高中数学必修一(人教版)《3.1.2 第二课时 分段函数》课件

题型一 分段函数求值问题
【学透用活】
[典例 1]
已知函数 f(x)＝xx＋ 2＋12，x，x≤－－2<2x，<2， 2x－1，x≥2.
(1)求 f(－5)，f(－ 3)，ff－52的值； (2)若 f(a)＝3，求实数 a 的值； (3)若 f(x)>2x，求 x 的取值范围．
[解] (1)由－5∈(－∞，－2]，－ 3∈(－2,2)，－52∈(－∞，－2]， 知 f(－5)＝－5＋1＝－4，
【课堂思维激活】 一、综合性——强调融会贯通 1．下面是解“已知实数 a≠0，函数 f(x)＝2－x＋x－a，2ax，＜x1≥，1. 若 f(1－a)＝f(1＋
a)，求 a 的值”的过程：
解：由 f(1－a)＝f(1＋a)，得 2(1－a)＋a＝－(1＋a)－2a，即 2－a＝－1－ 3a，∴a＝－32. 上述解题过程是否正确？请说明理由．
[解] 如图，过点 A，D 分别作 AG⊥BC，DH⊥BC， 垂足分别是 G，H.
因为四边形 ABCD 是等腰梯形，底角为 45°，AB＝ 2 2 cm，所以 BG＝AG＝DH＝HC＝2 cm.又 BC＝7 cm，所以 AD＝GH＝3 cm.
①当点 F 在 BG 上，即 x∈[0,2]时，y＝12x2； ②当点 F 在 GH 上，即 x∈(2,5]时，y＝x＋x2－2×2＝2x－2；
(2)问：该企业选择哪家俱乐部比较合算？为什么？
解：(1)由题意得 f(x)＝6x，x∈[12,30]， g(x)＝920x， ＋1520≤ ，x2≤ 0＜20x， ≤30. (2)①当 12≤x≤20 时，令 6x＝90，解得 x＝15. 即当 12≤x＜15 时，f(x)＜g(x)；当 x＝15 时，f(x)＝g(x)；当 15＜x≤20 时，f(x) ＞g(x)． ②当 20＜x≤30 时，f(x)＞g(x)． 综上，当 12≤x＜15 时，选 A 俱乐部合算；当 x＝15 时，两家俱乐部一样合算； 当 15＜x≤30 时，选 B 俱乐部合算．
答案：(－3,1)∪(3，＋∞)
题型二 分段函数的图象 【学透用活】
[典例 2] (1)已知 f(x)的图象如图所示，求 f(x)的解析式． (2)已知函数 f(x)＝1＋|x|－2 x(－2<x≤2)． ①用分段函数的形式表示函数 f(x)； ②画出函数 f(x)的图象； ③写出函数 f(x)的值域．
3．函数 y＝x－2，2，x＞x＜0，0 的定义域为__________，值域为____________． 答案：(－∞，0)∪(0，＋∞) {－2}∪(0，＋∞)
4．已知函数 f(x)＝x＋1 1，x<1且x≠－1， 则 f(2)＝________. x－1，x>1，
解析：f(2)＝ 2－1＝1. 答案：1
第二课时 分段函数
(一)教材梳理填空 分段函数的定义及本质： (1)定义：分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着
不同的 对应关系 的函数． (2)本质：分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段上
“定义域”的 并集 ，其值域是各段上“值域”的_并__集__.
[微提醒] (1)分段函数是一个函数而不是几个函数．解决分段函数问题时，要先确定自 变量的取值在哪个区间，从而选取相应的对应关系． (2)作分段函数的图象时，应根据不同定义域上的解析式分别作出，再将它们 组合在一起得到整个分段函数的图象． (3)分段函数在书写时要用“{”把各段函数合并写成一个函数的形式，并且指 明各段函数自变量的取值范围．
图象如图所示．
[方法技巧] 在写分段函数的解析式时，要注意各段自变量取值集合的交集为∅，当前 后两段图象连续时，相连的区间端点可在这两段的任意一段上，不要漏掉端 点值即可．
【对点练清】
某市有A，B两家羽毛球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同， A俱乐部每块场地每小时收费6元；B俱乐部按月计费，一个月中20小时以内 (含20小时)每块场地收费90元，超过20小时的部分，每块场地每小时2元．某 企业准备下个月从这两家俱乐部中的一家租用一块场地开展活动，其活动时 间不少于12小时，也不超过30小时． (1)设在A俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为f(x)元(12≤x≤30)，在B 俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为g(x)元(12≤x≤30)，试求fx2－x－x－1，2，x≤－－1＜1，x≤2， x－2，x＞2
的图象．
解：画出一次函数 y＝－x－1 的图象，取(－∞，－1]上的一段；画出二次 函数 y＝x2－x－2 的图象，取(－1,2]上的一段；画出一次函数 y＝x－2 的图 象，取(2，＋∞)上的一段，如图所示．
[方法技巧] 1．由分段函数的图象确定函数解析式的步骤
2．作分段函数图象的注意点 作分段函数的图象时，定义域内各分界点处的取值情况决定着图象在分界点 处的断开或连接，特别要注意端点处是实心点还是空心圈．
【对点练清】 1.已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式是________．
解析：由图可知，图象是由两条线段组成，当－1≤x<0 时，
解析：当 x≥1 时，y＝2(x－1)－3x＝－x－2； 当 0≤x＜1 时，y＝－2(x－1)－3x＝－5x＋2； 当 x＜0 时，y＝－2(x－1)＋3x＝x＋2.
－x－2，x≥1， 故 y＝－5x＋2，0≤x＜1，
x＋2，x＜0. 根据函数解析式作出函数图象，如图所示． 由图象可以看出，函数的值域为{y|y≤2}． 答案：{y|y≤2}
题型三 分段函数的实际应用 【学透用活】
[典例 3] 如图所示，已知底角为 45°的等腰梯形 ABCD， 底边 BC 长为 7 cm，腰长为 2 2 cm，当垂直于底边 BC(垂 足为 F)的直线 l 从左至右移动(与梯形 ABCD 有公共点)时， 直线 l 把梯形分成两部分，令 BF＝x，试写出左边部分的面积 y 关于 x 的函数 解析式，并画出大致图象．
设 f(x)＝ax＋b，将(－1,0)，(0,1)代入解析式，则－ b＝a＋ 1. b＝0，
∴ab＝ ＝11， . 当 0≤x≤1 时，设 f(x)＝kx，将(1，－1)代入，
则 k＝－1.
∴f(x)＝x－＋x1，，0－≤1x≤≤x1<. 0，
答案：f(x)＝x－＋x1，，0－≤1x≤≤x1<0，
2．设x∈R，则函数y＝2|x－1|－3|x|的值域为_______．
二、应用性——强调学以致用 2．共享单车是城市慢行系统的一种模式创新，对于解决民众出行“最后一公
里”的问题特别见效，由于停取方便、租用价格低廉，各色共享单车受到 人们的热捧．某自行车厂为共享单车公司生产新样式的单车，已知生产新 样式单车的固定成本为 20 000 元，每生产一件新样式单车需要增加投入 100 元．根据初步测算，自行车厂的总收益(单位：元)满足分段函数 h(x)，其中 h(x)＝400x－12x2，0＜x≤400， x 是新样式单车的月产量(单位：件)，利
(2)当 0<x≤400 时，y＝－12(x－300)2＋25 000， 则当 x＝300 时，ymax＝25 000； 当 x＞400 时，y＝60 000－100x＜60 000－100×400＝20 000， ∴当月产量 x＝300 件时，自行车厂的利润最大，最大利润为 25 000 元．
[解] (1)当 0≤x≤1 时，f(x)＝－1； 当 1<x≤2 时，设 f(x)＝kx＋b(k≠0)， 则2kk＋＋bb＝＝－0，1， 解得kb＝ ＝－ 1，2， 此时 f(x)＝x－2. 综上，f(x)＝－ x－1， 2，0≤ 1<xx≤≤12，.
(2)①当 0≤x≤2 时，f(x)＝1＋x－2 x＝1， 当－2<x<0 时，f(x)＝1＋－x2－x＝1－x. 所以 f(x)＝11， －0x≤ ，x－≤22<，x<0. ②函数 f(x)的图象如图所示． ③由②知，f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3)．
[方法技巧] 1．求分段函数函数值的方法 (1)先确定要求值的自变量属于哪个区间． (2)然后代入该区间对应的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形 式时，应从内到外依次求值． 2．已知函数值求字母取值的步骤 (1)先对字母的取值范围分类讨论． (2)然后代入到不同的解析式中． (3)通过解方程求出字母的值． (4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)分段函数由几个函数构成．
()
(2)分段函数有多个定义域．
()
(3)函数的图象一定是其定义域上的一条连续不断的曲线．
()
(4)函数f(x)＝|x|可以用分段函数表示．
()
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
2．f(x)＝|x－1|的图象是
()
解析：∵f(x)＝|x－1|＝x1－ －1x， ，xx≥ ＜11， ， 当 x＝1 时，f(1)＝0，可排除 A、C. 又 x＝－1 时，f(－1)＝2，排除 D. 答案：B
80 000，x＞400， 润＝总收益－总成本．
(1)试将自行车厂的利润y元表示为月产量x的函数． (2)当月产量为多少件时，自行车厂的利润最大？最大利润是多少？ 解：(1)依题设，总成本为 20 000＋100x，
则 y＝－12x2＋300x－20 000，0＜x≤400，且x∈N ， 60 000－100x，x＞400，且x∈N .
f(－ 3)＝(－ 3)2＋2×(－ 3)＝3－2 3. ∵f－52＝－52＋1＝－32，且－2<－32<2， ∴ff－52＝f－32＝－322＋2×－32＝94－3＝－34. (2)当 a≤－2 时，a＋1＝3，即 a＝2>－2，不合题意，舍去； 当－2<a<2 时，a2＋2a＝3，即 a2＋2a－3＝0. ∴(a－1)(a＋3)＝0，得 a＝1 或 a＝－3. ∵1∈(－2,2)，－3∉(－2,2)，∴a＝1 符合题意；
提示：不正确．含字母的自变量范围不确定，应分类讨论． 正解如下： 当 a＞0 时，1－a＜1,1＋a＞1，f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a，f(1＋a)＝－(1＋a) －2a＝－1－3a， 由 2－a＝－1－3a，得 a＝－32＜0，不合题意，舍去； 同理，当 a＜0 时，由－(1－a)－2a＝2(1＋a)＋a， 得 a＝－34，符合题意．综上可知，a＝－34.
【对点练清】
1．设 f(x)＝xx－ 2，2x，＜x0≥，0， 则 f(f(－2))＝________. 解析：∵f(－2)＝(－2)2＝4，∴f(f(－2))＝f(4)＝4－2＝2.
答案：2
x2＋2，x≤2，
2．函数 f(x)＝45x，x>2.
若 f(x0)＝8，则 x0＝________.
解析：当 x0≤2 时，f(x0)＝x20＋2＝8，即 x20＝6，∴x0＝－ 6或 x0＝ 6(舍去)；
当 x0>2 时，f(x0)＝45x0＝8，∴x0＝10.综上可知，x0＝－ 6或 x0＝10. 答案：－ 6或 10
3．已知函数 f(x)＝xx2＋－64，x＋x＜6，0，x≥0， 则不等式 f(x)＞f(1)的解集是________． 解析：作出函数 f(x)的图象如图所示，令 f(x)＝f(1)， 得 x＝－3,1,3，所以当 f(x)＞f(1)时，必有 x∈(－3,1) ∪(3，＋∞)．
当a≥2时，2a－1＝3，即a＝2符合题意． 综上可得，当f(a)＝3时，a＝1或a＝2. (3)当x≤－2时，f(x)>2x可化为x＋1>2x， 即x<1，所以x≤－2； 当－2<x<2时，f(x)>2x可化为x2＋2x>2x， 即x≠0，所以－2<x<0或0＜x＜2； 当x≥2时，f(x)>2x可化为2x－1>2x，则x∈∅. 综上可得，x的取值范围是{x|x＜0或0＜x＜2}．
③当点 F 在 HC 上，即 x∈(5,7]时，y＝S 五边形 ABFED＝S 梯形 ABCD－SRt△CEF＝12 (7＋3)×2－12(7－x)2＝－12(x－7)2＋10.
综合①②③，得函数的解析式为
12x2，x∈[0，2]， y＝2x－2，x∈2，5]，
－12x－72＋10，x∈5，7].