yz
y

zx
y

xy
z

yz
x


2 2 y
zx
z

xy
z

yz
x

xz
y


2
2 z
xy
（8－11）
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14
§8.3 按应力求解空间问题
按应力求解空间问题
取应力分量为基本未知函数。对空间问题来说，就是要
从15个基本方程中消去位移分量和变形分量，得出只包含6
个应力分量的方程。
从几何方程中消去位移分量
x

u ， x
y

v ， y
z

w z

yz
2
q
B
2E 1

h


g

铅直位移：
w


1
2E
1 2 1

q
h

z


g
2
h2 z2

（h）
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12
§8.2 半空间体受重力及均布压力
讨论
（1）应力分量和位移分量完全确定，并且满足所有 条件－－正确；

w y


2 yz
yz
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15
§8.3 按应力求解空间问题
同理得到其它两个方程
2 y
z 2

2 z
y 2

2 yz
yz
2 z
x2

2 x
z 2

2 zx
zx
2 x 2 y 2 xy

0
其中：
2

2 x2

2 y 2

2 z 2
拉普拉斯算子
（8－2）
位移边界条件：
u u, v v, w w
s
s
s
（7－9）
（8－2）和（7－9）就是按位移求解空间问题的一般提法
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6
§8.1 按位移求解空间问题
同理得到按位移求解空间轴对称问题时的基本微分方程
z
再将（8－3）代入空间轴对称基本微分方程
E
2 1
1



1

2

2u

u 2

f

0
E
2 1
1



1

2
z
2uz



fz

0
（8－4）
按位移求解空间轴对称问题的基本微分方程
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对空间问题来说，这就要从15个基本方程中消 去应力分量和变形分量，得出包含3个位移分量的 微分方程。
将几何方程代入物理方程得出用位移分量表示 的应力分量的弹性方程
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3
§8.1 按位移求解空间问题
几何方程
x

u ， x
y

v ， y
物理方程
x


u y

（7－8）
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§8.3 按应力求解空间问题
yz 2w 2v , zx 2u 2w , xy 2v 2u
x yx zx y zy xy z xz yz


dw dz


1
1 E 1
2



g

z

A
w


1

1 2 2E 1

g

z

A2

B
（c） （d）
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10
§8.2 半空间体受重力及均布压力


dw dz


1
1 E 1
2

7
§8.1 按位移求解空间问题
按位移求解空间问题的基本步骤
（1）根据实际问题，设位移分量； （2）使位移分量满足按位移求解的基本微分方程（代入微分方程）； （3）求解微分方程； （4）求出含参数的应力表达式； （5）根据边界条件（应力、位移）求出参数 （6）整理结果。
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第八章 空间问题的解答
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1
主要内容
§8.1 按位移求解空间问题 §8.2 半空间体受重力及均布压力 §8.3 按应力求解空间问题 §8.4 杆件弹性扭转
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2
§8.1 按位移求解空间问题
按位移求解空间问题
取位移分量为基本未知函数，并通过消元法， 导出弹性体区域内求解位移的基本微分方程和相 应的边界条件。
（e）
（5）根据边界条件（应力、位移）求出参数
考察应力边界条件（根据（7－5）得到） 将边界条件代入（e）
z
z0

q
A q
g
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§8.2 半空间体受重力及均布压力
（6）结果整理与讨论
应力：
x

y

1
q

gz,
z g q gz




v x

u y

其中： u v w x y z
（8－1） 代 入
平衡微分方程
x
x

yx
y

zx
z

fx

0
xy
x

y
y

zy
z

fy
0
xz
x

yz
y

z
z

fz
0
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yz zx xy 0
铅直位移：
w


1
1 2 2E 1

g

z

q
g
2


B
（f） （g）
要确定B必须利用位移边界条件，假定在距边界h处没有位移
则边界条件为：
w zh

0
带入（g）求出B
1 1 2 g
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5
§8.1 按位移求解空间问题
按位移求解空间问题的基本微分方程
E 1
2 1




1
2
x

2u



fx

0
E 1
2 1




1
2
y

2v



fy

0
E 1
2 1




1
2
z

2
w



fz
zy x


2 zx
1

y




1

z

xy z

yz x

zx y


2 xy
1
z




（c） （d）
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w x

,
xy

1 2

v x

u y

yz

E
2 1

yz ;
zx

E
2 1
zx ;
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4
§8.1 按位移求解空间问题
用位移分量表示的应力分量的弹性方程
x

E 1


2 x2


2 1

2 xy xy

1

x

yz x

zx y

xy z


2 yz
1
x



1

y

zx y

xy z

（2）＋（3）－（1）得
yz zx xy 2 2u
x y z yz
上式对 x 再求导
x


yz
x

zx
y

xy
z


x
2u

2
yz


2 2 x
yz
同理，得到其余两式，组成另外一组相容方程


g

z

A
w


1
1 2 2E 1

g

z

A2

B
（4）求出含参数的应力表达式；
x

E 1


1
2


u x

yz

E
2 1




w y

v z

x

E 1


1
2


v y
zx
d 2w
z dz2
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q
0
g
x
h
z 图：8－1
9
§8.2 半空间体受重力及均布压力
（2）代入基本微分方程（8－2），并化简 前两式自动满足；第三式为：
E
2 1

1

1

2
d 2w dz 2

d 2w dz 2


g

0
将几何方程代入物理方程，得出弹性方程


E 1


1

2


u
,


E 1


1

2


u

z
E 1

1
2


uz z

,

z

E 1


1

2


u

（8－3）
其中： u u uz
8
§8.2 半空间体受重力及均布压力
问题描述：
如图，密度 ，受均布压力 q
体力分量： fx 0, f y 0, fz g,
（1）按位移求解，试假设位移分量
u 0, v 0, w wz
u v w
x y z
0,
x
0,
y
E
2 1

1

1
2
x


2u



fx

0
E
2 1
1