线性代数-线性方程组课件

行最简形矩阵
经过初等行变换，行阶梯形矩阵还可以进一 步化为行最简形矩阵，其特点是：非零行的第一 个非零元为1，且这些非零元所在列的其它元素都 为0． 例如
1 0 0 0
4 1 10 1 0
线性方程组有解判别定理
（导学127页例7）
例题3
三、用初等行变换解线性方程组并写出线性方程组的解（非齐次写出 唯一解或一般解；齐次写出一般解）
•
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例题1
例题2
例题3
行阶梯形矩阵
经过初等行变换，可把矩阵化为行阶梯形矩 阵，其特点是：可画出一条阶梯线，线的下方全 为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的 行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行） 后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第 一个非零元． 1 1 2 1 4 例如 0 1 1 1 0 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0
• ① ② • a. b. c.
线性方程组解的情况判定
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一、齐次线性方程组解的判定及其解法 内容讲解
二、非齐次线性方程组解的判定（用秩来刻画）内容讲解
__ __
{
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AX b有 解 秩A 秩 A AX b无 解 秩A 秩 A
例题1 例题2
{
AX b有唯一解秩A秩 A n AX b有无穷多解 秩A秩 A n
n元线性方程组的矩阵表示形式
•
2、
a11 a12 a1n x1 b1 a 21 a 22 a 2 n x 2 b2 a m 1 a m 2 a mn x n bn 简写为 b Ax
b1 b 常数矩阵 2 b bn
a11 a12 a1n x1 • 1、 a 21 a 22 a 2 n x 2 0 a m 1 a m 2 a mn x n 简写为 0 Ax
(1 )
记非齐次线性方程组
• 2、
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 , a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 , a m 1 x1 a m 2 x 2 a mn x n bm ,
•
（3）从阶梯形矩阵的最后一行开始，用逐步回代的方法求解，所得的 解即为线性方程组AX=B的解
例题1 （有唯一解 ） 例题2 （无解） 例题3 （有无穷多解） 阶梯形矩阵如果具有下列特点，则称为行简化阶梯形矩 ：（见下表） 各个非0行的第一个不为0的元素（简称为首非0元）都是1； 所有的首非0元所在列的其余元素都是0 无穷多解的相关概念： 自由未知量：在行简化阶梯形矩 中，首非0元所在列对应的变量 一般解：用自由未知量表示其它未知量的解的表达式 特解：在一般解中，自由未知量都取零植，所得方程组的解
• 3、
a11 a12 a1n b1 ___ a a 22 a 2 n b2 21 增 广 矩 阵 A a m 1 a m 2 a mn bn
例题1 例题2
消元法解线性方程组
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• •
消元法步骤：
（1）用增广矩阵 A 表示线性方程组AX=B （2）将 A 用初等行变换化成阶梯形
• 重点：解非齐次（齐次）线性方程组（有参数或无参数） • 难点：带参数的线性方程组解的情况判定
• 考试知识点：解非齐次（齐次）线性方程组（无参数），含有参数的非齐 次（齐次）线性方程组解的判定（并在有解时求其解），解的判定定理。
• 内容结构
一、 n元线性方程组的表达
记齐次线性方程组
• 1、
a11 x1 a12 x 2 a1n x n 0 , a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n 0 , a m 1 x1 a m 2 x 2 a mn x n 0 ,
线性代数 第3章 线性方程组
• 1、了解n元非齐次（齐次）线性方程组的概念，会用矩阵形式表示n元线 性方程组；理解增广矩阵的定义。
• 2、掌握用行简化阶梯形矩阵解线性方程组。
• 3、理解n元线性方程组有解、有唯一解、有无穷多解、无解的判定定理； 理解n元齐次线性方程组有非零解的判定定理。
• 4、掌握含有参数的n元线性方程组解的讨论。
定理 n元齐次线性方程组Amn x 0有非零解的
充分必要条件是系数矩 阵的秩r ( A) n.
定理 n元非齐次线性方程组Am n x b有解的充
分必要条件是系数矩阵 的秩等于增广矩阵 A B ( A, b )的秩.
线性方程组的解法
齐次线性方程组：把系数矩阵化成行最简形 矩阵，写出通解． 非齐次线性方程组：把增广矩阵化成行阶梯 形矩阵，根据有解判别定理判断是否有解，若有 解，把增广矩阵进一步化成行最简形矩阵，写出 通解．
(2)
系数矩阵、未知量矩阵、常数矩阵
a11 a 21 系数矩阵 A a m1 a12 a 22 am 2 a1 n a2n a mn
x1 x 未知量矩阵 2 x xn