探索与发现 牛顿法 用导数方法求方程的近似解定ppt课件

1.375
4
(1.25,1.375)
1.3125
5
(1.3125,1.375)
1.34375
6
(1.34375,1.375)
1.359375
7
(1.359375,1.375)
1.3671875
8
(1.3671875,1.375)
1.37109375
9
(1.3671875,1.37109375)
1.36914625
z x1 x0 0.392 x0
z x2 x1 0.335 x1
z x3 x2 0.143 x2
x4
x3
f (x3 ) f (x3 )
1.3688121321
5
z x4 x3 0.012 x3
此时z z0
所以方程的一个近似解为x 1.36881213215
此时z z0
z x1 x0 0.392 x0
x2
x1
f ( x1 ) f ( x1 )
10.72380583
z x2 x1 0.00032 x1
此时z z0
所以方程的一个近似解为10.72380583
所以方程的一个近似解为10.7238053
例2、 用牛顿法求函数 f (x) x 12的零点 精度z0 0.001
做到z

z
为止
0
SUCCESS
THANK YOU
2019/5/5
牛顿法公式
: 如果f
x ' n 1

0, 那么,
xn
xn1
f f
xn1 x '
n 1
.
对于给定的精度z0 0.02,我们可以根据上述公式,
求出方程x3 2x2 10x 20 0的近似解。 取x0 4
No
z z0
Yes
x1为 方 程 的 近 似 解
求解结束
例1、 用牛顿法求 115的近似值， 精度z0 0.001
解： 令f (x) x2 115 则f x 2x
取初始值 x0 10
取初始值 x0 11
x1
x0
f (x0 ) f (x0 )
10.75
x1
y 如何求r
f x x3 2x2 10 x 20
Or
x3 x2 x1
x0 x
y
Or x3 x2 x1
x0 x
接下来的任务是计算 xn .我们知道 , f x在点x0处切 线的斜率是 f ' x0 ,因此切线方程为 y f x0 f ' x0 x x0 .
解： 令f (x) x3 2x 2 10 x 20则f (x) 3x 2 4x 10
x1

x0

f (x0 ) f (x0 )
2.4324
x2

x1
f (x1 ) f (x1 )
1.6175
x3
x2

f (x2 ) f (x2 )
1.385689135
探索与发现 牛顿法—用导数方法求方程的近似解
巍山高中 楼永亮
用二分法求出方程 x3 2x2 10 x 20 0在区间1,2内的一个近似解 。
f(1)=-7
f(2)=16
精确度 0.001
区间
中点值
中点函数近似值
1
（1,2）
1.5
2
(1,1.5)
1.25
3
(1.25,1.5)
10
(1.3671875,1.36914625)
1.368166875
11
(1.368166875,1.36914625) 1.368656563
2.875 -2.422 0.1308 -1.1688 -0.5248 -0.1985 -0.0342 0.0483 1.0071 -0.013
二分法 优点：算法简单，容易理解。
解： f (x) 2x 2
x1

x0

f (x0 ) f (x0 )
1.5
z x1 x0 0.25 x0
取初始值 x0 2 x6 1.015625 z 0.01515 x7 1.0078125 z 0.00769
缺点：速度太慢，浪Hale Waihona Puke 时间，二分法不能求“不变号根”
y
4 2
01
5
x
-2
-4
y
x
o
人们在很早以前就开 始探索高次方程的数
fx x3 2x2 10x 20
值求解问题.牛顿(Iss
y
ac Newton,1642 17
27)在《 流数法》 一书中,
给出了高次代数方程
r x
的一种数值解法 牛
如果f ' x0 0,那么,切线与x轴的交点是
x1

x0

f x0 f ' x0

.
我们知道, f x在点xn1处切
线的斜率是f ' xn1 ,
y
因此切线方程为
y f xn1 f ' xn1 x xn1 .
如果f ' xn1 0, 那么,
顿法.这种求方程根的方法, 在科学界已被广泛采用. 下面,我们再看如何求方程 x3 2x2 10 x 20 0的根.
从函数的观点看 ,方程 x3 2x 2 10 x 20 0的根就
是函数f x x3 2x2 10 x 20的零点.从图形上看 ,
一个函数的零点 r就是f x的图象与 x轴的交点横坐标 。
切线与 x轴的交点是
r xn Xn-1 x
xn
xn1
f xn1 f ' xn1
.
牛顿法公式: 如果f ' xn1 0, 那么
xn
xn1
f xn1 f ' xn1
.
y
Or x3 x2 x1
x0 x
精度z xn xn1 xn1
下面, 我们给出牛顿法的算法框图.同学们可以根据
它编一个程序, 让计算机帮你完成计算任务.
给定精度z0和初始值
根 据 牛 顿 法 公 式 计 算 当前 值
x1

x0

x
3 0
2x20 10x0 20 3x20 4x0 10
令x0 x1
计算当前精度: z x1 x0 x0
x0
f (x0 ) f (x0 )
10.7272
z x1 x0 0.075 x0
x2
x1
f ( x1 ) f ( x1 )
10.723877
z x2 x1 0.00243 x1
x3

x2

f (x2 ) f (x2 )
10.7238053
z x3 x2 0.0000067 x2