2015年一月联考 数学真题及答案
2015全国卷1试卷及答案
2015全国统一考试理科数学第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1） 设复数z 满足1+z1z-＝i ，则|z |＝(A )1 (B )2 (C )3 (D )2 (2)sin 20°cos 10°－con 160°sin 10°＝(A )32- (B )32 (C )12- (D )12(3)设命题P ：∃n ∈N ，2n >2n ，则⌝P 为(A )∀n ∈N ， 2n >2n (B )∃ n ∈N ， 2n ≤2n (C )∀n ∈N ， 2n ≤2n (D )∃ n ∈N ， 2n ＝2n(4)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 (A )0.648 (B )0.432 (C )0.36 (D )0.312(5)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：2212x y -= 上的一点，F 1、F 2是C 上的两个焦点，若12MF MF ⋅＜0，则y 0的取值范围是(A )(－33，33) (B )(－36，36) (C )(223-，223) (D )(233-，233)(6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有(A )14斛 (B )22斛 (C )36斛 (D )66斛(7)设D 为ABC 所在平面内一点3BC CD =，则(A)1433AD AB AC=-+ (B )1433AD AB AC=-(C)4133 AD AB AC=+ (D)4133AD AB AC=-(8)函数f(x)＝的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为(A)()，k (b)()，k(C)()，k(D)()，k(9)执行右面的程序框图，如果输入的t＝0.01，则输出的n＝(A)5 (B)6 (C)7 (D)8（10）25()x x y++的展开式中，52x y的系数为(A)10 (B)20 (C)30 (D)60（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，（12）该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的（13）表面积为16 ＋ 20π，则r＝(A)1(B)2(C)4(D)812.设函数f(x)＝e x(2x－1)－ax＋a，其中a1，若存在唯一的整数x0，使得f(x0)0，则a的取值范围是( )A.[32e-，1) B. [33,24e-) C. [33,24e) D. [32e，1)2rr正视图俯视图r2r第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题未选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分(13)若函数f (x )＝xln (x ＋2a x +)为偶函数，则a ＝ (14)一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x 轴上，则该圆的标准方程为 .(15)若x ，y 满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则y x 的最大值为 .(16)在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是 .三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分12分)S n 为数列{a n }的前n 项和.已知a n >0， (Ⅰ)求{a n }的通项公式：(Ⅱ)设 ，求数列}的前n 项和(18)如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC ＝120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ， DF ⊥平面ABCD ，BE ＝2DF ，AE ⊥EC . (1)证明：平面AEC ⊥平面AFC(2)求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值(19)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t )和年利润z (单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1，2，···，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.xyw8i=1∑(x i －x )28i=1∑(w i －w )28i=1∑(x i －x )(y i －y )8i=1∑(w i －w )(y i －y )46.656.36.8289.8 1.6 1469 108.8表中w i ＝i x ， ，w ＝188i=1∑i w(Ⅰ)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)A B C F ED 年宣传费(千元)年销售量/t(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；(Ⅲ)以知这种产品的年利率z 与x 、y 的关系为z ＝0.2y －x .根据(Ⅱ)的结果回答下列问题：（i ） 年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii ） 年宣传费x 为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据(u 1 v 1)，(u 2 v 2)…….. (u n v n )，其回归线v ＝αβ+u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：121()(),()niii nii u u v v v u u u βαβ==--==--∑∑(20)(本小题满分12分)在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y ＝24x 与直线l:y ＝kx ＋a (a >0)交于M ，N 两点，(Ⅰ)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；(Ⅱ)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由.(21)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝31,()ln 4x ax g x x ++=-(Ⅰ)当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x = 的切线；(Ⅱ)用min {},m n 表示m ，n 中的最小值，设函数}{()min (),()(0)h x f x g x x => ，讨论h (x )零点的个数请考生在(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. (22)(本题满分10分)选修4－1：几何证明选讲如图，AB 是☉O 的直径，AC 是☉O 的切线，BC 交☉O 于点E（I ） 若D 为AC 的中点，证明：DE 是☉O 的切线； （II ） 若OA ＝3CE ，求∠ACB 的大小.(23)(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中.直线1C :x ＝－2，圆2C ：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （I ） 求1C ，2C 的极坐标方程；CD AEBO（II ） 若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积(24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0.(Ⅰ)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(Ⅱ)若f (x )的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围2015年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题答案A 卷选择题答案 一、 选择题（1）A （2）D （3）C （4）A （5）A （6）B （7）A （8）D （9）C （10）C （11）B （12）D A 、B 卷非选择题答案 二、填空题（13）1 （14） 22325()24x y ±+= （15）3（16）二、 解答题（17）解：（I ）由2243n n n a a S +=+，可知211124 3.n n n a a S ++++=+可得221112()4n n n n a a a a a +++-+-= 即2211112()()()n n n n n n a a a a a a a a +++++=-=+-由于0n a >可得1 2.n n a a +-=又2111243a a a +=+，解得111()3a a =-=舍去，所以{}n a 是首相为3，公差为2的等差数列，通项公式为2 1.n a n =+ （II ）由21n a n =+111111().(21)(23)22123n n b a a n n n n+===-++++设数列{}n b 的前n 项和为n T ，则12n n T b b b =+++1111111()()()()235572123.3(23)n n n n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥++⎣⎦=+（18）解：（I ）连结BD ，设BD AC=G ，连结EG ，FG ，EF.在菱形ABCD 中不妨设GB=1.由∠ABC=120°，可得AG=GC=3.由 BE ⊥平面ABCD, AB=BC 可知AE=EC. 又AE ⊥EC ，所以EG=3，且EG ⊥AC.在Rt ∆EBG 中，可得BE=2故DF=22.在Rt ∆FDG 中，可得FG=62. 在直角梯形BDFE 中，由BD=2，BE=2，DF=22，可得FE=322.从而222,EG FG EF EG FG +=⊥所以又,.AC FG G EG AFC =⊥可得平面因为EG AEC ⊂平面 所以平面AEC AFC ⊥平面（III ） 如图，以G 为坐标原点，分别以GB ，GC 的方向为x 轴，y 轴正方向，GB 为单位长，建立空间直角坐标系G-xyz.由（I ）可得2(03,0),(102),(10),(03,0)2A E F C --，，，，，，所以2(132),(13,).2AE CF ==-，，故3cos ,.3AE CF AE CF AE CF⋅==-⋅ 所以直线AE 与直线CF 所成直角的余弦值为33.（19）解：（I ）由散点图可以判断，y c d x =+适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型。
河南省八校2015届高三数学上学期第一次联考试卷理含解析
河南省八校2015届高三上学期第一次联考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）若sin2t=﹣cosxdx，其中t∈（0，π），则t=（）A．B．C．D．π3．（5分）在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（2，σ2）（σ＞0），若ξ在（0，2）内取值的概率为0.4，则ξ在（0，+∞）内取值的概率为（）A．0.2 B．0.4 C．0.8 D．0.94．（5分）设p：f（x）=x3﹣2x2﹣mx+1在（﹣∞，+∞）上单调递增；q：m＞，则p是q的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．以上都不对5．（5分）将函数y=cosx+sinx（x∈R）的图象向左平移m（m＞0）个长度单位后，所得到的图象关于原点对称，则m的最小值是（）A．B．C．D．6．（5分）x、y满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A．或﹣1 B．2或C．2或1 D．2或﹣17．（5分）若表示不超过x的最大整数，执行如图所示的程序框图，则输出的S值为（）A．4 B．5 C．7 D．98．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1+a2=10，a3+a4=26，则过点P（n，a n）和Q（n+1，a n+1）（n∈N*）的直线的一个方向向量是（）A．（﹣，﹣2）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣，﹣4）D．（2，）9．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin=，a=b=3，点P是边AB上的一个三等分点，则•+•=（）A．0 B．6 C．9 D．1210．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为（）A．B．C．D．11．（5分）已知y=f（x）为R上的可导函数，当x≠0时，，则关于x的函数的零点个数为（）A．1 B．2 C．0 D．0或212．（5分）已知函数f（x）=，若存在实数x1，x2，x3，x4，满足x1＜x2＜x3＜x4，且f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4），则的取值范围是（）A．（0，12）B．（4，16）C．（9，21）D．（15，25）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知双曲线=1的右焦点为（3，0），则该双曲线的离心率等于．14．（5分）若（2x﹣3）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a1+2a2+3a3+4a4+5a5等于．15．（5分）已知函数f（x）=e sinx+cosx﹣sin2x（x∈R），则函数f（x）的最大值与最小值的差是．16．（5分）下列说法：①“∃x∈R，使2x＞3”的否定是“∀x∈R，使2x≤3”；②函数y=sin（2x+）sin（﹣2x）的最小正周期是π，③命题“函数f（x）在x=x0处有极值，则f′（x0）=0”的否命题是真命题；④f（x）是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，x＞0时的解析式是f（x）=2x，则x＜0时的解析式为f（x）=﹣2﹣x其中正确的说法是．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2cosAcosC（tanAtanC﹣1）=1．（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若，，求△ABC的面积．18．（12分）现有4个人去参加娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．（1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；（2）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；（3）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ=|X﹣Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且AA1=AB=2．（1）求证：AB⊥BC；（2）若直线AC与平面A1BC所成的角为，求锐二面角A﹣A1C﹣B的大小．20．（12分）已知椭圆C的中心在原点，离心率等于，它的一个短轴端点点恰好是抛物线x2=8y的焦点．（1）求椭圆C的方程；（2）已知P（2，3）、Q（2，﹣3）是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，①若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；②当A、B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax2+1（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）设a＜﹣1．如果对任意x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|，求a的取值范围．四、选考题（请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分．）选修4-1：几何证明选讲22．（10分）已知AB为半圆O的直径，AB=4，C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点A作AD⊥CD于D，交半圆于点E，DE=1．（Ⅰ）求证：AC平分∠BAD；（Ⅱ）求BC的长．五、选考题（请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分．）选修4-4：坐标素与参数方程23．已知在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ=0．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离d的取值范围．六、选考题（请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分．）选修4-5：不等式选讲24．关于x的不等式lg（|x+3|﹣|x﹣7|）＜m．（Ⅰ）当m=1时，解此不等式；（Ⅱ）设函数f（x）=lg（|x+3|﹣|x﹣7|），当m为何值时，f（x）＜m恒成立？河南省八校2015届高三上学期第一次联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：首先把复数的分子分母都乘以分母的共轭复数，化为1﹣i，进而可判断出所对应的点位于的象限．解答：解：∵===1﹣i．∴复数对应的点是（1，﹣1），位于第四象限．故选：D．点评：本题考查了复数的除法运算及其几何意义，熟练掌握以上有关知识是解决问题的关键．2．（5分）若sin2t=﹣cosxdx，其中t∈（0，π），则t=（）A．B．C．D．π考点：定积分．专题：导数的综合应用．分析：将已知中等式中的定积分化简求值，化为关于t的三角函数方程解之．解答：解：因为﹣cosxdx=﹣sinx=0，所以sin2t=0，因为t∈（0，π），所以2t=π，所以t=；故选：B．点评：本题考查了定积分的计算以及三角函数求值，属于基础题．3．（5分）在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（2，σ2）（σ＞0），若ξ在（0，2）内取值的概率为0.4，则ξ在（0，+∞）内取值的概率为（）A．0.2 B．0.4 C．0.8 D．0.9考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题：计算题；概率与统计．分析：根据ξ服从正态分布N（2，σ2），得到曲线的对称轴是直线x=2，根据所给的ξ在（0，2）内取值的概率为0.4，根据正态曲线的对称性知在（0，+∞）内取值的概率．解答：解：∵ξ服从正态分布N（2，σ2）∴曲线的对称轴是直线x=2，∵ξ在（0，2）内取值的概率为0.4，∴根据正态曲线的性质知在（0，+∞）内取值的概率为0.4+0.5=0.9．故选：D．点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，主要考查正态曲线的对称性，是一个基础题．4．（5分）设p：f（x）=x3﹣2x2﹣mx+1在（﹣∞，+∞）上单调递增；q：m＞，则p是q的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．以上都不对考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据f（x）=x3﹣2x2﹣mx+1在（﹣∞，+∞）上单调递增，可得f′（x）=3x2﹣4x ﹣m，3x2﹣4x﹣m≥0在R上恒成立，求出m的范围，再根据充分必要条件可判断答案．解答：解：∵f（x）=x3﹣2x2﹣mx+1在（﹣∞，+∞）上单调递增，∴f′（x）=3x2﹣4x﹣m，即3x2﹣4x﹣m≥0在R上恒成立，所以△=16+12m≤0，即m≥﹣，∵p：f（x）=x3﹣2x2﹣mx+1在（﹣∞，+∞）上单调递增；q：m＞∴根据充分必要条件的定义可判断：p是q的必要不充分条件，故选：C点评：本题考查了充分必要条件的判断方法，结合导数判断求解，难度适中，有点综合性．5．（5分）将函数y=cosx+sinx（x∈R）的图象向左平移m（m＞0）个长度单位后，所得到的图象关于原点对称，则m的最小值是（）A．B．C．D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用两角和的正弦化简原函数，然后利用三角函数的图象平移得到平移后图象的函数解析式，由图象关于原点对称列式求得m的最小值．解答：解：设y=f（x）=cosx+sinx（x∈R），化简得f（x）=2（cosx+sinx）=2sin（x+），∴图象向左平移m（m＞0）个单位长度得到y=2sin=2sin（x+m+），∵所得的图象关于原点对称，∴m+=kπ（k∈Z），则m的最小正值为．故选：D．点评：本题考查了三角函数的图象平移，考查了两角和的正弦公式，考查了三角函数的性质，是基础题．6．（5分）x、y满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A．或﹣1 B．2或C．2或1 D．2或﹣1考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线y=ax+z斜率的变化，从而求出a的取值．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=y﹣ax得y=ax+z，即直线的截距最大，z也最大．若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件，若a＞0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＞0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线2x﹣y+2=0平行，此时a=2，若a＜0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＜0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线x+y﹣2=0，平行，此时a=﹣1，综上a=﹣1或a=2，故选：D点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．注意要对a进行分类讨论，同时需要弄清楚最优解的定义．7．（5分）若表示不超过x的最大整数，执行如图所示的程序框图，则输出的S值为（）A．4 B．5 C．7 D．9考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据题意，模拟程序框图的运行过程，求出该程序运行后输出的S的值．解答：解：模拟程序框图的运行过程，如下；S=0，n=0，S=0+=0，0＞4，否；n=1，S=0+=1，1＞4，否；n=2，S=1+=2，2＞4，否；n=3，S=2+=3，3＞4，否；n=4，S=3+=5，4＞4，否；n=5，S=5+=7，5＞4，是；输出S=7．故选：C．点评：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，从而得出该程序运行后的结果是什么．8．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1+a2=10，a3+a4=26，则过点P（n，a n）和Q（n+1，a n+1）（n∈N*）的直线的一个方向向量是（）A．（﹣，﹣2）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣，﹣4）D．（2，）考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：设等差数列{a n}的公差为d，则由题意可得 2a1+d=10，2a1+5d=26，解得a1=3，d=4，由此求出过点P（n，a n）和Q（n+1，a n+1）（n∈N*）的直线的斜率，从而求得直线的一个方向向量．解答：解：设等差数列{a n}的公差为d，则由题意可得 2a1+d=10，2a1+5d=26，解得a1=3，d=4．故过点P（n，a n）和Q（n+1，a n+1）（n∈N*）的直线的斜率等于d==4，故过点P（n，a n）和Q（n+1，a n+1）（n∈N*）的直线的一个方向向量应和向量（1，4）平行，故选：A．点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，直线的斜率的求法，直线的方向向量，属于基础题．9．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin=，a=b=3，点P是边AB上的一个三等分点，则•+•=（）A．0 B．6 C．9 D．12考点：平面向量数量积的运算；余弦定理．专题：平面向量及应用．分析：过点C作CO⊥AB，垂足为O．如图所示，．由sin=，可得=，CO，AO=OB=．分别取点P靠近点B，A的三等分点．可得P．利用向量的三角形法则、坐标运算、数量积运算即可得出．解答：解：过点C作CO⊥AB，垂足为O．如图所示，．∵sin=，∴==．∴CO=．∴AO=OB==．取点P靠近点B的三等分点．则P．∴•+•==2•=6．同理取点P靠近点A的三等分点答案也是6．∴•+•=6．故选：B．点评：本题考查了向量的三角形法则、坐标运算、数量积运算、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：图表型．分析：由已知中几何体的三视图中，正视图是一个正三角形，侧视图和俯视图均为三角形，我们得出这个几何体的外接球的球心O在高线PD上，且是等边三角形PAC的中心，得到球的半径，代入球的表面积公式，即可得到答案．解答：解：由已知中知几何体的正视图是一个正三角形，侧视图和俯视图均为三角形，可得该几何体是有一个侧面PAC垂直于底面，高为，底面是一个等腰直角三角形的三棱锥，如图．则这个几何体的外接球的球心O在高线PD上，且是等边三角形PAC的中心，这个几何体的外接球的半径R=PD=．则这个几何体的外接球的表面积为S=4πR2=4π×（）2=故选：A．点评：本题考查的知识点是由三视图求面积、体积，其中根据三视图判断出几何体的形状，分析出几何体的几何特征是解答本题的关键．11．（5分）已知y=f（x）为R上的可导函数，当x≠0时，，则关于x的函数的零点个数为（）A．1 B．2 C．0 D．0或2考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得，x≠0，因而 g（x）的零点跟 xg（x）的非零零点是完全一样的．当x＞0时，利用导数的知识可得xg（x）在（0，+∞）上是递增函数，xg（x）＞1恒成立，可得xg（x）在（0，+∞）上无零点．同理可得xg（x）在（﹣∞，0）上也无零点，从而得出结论．解答：解：由于函数，可得x≠0，因而 g（x）的零点跟 xg（x）的非零零点是完全一样的，故我们考虑 xg（x）=xf（x）+1 的零点．由于当x≠0时，，①当x＞0时，（x•g（x））′=（xf（x））′=xf′（x）+f（x）=x（f′（x）+）＞0，所以，在（0，+∞）上，函数x•g（x）单调递增函数．又∵=1，∴在（0，+∞）上，函数x•g（x）=xf（x）+1＞1恒成立，因此，在（0，+∞）上，函数x•g（x）=xf（x）+1 没有零点．②当x＜0时，由于（x•g（x））′=（xf（x））′=xf′（x）+f（x）=x（f′（x）+）＜0，故函数x•g（x）在（﹣∞，0）上是递减函数，函数x•g（x）=xf（x）+1＞1恒成立，故函数x•g（x）在（﹣∞，0）上无零点．综上可得，函在R上的零点个数为0，故选C．点评：本题考查了根的存在性及根的个数判断，导数与函数的单调性的关系，体现了分类讨论、转化的思想，属于中档题．12．（5分）已知函数f（x）=，若存在实数x1，x2，x3，x4，满足x1＜x2＜x3＜x4，且f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4），则的取值范围是（）A．（0，12）B．（4，16）C．（9，21）D．（15，25）考点：分段函数的应用．专题：计算题；数形结合；函数的性质及应用．分析：画出函数f（x）的图象，确定x1x2=1，x3+x4=12，2＜x3＜4，8＜x4＜10，由此可得的取值范围．解答：解：函数的图象如图所示，∵f（x1）=f（x2），∴﹣log2x1=log2x2，∴log2x1x2=0，∴x1x2=1，∵f（x3）=f（x4），∴x3+x4=12，2＜x3＜x4＜10∴=x3x4﹣2（x3+x4）+4=x3x4﹣20，∵2＜x3＜4，8＜x4＜10∴的取值范围是（0，12）．故选：A．点评：本小题主要考查分段函数的解析式求法及其图象的作法、函数的值域的应用、函数与方程的综合运用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知双曲线=1的右焦点为（3，0），则该双曲线的离心率等于．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线=1的右焦点为（3，0），求出|a|，再利用双曲线的定义，即可求出双曲线的离心率．解答：解：∵双曲线=1的右焦点为（3，0），∴a2+5=9，∴|a|=2，∵c=3，∴双曲线的离心率等于．故答案为：．点评：本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，确定双曲线的几何量是关键．14．（5分）若（2x﹣3）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a1+2a2+3a3+4a4+5a5等于10．考点：二项式定理．专题：计算题．分析：对已知等式求导数，对求导后的等式中的x赋值1，求出a1+2a2+3a3+4a4+5a5的值．解答：解：对等式两边求导数得10（2x﹣3）4=a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+5a5x4令x=1得10=a1+2a2+3a3+4a4+5a5，故答案为10点评：本题考查复合函数的求导法则、考查赋值法求展开式的系数和常用的方法．15．（5分）已知函数f（x）=e sinx+cosx﹣sin2x（x∈R），则函数f（x）的最大值与最小值的差是．考点：函数的最值及其几何意义．专题：函数的性质及应用．分析：令t=sinx+cosx=sin（x+），则t∈，且sin2x=t2﹣1，利用导数法分析y=e t﹣（t2﹣1）在上单调性，进而可得答案．解答：解：令t=sinx+cosx=sin（x+），则t∈，且sin2x=t2﹣1，则y=f（x）=e t﹣（t2﹣1），∵y′=e t﹣t＞0在t∈时恒成立，故y=e t﹣（t2﹣1）在上为增函数，故函数f（x）的最大值与最小值的差是y|﹣y|=（）﹣（）=，故答案为：点评：本题主要考查函数求最值，常要借助函数的单调性，因为本题构成比较复杂，所以采用换元法简化函数的解析式．16．（5分）下列说法：①“∃x∈R，使2x＞3”的否定是“∀x∈R，使2x≤3”；②函数y=sin（2x+）sin（﹣2x）的最小正周期是π，③命题“函数f（x）在x=x0处有极值，则f′（x0）=0”的否命题是真命题；④f（x）是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，x＞0时的解析式是f（x）=2x，则x＜0时的解析式为f（x）=﹣2﹣x其中正确的说法是①④．考点：命题的否定；函数奇偶性的性质．专题：压轴题；规律型．分析：根据含量词的命题的否定形式判断出①对，根据二倍角正弦公式先化简函数，再利用三角函数的周期公式求出函数的周期判断出②错；写出否命题，利用特例即可判断③错；根据函数的奇偶性求出f（x）在x＜0时的解析式，判断出④对．解答：解：对于①，根据含量词的命题的否定是量词互换，结论否定，故①对对于②，，所以周期T=，故②错对于③，“函数f（x）在x=x0处有极值，则f′（x0）=0”的否命题为“函数f（x）在x=x0处没有极值，则f′（x0）≠0”，例如y=x3，x=0时，不是极值点，但是f′（0）=0，所以③错对于④，设x＜0，则﹣x＞0，∴f（﹣x）=2﹣x，∵f（x）为奇函数，∴f（x）=﹣2﹣x，故④对故答案为①④点评：求含量词的命题的否定，应该将量词”任意“与”存在“互换，同时结论否定；函数的极值点要满足导数为0且左右两边的导数符号相反．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2cosAcosC（tanAtanC﹣1）=1．（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若，，求△ABC的面积．考点：余弦定理；三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．专题：三角函数的求值．分析：（Ⅰ）已知等式括号中利用同角三角函数间基本关系切化弦，去括号后利用两角和与差的余弦函数公式化简，再由诱导公式变形求出cosB的值，即可确定出B的大小；（Ⅱ）由cosB，b的值，利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a+b以及b的值代入求出ac的值，再由cosB的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．解答：解：（Ⅰ）由2cosAcosC（tanAtanC﹣1）=1得：2cosAcosC（﹣1）=1，∴2（sinAsinC﹣cosAcosC）=1，即cos（A+C）=﹣，∴cosB=﹣cos（A+C）=，又0＜B＜π，∴B=；（Ⅱ）由余弦定理得：cosB==，∴=，又a+c=，b=，∴﹣2ac﹣3=ac，即ac=，∴S△ABC=acsinB=××=．点评：此题考查了余弦定理，三角形面积公式，两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．18．（12分）现有4个人去参加娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．（1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；（2）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；（3）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ=|X﹣Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ．考点：离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的人数的概率为设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件A i（i=0，1，2，3，4），故P（A i）=（1）这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为P（A2）；（2）设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏”为事件B，则B=A3∪A4，利用互斥事件的概率公式可求；（3）ξ的所有可能取值为0，2，4，由于A1与A3互斥，A0与A4互斥，求出相应的概率，可得ξ的分布列与数学期望．解答：解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的人数的概率为设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件A i（i=0，1，2，3，4），∴P（A i）=（1）这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为P（A2）=；（2）设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏”为事件B，则B=A3∪A4，∴P（B）=P（A3）+P（A4）=（3）ξ的所有可能取值为0，2，4，由于A1与A3互斥，A0与A4互斥，故P（ξ=0）=P（A2）=P（ξ=2）=P（A1）+P（A3）=，P（ξ=4）=P（A0）+P（A4）=∴ξ的分布列是ξ 0 2 4P数学期望Eξ=点评：本题考查概率知识的求解，考查互斥事件的概率公式，考查离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且AA1=AB=2．（1）求证：AB⊥BC；（2）若直线AC与平面A1BC所成的角为，求锐二面角A﹣A1C﹣B的大小．考点：用空间向量求平面间的夹角；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）取A1B的中点D，连接AD，由已知条件推导出AD⊥平面A1BC，从而AD⊥BC，由线面垂直得AA1⊥BC．由此能证明AB⊥BC．（2）连接CD，由已知条件得∠ACD即为直线AC与平面A1BC所成的角，∠AED即为二面角A ﹣A1C﹣B的一个平面角，由此能求出二面角A﹣A1C﹣B的大小．解答：（本小题满分14分）（1）证明：如右图，取A1B的中点D，连接AD，…（1分）因AA1=AB，则AD⊥A1B…（2分）由平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且平面A1BC∩侧面A1ABB1=A1B，…（3分）得AD⊥平面A1BC，又BC⊂平面A1BC，所以AD⊥BC．…（4分）因为三棱柱ABC﹣﹣﹣A1B1C1是直三棱柱，则AA1⊥底面ABC，所以AA1⊥BC．又AA1∩AD=A，从而BC⊥侧面A1ABB1，又AB⊂侧面A1ABB1，故AB⊥BC．…（7分）（2）解：连接CD，由（1）可知AD⊥平面A1BC，则CD是AC在平面A1BC内的射影∴∠ACD即为直线AC与平面A1BC所成的角，则…（8分）在等腰直角△A1AB中，AA1=AB=2，且点D是A1B中点∴，且，∴…（9分）过点A作AE⊥A1C于点E，连DE由（1）知AD⊥平面A1BC，则AD⊥A1C，且AE∩AD=A∴∠AED即为二面角A﹣A1C﹣B的一个平面角，…（10分）且直角△A1AC中：又，∴，且二面角A﹣A1C﹣B为锐二面角∴，即二面角A﹣A1C﹣B的大小为．…（14分）点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20．（12分）已知椭圆C的中心在原点，离心率等于，它的一个短轴端点点恰好是抛物线x2=8y的焦点．（1）求椭圆C的方程；（2）已知P（2，3）、Q（2，﹣3）是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，①若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；②当A、B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的共同特征．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）根据椭圆C的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率等于．由此列式解出出a，b的值，即可得到椭圆C的方程．（Ⅱ）①设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得四边形APBQ的面积，从而解决问题．②设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为﹣k，PA的直线方程为y﹣3=k（x﹣2）将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得x1+2，同理PB的直线方程为y﹣3=﹣k（x﹣2），可得x2+2，从而得出AB的斜率为定值．解答：解：（Ⅰ）设C方程为，则．由，得a=4∴椭圆C的方程为．…（4分）（Ⅱ）①解：设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为，代入，得x2+tx+t2﹣12=0由△＞0，解得﹣4＜t＜4…（6分）由韦达定理得x1+x2=﹣t，x1x2=t2﹣12．∴==．由此可得：四边形APBQ的面积∴当t=0，．…（8分）②解：当∠APQ=∠BPQ，则PA、PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k则PB的斜率为﹣k，直线PA的直线方程为y﹣3=k（x﹣2）由（1）代入（2）整理得（3+4k2）x2+8（3﹣2k）kx+4（3﹣2k）2﹣48=0∴…（10分）同理直线PB的直线方程为y﹣3=﹣k（x﹣2），可得∴…（12分）所以AB的斜率为定值．…（14分）点评：本题考查的知识点是椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题，其中根据已知条件计算出椭圆的标准方程是解答本题的关键．21．（12分）已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax2+1（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）设a＜﹣1．如果对任意x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|，求a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；压轴题．分析：（1）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出单调区间．（2）根据第一问的单调性先对|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|进行化简整理，转化成研究g （x）=f（x）+4x在（0，+∞）单调减函数，再利用参数分离法求出a的范围．解答：解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞）.．当a≥0时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）单调增加；当a≤﹣1时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）单调减少；当﹣1＜a＜0时，令f′（x）=0，解得．则当时，f'（x）＞0；时，f'（x）＜0．故f（x）在单调增加，在单调减少．（Ⅱ）不妨假设x1≥x2，而a＜﹣1，由（Ⅰ）知在（0，+∞）单调减少，从而∀x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|等价于∀x1，x2∈（0，+∞），f（x2）+4x2≥f（x1）+4x1①令g（x）=f（x）+4x，则①等价于g（x）在（0，+∞）单调减少，即．从而故a的取值范围为（﹣∞，﹣2]．（12分）点评：本小题主要考查函数的导数，单调性，极值，不等式等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力．四、选考题（请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分．）选修4-1：几何证明选讲22．（10分）已知AB为半圆O的直径，AB=4，C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点A作AD⊥CD于D，交半圆于点E，DE=1．（Ⅰ）求证：AC平分∠BAD；（Ⅱ）求BC的长．考点：圆的切线的性质定理的证明；圆內接多边形的性质与判定．专题：综合题．分析：（Ⅰ）连接OC，因为OA=OC，所以∠OAC=∠OCA，再证明OC∥AD，即可证得AC平分∠BAD．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从而BC=CE，利用ABCE四点共圆，可得∠B=∠CED，从而有，故可求BC的长．解答：（Ⅰ）证明：连接OC，因为OA=OC，所以∠OAC=∠OCA，（2分）因为CD为半圆的切线，所以OC⊥CD，又因为AD⊥CD，所以OC∥AD，所以∠OCA=∠CAD，∠OAC=∠CAD，所以AC平分∠BAD．（4分）（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，∴BC=CE，（6分）连接CE，因为ABCE四点共圆，∠B=∠CED，所以cosB=cos∠CED，（8分）所以，所以BC=2．（10分）点评：本题考查圆的切线，考查圆内接四边形，解题的关键是正确运用圆的切线性质及圆内接四边形的性质．五、选考题（请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分．）选修4-4：坐标素与参数方程23．已知在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ=0．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离d的取值范围．考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．专题：计算题；坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）应用代入法，将t=x+3代入y=t，即可得到直线l的普通方程；将x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ2=x2+y2代入曲线C的极坐标方程，即得曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）由圆的参数方程设出点P（2+2cosθ，2sinθ），θ∈R，根据点到直线的距离公式得到d的式子，并应用三角函数的两角和的余弦公式，以及三角函数的值域化简，即可得到d 的范围．解答：解：（ I）直线l的参数方程为（t为参数），将t=x+3代入y=t，得直线l的普通方程为x﹣y=0；曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ=0，将x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ2=x2+y2代入即得曲线C的直角坐标方程：（x﹣2）2+y2=4；（ II）设点P（2+2cosθ，2sinθ），θ∈R，则d==，∴d的取值范围是：．点评：本题考查参数方程化为普通方程，极坐标方程化为直角坐标方程，同时考查圆上一点到直线的距离的最值，本题也可利用圆上一点到直线的距离的最大（最小）是圆心到直线的距离加半径（减半径）．六、选考题（请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分．）选修4-5：不等式选讲24．关于x的不等式lg（|x+3|﹣|x﹣7|）＜m．（Ⅰ）当m=1时，解此不等式；（Ⅱ）设函数f（x）=lg（|x+3|﹣|x﹣7|），当m为何值时，f（x）＜m恒成立？考点：对数的运算性质；绝对值不等式的解法．专题：计算题；压轴题；选作题．分析：（1）转化成绝对值不等式，令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集．（2）解决恒成立问题，可将问题转化为研究函数f（x）的最大值小于m即可．解答：解：（1）当m=1时，原不等式可变为0＜|x+3|﹣|x﹣7|＜10，可得其解集为{x|2＜x＜7}．（2）设t=|x+3|﹣|x﹣7|，则由对数定义及绝对值的几何意义知0＜t≤10，因y=lgx在（0，+∞）上为增函数，则lgt≤1，当t=10，x≥7时，lgt=1，故只需m＞1即可，即m＞1时，f（x）＜m恒成立．点评：本题考查了对数的运算性质，以及绝对值不等式的解法，所谓零点分段法，即令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集．。
贵州省七校联盟2015届高三第一次联考(1月)数学(理)试题_Word版含答案
秘密★考试结束前 【考试时间：1月 3日14:30—16:30 】贵州省七校联盟2015届高三第一次联考试卷理科数学命题学校：清华中学 审卷学校：贵阳六中联考学校：贵阳六中 清华中学 遵义四中 凯里一中 都匀一中 都匀二中 安顺一中 本试卷分为第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：1. 答卷前，考生务必在答题卡上相应的位置准确填写自己的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在指定位置。
2．选择题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号按要求涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
非选择题用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
第I 卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
） 1. 已知集合{}{}A=0,1,2,3,4,B x x n n A ==∈，则A B I 的真子集个数为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．82. 复数m-2iZ=1+2i（,m R i ∈为虚数单位）在复平面上对应的点不可能在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3. 已知双曲线221x my +=的虚轴长是实轴长的两倍，则实数m 的值是（ ）A ．4B ．1-4C ．14D ．-44. 如图所示，四面体ABCD 的四个顶点是长方体的四个顶点（长方体是虚拟图形，起辅助作用），则四面体ABCD 的三视图是（用①②③④⑤⑥代表图形）（ ）A ．①②⑥B ．①②③C ．④⑤⑥D ．③④⑤5. 已知函数()f x 的图像如右图所示，则()f x 的解析式可以是（ ）A ．()ln xf x x =B ．()xe f x x=C ．()211f x x =- D ．()1f x x x=-6. 在ABC ∆中，04,30,AB ABC D =∠=是边BC 上的一点，且AD AB AD AC •=•u u u r u u u r u u u r u u u r则AD AB •u u u r u u u r的值为（ ）A ．0B ． -4C ．8D ．47. 以下四个命题中，真命题的个数是（ ）①“若2a b +≥则,a b 中至少有一个不小于1”的逆命题。
2015年普通高等学校招生全国统一考试 全国卷1 数学试卷含答案(理科)
2015年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅰ)理数本卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设复数z满足=i,则|z|=( )-A.1B.C.D.22.sin20°cos10°-cos160°sin10°=()A.-B.C.-D.3.设命题p:∃n∈N,n2>2n,则¬p为( )A.∀n∈N,n2>2nB.∃n∈N,n2≤2nC.∀n∈N,n2≤2nD.∃n∈N,n2=2n4.投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为( )A.0.648B.0.432C.0.36D.0.3125.已知M(x0,y0)是双曲线C:-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点.若·<0,则y0的取值范围是( )A.-,B.-,C.-,D.-,6.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有( )A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛7.设D为△ABC所在平面内一点,=3,则( )A.=-+B.=-C.=+D.=-8.函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为( )A.-,,k∈ZB.-,,k∈ZC.-,,k∈ZD.-,,k∈Z9.执行下面的程序框图,如果输入的t=0.01,则输出的n=( )A.5B.6C.7D.810.(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为( )A.10B.20C.30D.6011.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r=( )A.1B.2C.4D.812.设函数f(x)=e x(2x-1)-ax+a,其中a<1,若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0,则a的取值范围是( )A.-,B.-,C.,D.,第Ⅱ卷(非选择题,共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.若函数f(x)=xln(x+)为偶函数,则a= .14.一个圆经过椭圆+=1的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的标准方程为.15.若x,y满足约束条件-,-,-,则的最大值为.16.在平面四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则AB的取值范围是.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)S n为数列{a n}的前n项和.已知a n>0,+2a n=4S n+3.(Ⅰ)求{a n}的通项公式;(Ⅱ)设b n=,求数列{b n}的前n项和.18.(本小题满分12分)如图,四边形ABCD为菱形,∠ABC=120°,E,F是平面ABCD同一侧的两点,BE⊥平面ABCD,DF⊥平面ABCD,BE=2DF,AE⊥EC.(Ⅰ)证明:平面AEC⊥平面AFC;(Ⅱ)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.19.(本小题满分12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:千元)对年销售量y(单位:t)和年利润z(单位:千元)的影响.对近8年的年宣传费x i和年销售量y i(i=1,2, (8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.表中,.(Ⅰ)根据散点图判断,y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程;(Ⅲ)已知这种产品的年利润z与x,y的关系为z=0.2y-x.根据(Ⅱ)的结果回答下列问题: (i)年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少?(ii)年宣传费x为何值时,年利润的预报值最大?附:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(u n,v n),其回归直线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为(-)(-),=-.=(-)20.(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中,曲线C:y=与直线l:y=kx+a(a>0)交于M,N两点.(Ⅰ)当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方程;(Ⅱ)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x3+ax+,g(x)=-lnx.(Ⅰ)当a为何值时,x轴为曲线y=f(x)的切线?(Ⅱ)用min{m,n}表示m,n中的最小值,设函数h(x)=min{f(x),g(x)}(x>0),讨论h(x)零点的个数.请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,AB是☉O的直径,AC是☉O的切线,BC交☉O于点E.(Ⅰ)若D为AC的中点,证明:DE是☉O的切线;(Ⅱ)若OA=CE,求∠ACB的大小.23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(Ⅰ)求C1,C2的极坐标方程;(Ⅱ)若直线C3的极坐标方程为θ=(ρ∈R),设C2与C3的交点为M,N,求△C2MN的面积.24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0.(Ⅰ)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;(Ⅱ)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.2015年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅰ)一、选择题1.A由已知-=i,可得z=-=--=--=i,∴|z|=|i|=1,故选A.2.D原式=sin 20°cos10°+cos20°sin10°=sin(20°+10°)=sin30°=,故选D.3.C根据特称命题的否定为全称命题,知¬p:∀n∈N,n2≤2n,故选C.4.A该同学通过测试的概率P=×0.62×0.4+0.63=0.432+0.216=0.648,故选A.5.A若·=0,则点M在以原点为圆心,半焦距c=为半径的圆上,则-解得=.可知:·<0⇒点M在圆x2+y2=3的内部⇒<⇒y0∈-.故选A.6.B设圆锥底面的半径为R尺,由×2πR=8得R=,从而米堆的体积V=×πR2×5=(立方尺),因此堆放的米约有≈22(斛).故选B.7.A=+=++=+=+(-)=-+.故选A.8.D由题图可知=-=1,所以T=2.结合题图可知,在-(f(x)的一个周期)内,函数f(x)的单调递减区间为-.由f(x)是以2为周期的周期函数可知,f(x)的单调递减区间为-,k∈Z,故选D.9.C第一次循环:S=1-=,m=,n=1,S>t;第二次循环:S=-=,m=,n=2,S>t;第三次循环:S=-=,m=,n=3,S>t;第四次循环:S=-=,m=,n=4,S>t;第五次循环:S=-=,m=,n=5,S>t;第六次循环:S=-=,m=,n=6,S>t;第七次循环:S=-=,m=,n=7,此时不满足S>t,结束循环,输出n=7,故选C.10.C(x2+x+y)5=[(x2+x)+y]5的展开式中只有(x2+x)3y2中含x5y2,易知x5y2的系数为=30,故选C.11.B由已知可知,该几何体的直观图如图所示,其表面积为2πr2+πr2+4r2+2πr2=5πr2+4r2.由5πr2+4r2=16+20π,得r=2.故选B.12.D由f(x0)<0,即(2x0-1)-a(x0-1)<0得(2x0-1)<a(x0-1).当x0=1时,得e<0,显然不成立,所以x0≠1.若x0>1,则a>--.令g(x)=--,则g'(x)=--.当x∈时,g'(x)<0,g(x)为减函数,当x∈时,g'(x)>0,g(x)为增函数,要满足题意,则x0=2,此时需满足g(2)<a≤g(3),得3e2<a≤e3,与a<1矛盾,所以x0<1.因为x0<1,所以a<--.易知,当x∈(- ,0)时,g'(x)>0,g(x)为增函数,当x∈(0,1)时,g'(x)<0,g(x)为减函数,要满足题意,则x0=0,此时需满足g(-1)≤a<g(0),得≤a<1(满足a<1).故选D.评析本题主要考查导数的应用及分类讨论思想,分离参变量是解决本题的关键,本题综合性较强,属难题.二、填空题13.答案 1解析由已知得f(-x)=f(x),即-xln(-x)=xln(x+),则ln(x+)+ln(-x)=0,∴ln[()2-x2]=0,得ln a=0,∴a=1.14.答案-+y2=解析由已知得该圆经过椭圆的三个顶点A(4,0)、B(0,2)、C(0,-2).易知线段AB的垂直平分线的方程为2x-y-3=0.令y=0,得x=,所以圆心坐标为,则半径r=4-=.故该圆的标准方程为-+y2=.评析本题考查圆和椭圆的方程,求出圆心坐标是解题关键.15.答案 3解析由约束条件画出可行域,如图.的几何意义是可行域内的点(x,y)与原点O连线的斜率,所以的最大值即为直线OA的斜率,又由--得点A的坐标为(1,3),则=k OA=3.16.答案(-,+)解析 依题意作出四边形ABCD,连结BD.令BD=x,AB=y,∠CDB=α,∠CBD=β.在△BCD 中,由正弦定理得=°.由题意可知,∠ADC=135°,则∠ADB=135°-α.在△ABD 中,由正弦定理得°=°- .所以°- =,即y=°- = °- - ° = - ° =.因为0°<β<75°,α+β+75°=180°,所以30°<α<105°, 当α=90°时,易得y= ; 当α≠90°时,y==,又tan 30°=,tan 105°=tan(60°+45°)= ° °- ° °=-2- , 结合正切函数的性质知,∈( -2, ),且≠0,所以y=∈( - , )∪( , + ). 综上所述:y ∈( - , + ).评析 本题考查了三角函数和解三角形.利用函数的思想方法是求解关键,属偏难题. 三、解答题17.解析 (Ⅰ)由+2a n =4S n +3,可知 +2a n+1=4S n+1+3. 可得 - +2(a n+1-a n )=4a n+1,即 2(a n+1+a n )= - =(a n+1+a n )(a n+1-a n ).由于a n >0,可得a n+1-a n =2.又 +2a 1=4a 1+3,解得a 1=-1(舍去)或a 1=3.所以{a n }是首项为3,公差为2的等差数列,通项公式为a n =2n+1.(6分) (Ⅱ)由a n =2n+1可知b n===-.设数列{b n}的前n项和为T n,则T n=b1+b2+…+b n=--…-=.(12分)18.解析(Ⅰ)连结BD.设BD∩AC=G,连结EG,FG,EF.在菱形ABCD中,不妨设GB=1.由∠ABC=120°,可得AG=GC=.由BE⊥平面ABCD,AB=BC,可知AE=EC.又AE⊥EC,所以EG=,且EG⊥AC.在Rt△EBG中,可得BE=,故DF=.在Rt△FDG中,可得FG=.在直角梯形BDFE中,由BD=2,BE=,DF=,可得EF=.从而EG2+FG2=EF2,所以EG⊥FG.又AC∩FG=G,可得EG⊥平面AFC.因为EG⊂平面AEC,所以平面AEC⊥平面AFC.(6分)(Ⅱ)如图,以G为坐标原点,分别以,的方向为x轴,y轴正方向,||为单位长,建立空间直角坐标系G-xyz.由(Ⅰ)可得A(0,-,0),E(1,0,),F-,C(0,,0),所以=(1,,),=--.(10分)故cos<,>=·=-.所以直线AE与直线CF所成角的余弦值为.(12分)评析本题考查了线面垂直的判定和性质、面面垂直的判定、异面直线所成的角.建立适当的空间直角坐标系,利用空间向量的有关公式是求解的关键.证明“EG⊥平面AFC”是解题的难点.本题属中等难度题.19.解析(Ⅰ)由散点图可以判断,y=c+d 适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型.(2分)(Ⅱ)令w=,先建立y关于w的线性回归方程.由于=---==68,=-=563-68×6.8=100.6,所以y关于w的线性回归方程为=100.6+68w,因此y关于x的回归方程为=100.6+68.(6分)(Ⅲ)(i)由(Ⅱ)知,当x=49时,年销售量y的预报值=100.6+68=576.6,年利润z的预报值=576.6×0.2-49=66.32.(9分)(ii)根据(Ⅱ)的结果知,年利润z的预报值=0.2(100.6+68)-x=-x+13.6+20.12.所以当==6.8,即x=46.24时,取得最大值.故年宣传费为46.24千元时,年利润的预报值最大.(12分)20.解析(Ⅰ)由题设可得M(2,a),N(-2,a)或M(-2,a),N(2,a).又y'=,故y=在x=2处的导数值为,C在点(2,a)处的切线方程为y-a=(x-2),即x-y-a=0.y=在x=-2处的导数值为-,C在点(-2,a)处的切线方程为y-a=-(x+2),即x+y+a=0.故所求切线方程为x-y-a=0和x+y+a=0.(5分)(Ⅱ)存在符合题意的点,证明如下:设P(0,b)为符合题意的点,M(x1,y1),N(x2,y2),直线PM,PN的斜率分别为k1,k2.将y=kx+a代入C的方程得x2-4kx-4a=0.故x1+x2=4k,x1x2=-4a.从而k1+k2=-+-=-=.当b=-a时,有k1+k2=0,则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补,故∠OPM=∠OPN,所以点P(0,-a)符合题意.(12分)21.解析(Ⅰ)设曲线y=f(x)与x轴相切于点(x 0,0),则f(x0)=0,f '(x0)=0,即解得x0=,a=-.因此,当a=-时,x轴为曲线y=f(x)的切线.(5分)(Ⅱ)当x∈(1,+ )时,g(x)=-ln x<0,从而h(x)=min{f(x),g(x)}≤g(x)<0,故h(x)在(1,+ )无零点.当x=1时,若a≥-,则f(1)=a+≥0,h(1)=min{f(1),g(1)}=g(1)=0,故x=1是h(x)的零点;若a<-,则f(1)<0,h(1)=min{f(1),g(1)}=f(1)<0,故x=1不是h(x)的零点.当x∈(0,1)时,g(x)=-ln x>0,所以只需考虑f(x)在(0,1)的零点个数.(i)若a≤-3或a≥0,则f '(x)=3x2+a在(0,1)无零点,故f(x)在(0,1)单调.而f(0)=,f(1)=a+,所以当a≤-3时, f(x)在(0,1)有一个零点;当a≥0时,f(x)在(0,1)没有零点.(ii)若-3<a<0,则f(x)在-单调递减,在-单调递增,故在(0,1)中,当x=-时,f(x)取得最小值,最小值为f -=-+.①若f ->0,即-<a<0,f(x)在(0,1)无零点;②若f -=0,即a=-,则f(x)在(0,1)有唯一零点;③若f -<0,即-3<a<-,由于f(0)=,f(1)=a+,所以当-<a<-时,f(x)在(0,1)有两个零点;当-3<a≤-时,f(x)在(0,1)有一个零点.(10分)综上,当a>-或a<-时,h(x)有一个零点;当a=-或a=-时,h(x)有两个零点;当-<a<-时,h(x)有三个零点.(12分)22.解析(Ⅰ)连结AE,由已知得,AE⊥BC,AC⊥AB.在Rt△AEC中,由已知得,DE=DC,故∠DEC=∠DCE.连结OE,则∠OBE=∠OEB.又∠ACB+∠ABC=90°,所以∠DEC+∠OEB=90°,故∠OED=90°,DE是☉O的切线.(5分) (Ⅱ)设CE=1,AE=x,由已知得AB=2,BE=-.由射影定理可得,AE2=CE·BE,所以x2=-,即x4+x2-12=0.可得x=,所以∠ACB=60°.(10分)23.解析(Ⅰ)因为x=ρcosθ,y=ρsinθ,所以C 1的极坐标方程为ρcosθ=-2,C2的极坐标方程为ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0.(5分)(Ⅱ)将θ=代入ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0,得ρ2-3ρ+4=0,解得ρ1=2,ρ2=,故ρ1-ρ2=,即|MN|=.由于C2的半径为1,所以△C2MN的面积为.(10分)24.解析(Ⅰ)当a=1时,f(x)>1化为|x+1|-2|x-1|-1>0. 当x≤-1时,不等式化为x-4>0,无解;当-1<x<1时,不等式化为3x-2>0,解得<x<1;当x≥1时,不等式化为-x+2>0,解得1≤x<2.所以f(x)>1的解集为.(5分)(Ⅱ)由题设可得,f(x)=------所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A-,B(2a+1,0),C(a,a+1),△ABC的面积为(a+1)2.由题设得(a+1)2>6,故a>2.所以a的取值范围为(2,+ ).(10分)。
2015数学(理)全国I大联考(一)附参考答案
全国大联考2015届高三第一次联考·数学试卷考生注意:1.本试卷共150分.考试时间120分钟.2.答题前,考生务必将密封线内的项目填写清楚.3.请将各题答案填在试卷后面的答题卷上.4.交卷时,可根据需要在加注“”标志的夹缝处进行裁剪.5.本试卷主要考试内容:集合与常用逻辑用语、函数与导数.第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合M={x∈Z|-3<x<2},N={x∈Z|-1≤x≤3},则M∩N等于A.{0,1}B.{-1,0,1,2}C.{0,1,2}D.{-1,0,1}2.命题p:∀x∈R,x2+1≥1,则p是A.∀x∈R,x2+1<1B.∃x0∈R,+1≤1C.∃x0∈R,+1<1D.∃x0∈R,+1≥13.下列函数中,是偶函数且在(0,+∞)上为增函数的是A.y=cos xB.y=-x2+1C.y=log2|x|D.y=e x-e-x4.一元二次方程ax2+2x+1=0(a∈R且a≠0)有一正根和一负根的充分不必要条件是A.a<0B.a>0C.a<-1D.a>15.已知函数f(x)=ln(ax-1)的导函数是f'(x),且f'(2)=2,则实数a的值为A.B. C. D.16.已知a=0.-,b=sin ,c=log2.51.7,则a,b,c的大小关系是A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<c<a17.函数f(x)=x+sin x在x=处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为A.B. C. D.+18.设函数y=x3与y=()x-2的图象的交点为(x0,y0),且x0∈(m,m+1),m∈Z,则m的值为A.1B.2C.3D.49.已知“f(x)=xln x在定义域内单调递增”的否定为p,“已知f(x),g(x)的定义域都是R,若f(x),g(x)都是奇函数,则y=f(x)+g(x)是奇函数”的否命题为q,则下列命题为真命题的是A.p∨qB.p∧qC.p∧qD.p10.设函数y=f(x)在全体实数集R内有定义,对于给定的正数k,定义函数f k(x)=取函数f(x)=a-|x|(0<a<1),当k=时,函数f k(x)的值域为A.(0,a)∪(,+∞)B.[a,1]∪(,+∞)C.(0,a)∪[1,)D.(0,a]∪[1,)11.函数f(x)=的图象可能是A.(1)(3)B.(1)(2)(4)C.(2)(3)(4)D.(1)(2)(3)(4)12.设定义域为(0,+∞)的单调函数f(x),对任意的x∈(0,+∞),都有f[f(x)-log2x]=3,若x0是方程f(x)-f'(x)=2的一个解,则x0可能存在的区间是A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卷中的横线上.13.已知函数f(x)=则f[f(2)]=▲.214.(x+)dx=▲.15.已知函数f(x)=2ax2-ax+c的部分图象如图所示,且f'(x)是f(x)的导函数,若函数y=f'(x)的零点为m,则-m a+c=▲.16.给出下列命题:①若y=x3+ax在R上单调递增,则a≥0;②若p是q的充分必要条件,则p可能是q的必要不充分条件;③若函数f(x)是奇函数,则函数f(x+1)的图象关于点A(1,0)对称;④已知函数y=f(x)满足f(x+2)=2f(x),且当x∈[-1,1]时,f(x)=-|x|+1,则当x∈(0,5]时,函数y=f(x)与g(x)=lg x的图象有4个交点.其中真命题的序号为▲.(把所有真命题的序号都填上)三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)已知函数f(x)=-的定义域为集合A,函数g(x)=lg(-x2+2x+m)的定义域为集合B.(1)当m=3时,求A∩(R B);(2)若A∩B={x|-1<x<4},求实数m的值.18.(本小题满分12分)已知p:函数f(x)=(x-2)e x(e是自然对数的底数)在(m,2m)上是单调函数;q:“x2-2x≤0”是“x2-2mx-3m2≤0”的充分不必要条件.若p∨q为真,p∧q为假,求实数m的取值范围.319.(本小题满分12分)对于函数f(x),若在定义域内存在实数x,满足f(-x)=-f(x),则称f(x)为“局部奇函数”. (1)已知二次函数f(x)=ax2+2bx-4a(a≠0,b∈R),试判断f(x)是否为“局部奇函数”,并说明理由;(2)设f(x)=2x+m是定义在[-1,1]上的“局部奇函数”,求实数m的取值范围.20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=(其中e是自然对数的底数,常数a>0).-(1)当a=1时,求曲线在(0,f(0))处的切线方程;(2)若存在实数x∈(a,2],使得不等式f(x)≤e2成立,求a的取值范围.21.(本小题满分12分)在2014年南京“青奥会”来临之际,某礼品加工厂计划加工一套“青奥会”纪念礼品投入市场.已知每加工一套这样的纪念品的原料成本为30元,且每套礼品的加工费用为6元,若该纪念品投放市场后,每套礼品出厂的价格为x(60≤x≤100)元,根据市场调查可知,这种纪念品的日销售量q与成反比,当每套礼品的出厂价为81元时,日销量为200个.(1)若每天加工产品个数根据销量而定,使得每天加工的产品恰好销售完,求该礼品加工厂生产这套“青奥会”纪念品每日获得的利润y元与该纪念品出厂价格x元的函数关系;(2)若在某一段时间为了增加销量,计划将每套纪念品在每天获得最大利润的基础上降低t元进行销售,但保证每日的利润不低于9000元,求t的取值范围.22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ln x-ax2-bx(a,b∈R,且a≠0).(1)当b=2时,若函数f(x)存在单调递减区间,求a的取值范围;(2)当a>0且2a+b=1时,讨论函数f(x)的零点个数.42015届高三第一次联考·数学试卷参考答案1.D∵M={-2,-1,0,1},N={-1,0,1,2,3},∴M∩N={-1,0,1}.2.C全称命题的否定是特称命题,所以p是∃x0∈R,+1<1,故选C.3.C函数y=cos x为偶函数,但是在(0,+∞)上不单调;y=-x2+1为偶函数,在(0,+∞)上为减函数;y=e x-e-x 为奇函数;只有函数y=log2|x|符合题意.4.C设x1,x2是方程两个根,则满足题意的充要条件是x1·x2=<0,则由选项知充分不必要条件是a<-1.5.B由f(x)=ln(ax-1)可得f'(x)=-,由f'(2)=2可得-=2,解之得a=.6.D由指数函数y=0.6x的图象可知,当x<0时,y>1,∴0.->1;由于函数y=sin x在(0,)上单调递增,又0<<<,∴sin <sin =;函数y=log2.5x在(0,+∞)上单调递增,又<1.7<2.5,∴=log2.5<log2.51.7<1,∴b<c<a.7.A f(x)=x+sin x,则f'(x)=1+cos x,则f'()=1,而f()=+1,故切线方程为y-(+1)=x-.令x=0,可得y=1;令y=0,可得x=-1.故切线与两坐标轴围成的三角形面积为×1×1=.8.A令f(x)=x3-()x-2,易得函数f(x)在R上单调递增.又函数y=x3与y=()x-2的图象的交点为(x0,y0),所以f(x0)=0,即x0为f(x)的零点.又f(1)=1-()1-2=-1<0,f(2)=8-()2-2=7>0,且函数f(x)在R上单调递增,所以x0∈(1,2),所以m=1.9.C f(x)=xln x的定义域为(0,+∞),且f'(x)=ln x+1,当0<x<时,f'(x)<0,故f(x)在定义域上不是单调递增函数,故p是真命题;命题q为“已知f(x),g(x)的定义域都是R,若f(x),g(x)不都是奇函数,则5y=f(x)+g(x)不是奇函数”,这是假命题,例如f(x)=x+x2,g(x)=x-x2都不是奇函数,但y=f(x)+g(x)=2x是奇函数,故正确的命题为p∧q.10.B依题意,当k=时,由a-|x|≤(0<a<1),得|x|≤1,此时f k(x)==a|x|∈[a,1];由a-|x|>(0<a<1),得|x|>1,此时f k(x)=f(x)=a-|x|∈(,+∞).因此,当k=时,函数f k(x)的值域为[a,1]∪(,+∞).11.C取a=0,可知(4)正确;取a<0,可知(3)正确;取a>0,可知(2)正确;无论a取何值都无法作出(1).12.B由题易知f(x)-log2x为常数,令f(x)-log2x=k(常数),则f(x)=log2x+k,由f[f(x)-log2x]=3得f(k)=3.又f(k)=log2k+k=3,所以k=2,所以f(x)=log2x+2.再用零点存在定理验证可知选B.13.2因为2≤2,所以f[f(2)]=f(4)==2.14.(e2+1) (x+)dx=(x2+ln x)=e2+ln e-=(e2+1).15.-由图象可知f(1)=0,即2a-a+c=0,即a+c=0,又f'(x)=4ax-a,由图可知a<0,故y=f'(x)的零点为m=,故-m a+c=(-m0=--1=()-2-1=3-2-1=-.16.①④对于①,由y=x3+ax可得y'=3x2+a,要使函数单调递增,只需y'=3x2+a≥0恒成立,故a≥-3x2,可得a≥0,故①正确;对于②,若p是q的充分必要条件,则p一定是q的充分必要条件,故②错误;对于③,根据图象平移的“左加右减”的规律可知,f(x+1)的图象是由f(x)的图象向左平移了一个单位长度,故对称中心为(-1,0);对于④,作出函数图象可知在x∈(0,5]上,f(x)与g(x)有4个交点,则④正确.17.解:(1)由已知可得A={x|-1<x≤5}.当m=3时,B={x|-1<x<3},则R B={x|x≤-1或x≥3},∴A∩(R B)={x|3≤x≤5}. .............................................................. 5分(2)∵A={x|-1<x≤5},A∩B={x|-1<x<4},故4是方程-x2+2x+m=0的一个根,∴-42+2×4+m=0,解得m=8.此时B={x|-2<x<4},符合题意,因此实数m的值为8. ....................................... 10分18.解:由f(x)=(x-2)e x,可得f'(x)=(x-1)e x.由f'(x)>0,可得x>1,即f(x)在(1,+∞)上单调递增;由f'(x)<0,可得x<1,即f(x)在(-∞,1)上单调递减.若p为真,则或解之得0<m≤或m≥1. .................................. 4分6若q为真,分m大于0与小于0,可得m≥或m≤-2. ........................................ 6分由p∨q为真,p∧q为假,可得p,q一真一假.若p假q真,则m∈(-∞,-2]∪[,+∞)且m∈(-∞,0]∪(,1),即实数m的取值范围是(-∞,-2]∪[,1);.................................................. 8分若p真q假,则m∈(-2,)且m∈(0,]∪[1,+∞),即实数m的取值范围是(0,]. ................... 10分综上可知,若p∨q为真,p∧q为假,则实数m的取值范围是(-∞,-2]∪(0,]∪[,1). .............. 12分19.解:(1)f(x)为“局部奇函数”等价于关于x的方程f(-x)+f(x)=0有解,即f(x)+f(-x)=0⇒2a(x2-4)=0,........................................................... 3分解得x=±2,∴f(x)为“局部奇函数”.................................................... 5分(2)当f(x)=2x+m时,f(x)+f(-x)=0可转化为2x+2-x+2m=0,∵f(x)的定义域为[-1,1],∴方程2x+2-x+2m=0在[-1,1]上有解,令t=2x∈[,2],则-2m=t+.∵g(t)=t+在[,1)上递减,在[1,2]上递增,∴g(t)∈[2,],∴-2m∈[2,],即m∈[-,-1]. ........................................................... 12分20.解:(1)f(x)的定义域为{x|x≠a}.当a=1时,f(x)=-,f'(x)=--,∴f(0)=-1,f'(0)=-2,∴曲线在(0,f(0))处的切线方程为2x+y+1=0. .............................................. 4分(2)f'(x)=--,令f'(x)=0,得x=a+1,∴f(x)在(-∞,a),(a,a+1)上递减,在(a+1,+∞)上递增. ........................................ 6分若存在实数x∈(a,2],使不等式f(x)≤e2成立,只需在x∈(a,2]上,f(x)min≤e2成立.①当a+1≤2,即0<a≤1时,f(x)min=f(a+1)=e a+1≤e2,∴0<a≤1符合条件.................................................................. 10分②当a+1>2,即1<a<2时,f(x)min=f(2)=-≤e2,解得a≤1,又1<a<2,∴a∈⌀.综上,a的取值范围是(0,1]. ........................................................... 12分721.解:(1)根据条件可设q=,由条件可知,当x=81时,q=200,即200=,k=1800,∴q=,∴生产这套“青奥会”纪念品每日可以获得的利润为y=(x-30-6)·=(60≤x≤100). ........ 4分(2)由(1)可知y=,∴y'=--=.显然,当x>0时,y'>0,∴函数在[60,100]上单调递增,∴当x=100时,每日获得的利润最大,且最大值为y=-=11520(元),........................................................... 8分∴每套纪念品的价格降低t元后,每套纪念品的价格为100-t元,可以获得的利润为y=-,由条件只需-≥9000,令-=m,则可得m2-5m-36≥0,结合m>0可解得m≥9,即-≥9,解之得t≤19,结合条件可知t 的取值范围是(0,19]. ................................................................ 12分22.解:(1)当b=2时,函数f(x)=ln x-ax2-2x,其定义域是(0,+∞),∴f'(x)=-2ax-2=--.∵函数f(x)存在单调递减区间,∴f'(x)=--≤0在x∈(0,+∞)上有无穷多个解.∴关于x的不等式2ax2+2x-1≥0在x∈(0,+∞)上有无穷多个解.①当a>0时,函数y=2ax2+2x-1的图象为开口向上的抛物线,关于x的不等式2ax2+2x-1≥0在x∈(0,+∞)上总有无穷多个解.②当a<0时,函数y=2ax2+2x-1的图象为开口向下的抛物线,其对称轴为x=->0.要使关于x的不等式2ax2+2x-1≥0在x∈(0,+∞)上有无穷多个解.必须Δ=4+8a>0,解得a>-,此时-<a<0.综上所述,a的取值范围为(-,0)∪(0,+∞). ............................................... 6分(2)当b=1-2a时,函数f(x)=ln x-ax2-(1-2a)x,其定义域是(0,+∞),∴f'(x)=-2ax-(1-2a)=---,令f'(x)=0,得8--=0,即2ax2+(1-2a)x-1=0,(x-1)(2ax+1)=0,∵x>0,a>0,则2ax+1>0,∴x=1,当0<x<1时,f'(x)>0;当x>1时,f'(x)<0.∴函数f(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减.∴当x=1时,函数f(x)取得最大值,其值为f(1)=ln 1-a-b=-a-1+2a=a-1.①当a=1时,f(1)=0,若x≠1,则f(x)<f(1),即f(x)<0.此时,函数f(x)与x轴只有一个交点,故函数f(x)只有一个零点;②当a>1时,f(1)>0,又f()=ln-a·()2-(1-2a)×=-a(-1)2-<0,f(e)=ln e-ae2-(1-2a)e=1-ea(e-2)-e<0,函数f(x)与x轴有两个交点,故函数f(x)有两个零点;③当0<a<1时,f(1)<0,函数f(x)与x轴没有交点,故函数f(x)没有零点. ....................... 12分9。
2015年普通高等学校招生全国统一考试数学试题及答案(全word可编辑版,全解全析)
2015年普通高等学校招生全国统一考试课标全国Ⅰ理科数学注意事项:1.本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至5页.2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效.4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2015课标全国Ⅰ,理1)设复数z满足1+z=i,则|z|=()A.1B.2C.3D.2答案:A解析:∵1+z=i,∴z=i−1=(i−1)(−i+1)=i,∴|z|=1.2.(2015课标全国Ⅰ,理2)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=()A.-32B.32C.-12D.12答案:D解析:sin20°cos10°-cos160°sin10°=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin(10°+20°)=sin30°=12.3.(2015课标全国Ⅰ,理3)设命题p:∃n∈N,n2>2n,则p为()A.∀n∈N,n2>2nB.∃n∈N,n2≤2nC.∀n∈N,n2≤2nD.∃n∈N,n2=2n答案:C解析:∵p:∃n∈N,n2>2n,∴p:∀n∈N,n2≤2n.故选C.4.(2015课标全国Ⅰ,理4)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为()A.0.648B.0.432C.0.36D.0.312答案:A解析:由条件知该同学通过测试,即3次投篮投中2次或投中3次.故P=C320.62(1-0.6)+C330.63=0.648.5.(2015课标全国Ⅰ,理5)已知M(x0,y0)是双曲线C:x 22-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点.若MF1·MF2<0,则y0的取值范围是()A. −3,3B. −3,3C. −22,22D. −23,23答案:A解析:由条件知F1(-3,0),F2(3,0),∴MF1=(-3-x0,-y0),MF2=(3-x0,-y0),∴MF1·MF2=x02+y02-3<0.①又∵x022−y02=1,∴x02=2y02+2.代入①得y02<13,∴-3<y0<3. 6.(2015课标全国Ⅰ,理6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有( ) A .14斛 B .22斛 C .36斛 D .66斛 答案:B解析:设底面圆半径为R ,米堆高为h.∵米堆底部弧长为8尺,∴14·2πR=8,∴R=16π.∴体积V=1×1·πR 2h=1×π× 16 2×5.∵π≈3,∴V ≈3209(尺3). ∴堆放的米约为3209×1.62≈22(斛).7.(2015课标全国Ⅰ,理7)设D 为△ABC 所在平面内一点,BC =3CD ,则( )A .AD =-1AB +4AC B .AD =1AB −4AC C .AD =43AB +13AC D .AD=43AB −13AC 答案:A解析:如图:∵AD =AB +BD,BC =3CD , ∴AD =AB +43BC =AB +43(AC −AB )=-13AB +43AC. 8.(2015课标全国Ⅰ,理8)函数f (x )=cos(ωx+φ)的部分图像如图所示,则f (x )的单调递减区间为( ) A . kπ−1,kπ+3 ,k ∈Z B . 2kπ−1,2kπ+3 ,k ∈Z C . k −14,k +34 ,k ∈Z D . 2k −1,2k +3 ,k ∈Z 答案:D解析:不妨设ω>0,由函数图像可知,其周期为T=2× 54−14=2,所以2πω=2,解得ω=π. 所以f (x )=cos(πx+φ).由图像可知,当x=12 14+54=34时,f (x )取得最小值,即f 3 =cos3π+φ =-1,解得3π4+φ=2k π+π(k ∈Z ),解得φ=2k π+π4(k ∈Z ).令k=0,得φ=π,所以f (x )=cos πx +π.令2k π≤πx+π≤2k π+π(k ∈Z ),解得2k-14≤x ≤2k+34(k ∈Z ).所以函数f (x )=cos πx +π4的单调递减区间为 2k−14,2k +34(k ∈Z ).结合选项知应选D .9.(2015课标全国Ⅰ,理9)执行下面的程序框图,如果输入的t=0.01,则输出的n=( )A .5B .6C .7D .8答案:C解析:∵S=1,n=0,m=1,t=0.01,∴S=S-m=12,m=m 2=14,n=n+1=1,S>0.01,∴S=14,m=18,n=2,S>0.01,∴S=1,m=1,n=3,S>0.01,∴S=1,m=1,n=4,S>0.01,∴S=132,m=164,n=5,S>0.01,∴S=1,m=1,n=6,S>0.01,∴S=1,m=1,n=7,S<0.01,∴n=7.10.(2015课标全国Ⅰ,理10)(x 2+x+y )5的展开式中,x 5y 2的系数为( ) A .10 B .20 C .30 D .60 答案:C解析:由于(x 2+x+y )5=[(x 2+x )+y ]5,其展开式的通项为T r+1=C 5r (x 2+x )5-r y r (r=0,1,2,…,5),因此只有当r=2,即T 3=C 52(x 2+x )3y 2中才能含有x 5y 2项.设(x 2+x )3的展开式的通项为S i+1=C 3i (x 2)3-i ·x i =C 3i x 6-i(i=0,1,2,3),令6-i=5,得i=1,则(x 2+x )3的展开式中x 5项的系数是C 31=3,故(x 2+x+y )5的展开式中,x 5y 2的系数是C 52·3=10×3=30. 11.(2015课标全国Ⅰ,理11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r=( ) A .1 B .2 C .4 D .8 答案:B解析:由条件知,该几何体是由一个圆柱被过圆柱底面圆直径的平面所截剩下的半个圆柱及一个半球拼接而成,其表面积是一个矩形面积、两个半圆面积、圆柱侧面积的一半、球表面积的一半相加所得,所以表面积为S 表=2r×2r+2×12πr 2+πr×2r+12×4πr 2=5πr 2+4r 2=16+20π,解得r=2.12.(2015课标全国Ⅰ,理12)设函数f (x )=e x (2x-1)-ax+a ,其中a<1,若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<0,则a 的取值范围是( )A. −32e ,1B. −32e,34C.32e ,34D.32e,1答案:D解析:设g(x)=e x(2x-1),h(x)=a(x-1),则不等式f(x)<0即为g(x)<h(x).因为g'(x)=e x(2x-1)+2e x=e x(2x+1),当x<-12时,g'(x)<0,函数g(x)单调递减;当x>-12时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增.所以g(x)的最小值为g −1.而函数h(x)=a(x-1)表示经过点P(1,0),斜率为a的直线.如图,分别作出函数g(x)=e x(2x-1)与h(x)=a(x-1)的大致图像.显然,当a≤0时,满足不等式g(x)<h(x)的整数有无数多个.函数g(x)=e x(2x-1)的图像与y轴的交点为A(0,-1),与x轴的交点为D1,0.取点C −1,−3e.由图可知,不等式g(x)<h(x)只有一个整数解时,须满足k PC≤a<k PA.而k PC=0−−3e=3,k PA=0−(−1)=1,所以32e ≤a<1.故选D.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求做答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(2015课标全国Ⅰ,理13)若函数f(x)=x ln(x+ a+x2)为偶函数,则a=.答案:1解析:∵f(x)是偶函数,∴f(-1)=f(1).又f(-1)=-ln(-1+a+1)=ln a+1+1a,f(1)=ln(1+a+1),因此ln(a+1+1)-ln a=ln(a+1+1),于是ln a=0,∴a=1.14.(2015课标全国Ⅰ,理14)一个圆经过椭圆x 2+y2=1的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的标准方程为.答案: x−32+y2=25解析:由条件知圆经过椭圆的三个顶点分别为(4,0),(0,2),(0,-2),设圆心为(a,0)(a>0),所以(a−0)2+(0−2)2=4-a,解得a=32,故圆心为32,0,此时半径r=4-32=52,因此该圆的标准方程是 x−322+y2=254.15.(2015课标全国Ⅰ,理15)若x,y满足约束条件x−1≥0,x−y≤0,x+y−4≤0,则yx的最大值为.答案:3解析:画出约束条件对应的平面区域(如图),点A为(1,3),要使y最大,则y−0最大,即过点(x,y),(0,0)两点的直线斜率最大,由图形知当该直线过点A时,yx max =3−01−0=3.16.(2015课标全国Ⅰ,理16)在平面四边形ABCD 中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则AB 的取值范围是 . 答案:( 6− 2, 6+ 2) 解析:如图.作CE ∥AD 交AB 于E ,则∠CEB=75°,∠ECB=30°. 在△CBE 中,由正弦定理得,EB= − 延长CD 交BA 的延长线于F ,则∠F=30°. 在△BCF 中,由正弦定理得,BF= 6+ 2, 所以AB 的取值范围为( 6− 2, 6+ 2).三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)(2015课标全国Ⅰ,理17)S n 为数列{a n }的前n 项和.已知a n >0,a n 2+2a n =4S n +3. (1)求{a n }的通项公式; (2)设b n =1a n a n +1,求数列{b n }的前n 项和.解:(1)由a n 2+2a n =4S n +3,可知a n +12+2a n+1=4S n+1+3.可得a n +12−a n 2+2(a n+1-a n )=4a n+1,即2(a n+1+a n )=a n +12−a n 2=(a n+1+a n )(a n+1-a n ). 由于a n >0,可得a n+1-a n =2.又a 12+2a 1=4a 1+3,解得a 1=-1(舍去),a 1=3.所以{a n }是首项为3,公差为2的等差数列,通项公式为a n =2n+1. 6分(2)由a n =2n+1可知b n =1n n +1=1=11−1.设数列{b n }的前n 项和为T n ,则 T n =b 1+b 2+…+b n=12 13−15 + 15−17 +⋯+12n +1−12n +3=n . 12分18.(本小题满分12分)(2015课标全国Ⅰ,理18)如图,四边形ABCD 为菱形,∠ABC=120°,E ,F 是平面ABCD 同一侧的两点,BE ⊥平面ABCD ,DF ⊥平面ABCD ,BE=2DF ,AE ⊥EC.(1)证明:平面AEC ⊥平面AFC ;(2)求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值. 解:(1)连结BD ,设BD ∩AC=G ,连结EG ,FG ,EF.在菱形ABCD 中,不妨设GB=1. 由∠ABC=120°,可得AG=GC=由BE ⊥平面ABCD ,AB=BC ,可知AE=EC. 又AE ⊥EC ,所以EG= 3,且EG ⊥AC. 在Rt △EBG 中,可得BE= 2,故DF= 2. 在Rt △FDG 中,可得FG= 62.在直角梯形BDFE 中,由BD=2,BE= 2,DF= 22,可得EF=3 22. 从而EG 2+FG 2=EF 2,所以EG ⊥FG. 又AC ∩FG=G ,可得EG ⊥平面AFC.因为EG ⊂平面AEC ,所以平面AEC ⊥平面AFC. 6分(2)如图,以G 为坐标原点,分别以GB ,GC 的方向为x 轴、y 轴正方向,|GB |为单位长,建立空间直角坐标系G-xyz.由(1)可得A (0,- E (1,0, F −1,0,2,C (0, 3,0),所以AE =(1, 3, 2),CF= −1,− 3, 2 . 10分故cos <AE ,CF >=AE ·CF|AE ||CF|=- 33. 所以直线AE 与直线CF 所成角的余弦值为 3.12分19.(本小题满分12分)(2015课标全国Ⅰ,理19)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x (单位:千元)对年销售量y (单位:t)和年利润z (单位:千元)的影响.对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i=1,2,…,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.表中w i = x i ,w =18∑i =18w i. (1)根据散点图判断,y=a+bx 与y=c+d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立y 关于x 的回归方程;(3)已知这种产品的年利润z 与x ,y 的关系为z=0.2y-x.根据(2)的结果回答下列问题: ①年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少? ②年宣传费x 为何值时,年利润的预报值最大?附:对于一组数据(u 1,v 1),(u 2,v 2),…,(u n ,v n ),其回归直线v=α+βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^=∑i =1n(u i −u )(v i −v )∑i =1n(u i −u )2,α^=v −β^u .解:(1)由散点图可以判断,y=c+d x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型.2分(2)令w= x ,先建立y 关于w 的线性回归方程.由于d ^=∑i =18(w i −w )(y i −y )∑i =18(w i −w )2=108.81.6=68, c ^=y −d ^w =563-68×6.8=100.6,所以y 关于w 的线性回归方程为y ^=100.6+68w ,因此y 关于x 的回归方程为y ^=100.6+68 x . 6分(3)①由(2)知,当x=49时,年销售量y 的预报值y ^=100.6+68 49=576.6,年利润z 的预报值z ^=576.6×0.2-49=66.32. 9分②根据(2)的结果知,年利润z 的预报值z ^=0.2(100.6+68 x )-x=-x+13.6 x +20.12.所以当 x =13.6=6.8,即x=46.24时,z ^取得最大值.故年宣传费为46.24千元时,年利润的预报值最大.12分20.(本小题满分12分)(2015课标全国Ⅰ,理20)在直角坐标系xOy 中,曲线C :y=x 24与直线l :y=kx+a (a>0)交于M ,N两点.(1)当k=0时,分别求C 在点M 和N 处的切线方程;(2)y 轴上是否存在点P ,使得当k 变动时,总有∠OPM=∠OPN ?说明理由. 解:(1)由题设可得M (2 a ,a ),N (-2 a ,a ),或M (-2 a ,a ),N (2 a ,a ).又y'=x 2,故y=x 24在x=2 a 处的导数值为 a ,C 在点(2 a ,a )处的切线方程为y-a= a (x-2 a ),即 a x-y-a=0. y=x 2在x=-2 a 处的导数值为- a ,C 在点(-2 a ,a )处的切线方程为y-a=- a (x+2 a ),即 a x+y+a=0. 故所求切线方程为 a x-y-a=0和 a x+y+a=0. 5分(2)存在符合题意的点,证明如下:设P (0,b )为符合题意的点,M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),直线PM ,PN 的斜率分别为k 1,k 2. 将y=kx+a 代入C 的方程得x 2-4kx-4a=0. 故x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-4a.从而k 1+k 2=y 1−b x 1+y 2−bx 2=2kx 1x 2+(a−b )(x 1+x 2)x 1x 2=k (a +b )a.当b=-a 时,有k 1+k 2=0,则直线PM 的倾角与直线PN 的倾角互补,故∠OPM=∠OPN ,所以点P (0,-a )符合题意. 12分21.(本小题满分12分)(2015课标全国Ⅰ,理21)已知函数f (x )=x 3+ax+1,g (x )=-ln x.(1)当a 为何值时,x 轴为曲线y=f (x )的切线;(2)用min{m ,n }表示m ,n 中的最小值,设函数h (x )=min{f (x ),g (x )}(x>0),讨论h (x )零点的个数. 解:(1)设曲线y=f (x )与x 轴相切于点(x 0,0),则f (x 0)=0,f'(x 0)=0,即 x 03+ax 0+1=0,3x 02+a =0.解得x 0=1,a=-3.因此,当a=-34时,x 轴为曲线y=f (x )的切线. 5分(2)当x ∈(1,+∞)时,g (x )=-ln x<0,从而h (x )=min{f (x ),g (x )}≤g (x )<0,故h (x )在(1,+∞)无零点. 当x=1时,若a ≥-54,则f (1)=a+54≥0,h (1)=min{f (1),g (1)}=g (1)=0,故x=1是h (x )的零点;若a<-54,则f (1)<0,h (1)=min{f (1),g (1)}=f (1)<0,故x=1不是h (x )的零点.当x ∈(0,1)时,g (x )=-ln x>0.所以只需考虑f (x )在(0,1)的零点个数.(ⅰ)若a ≤-3或a ≥0,则f'(x )=3x 2+a 在(0,1)无零点,故f (x )在(0,1)单调.而f (0)=14,f (1)=a+54,所以当a ≤-3时,f (x )在(0,1)有一个零点;当a ≥0时,f (x )在(0,1)没有零点.(ⅱ)若-3<a<0,则f (x )在 0, −3单调递减,在 −3,1 单调递增,故在(0,1)中,当x= −3时,f (x )取得最小值,最小值为f −a =2a −a +1. ①若f −a >0,即-3<a<0,f (x )在(0,1)无零点; ②若f −a =0,即a=-3,则f (x )在(0,1)有唯一零点;③若f −3 <0,即-3<a<-34,由于f (0)=14,f (1)=a+54,所以当-54<a<-34时,f (x )在(0,1)有两个零点;当-3<a ≤-54时,f (x )在(0,1)有一个零点.10分综上,当a>-3或a<-5时,h (x )有一个零点;当a=-3或a=-5时,h (x )有两个零点;当-5<a<-3时,h (x )有三个零点. 12分请考生在第22、23、24三题中任选一题做答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分,做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.(本小题满分10分)(2015课标全国Ⅰ,理22)选修4—1:几何证明选讲如图,AB是☉O的直径,AC是☉O的切线,BC交☉O于点E.(1)若D为AC的中点,证明:DE是☉O的切线;(2)若OA=3CE,求∠ACB的大小.解:(1)连结AE,由已知得,AE⊥BC,AC⊥AB.在Rt△AEC中,由已知得,DE=DC,故∠DEC=∠DCE.连结OE,则∠OBE=∠OEB.又∠ACB+∠ABC=90°,所以∠DEC+∠OEB=90°,故∠OED=90°,DE是☉O的切线.5分(2)设CE=1,AE=x,由已知得AB=2,BE=2.由射影定理可得,AE2=CE·BE,所以x2=12−x2,即x4+x2-12=0.可得x=3,所以∠ACB=60°.10分23.(本小题满分10分)(2015课标全国Ⅰ,理23)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C1,C2的极坐标方程;(2)若直线C3的极坐标方程为θ=π4(ρ∈R),设C2与C3的交点为M,N,求△C2MN的面积.解:(1)因为x=ρcosθ,y=ρsinθ,所以C1的极坐标方程为ρcosθ=-2,C2的极坐标方程为ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0.5分(2)将θ=π4代入ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0,得ρ2-32ρ+4=0,解得ρ1=22,ρ2= 2.故ρ1-ρ2=2,即|MN|= 2.由于C2的半径为1,所以△C2MN的面积为1.10分24.(本小题满分10分)(2015课标全国Ⅰ,理24)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0.(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;(2)若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.解:(1)当a=1时,f(x)>1化为|x+1|-2|x-1|-1>0.当x≤-1时,不等式化为x-4>0,无解;当-1<x<1时,不等式化为3x-2>0,解得2<x<1;当x≥1时,不等式化为-x+2>0,解得1≤x<2.所以f(x)>1的解集为 x2<x<2.5分(2)由题设可得,f(x)=x−1−2a,x<−1,3x+1−2a,−1≤x≤a,−x+1+2a,x>a.所以函数f(x)的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A2a−13,0,B(2a+1,0),C(a,a+1),△ABC的面积为2(a+1)2.由题设得23(a+1)2>6,故a>2.所以a的取值范围为(2,+∞).10分。
湖北两校2015年1月高二数学联考试卷理科附答案大纲版
湖北两校2015年1月高二数学联考试卷（理科附答案大纲版）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1、已知ξ～B （n ，p ），且Eξ=7，Dξ=6，则p 等于（ ）A ．17B ．16C ．15D ．142、在空间中，若α、β表示不同的平面，l 、m 、n 表示不同直线，则以下命题中正确的有（ ）①若l ∥α，m ∥β，l ∥m ，则α∥β ②若l ⊥α，m ⊥β，l ⊥m ，则α⊥β ③若m ⊥α，n ⊥β，m ∥n ，则α∥β ④若α∥β，α⊂m ，β⊂n ，则m ∥nA ．①④B ．②③C ．②④D ．②③④3. 某大学数学专业一共有160位学生，现将学生随机编号后用系统抽样的方法抽取一个容量为5的样本，已知40号、72号、136号同学在样本中，那么样本中还有2位同学的编号应该为 （ ） A ．104,10 B ．104,8 C ．106,10 D ．106,84. 两变量y 与x 的回归直线方程为3－2x y =∧,若17101=∑=i ix,则∑=101i i y 的值为 （ ）A ．3B ．4C ．4.0D ．405.已知nx x)1(- 的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式中的常数项等于（ ）A ．20-B ．20C ．15-D ．156. 从1,2,3,4,5,6,7中任取两个不同的数，事件=A “取到的两个数之和为偶数”， 事件=B “取到的两个数均为偶数”，则()A B P = ( )A ．73 B ．74 C ．31 D ． 327．如图2是歌手大奖赛中，七位评委给甲、乙两名选手打出的分数的 茎叶图(其中m 为0～9中的一个正整数)，现将甲、乙所得的一个最 高分和一个最低分均去掉后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为 12a a ，,中位数分别为12b b ，,则有( )A ．12a a > , 12b b > ，B ．12a a < , 12b b >C ．12a a < , 12b b < ，D ．12a a ，与12b b ，大小均不能确定8．2014年索契冬奥运会某项目参赛领导小组要从甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中甲、乙只能从事前三项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 ( )A ．18种 B ．36种 C ．48种 D ．72种9.已知椭圆2214x y +=的焦点为12,F F ；在长轴12A A 上任取一点M ，过M 作垂直于12A A 的直线交椭圆于P 点，则使120PF PF ∙<的概率是（ ）C.34D.1210．已知矩形ABCD ，1AB =，BC =ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中，下列结论正确的是 （ ） A ．存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直B ．存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直 C ．存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直D ．对任意位置，三对直线“AC 与BD ”，“ AB 与CD ”，“ AD 与BC ”均不垂直二、填空题：每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11．若某学校要从5名男生和2名女生中选出3人作为志愿者，则选出的志愿者中男女生均不少于1名的概率是 . .12. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积 为 .13. 随机变量ξ的概率分布规律为P(ξ=k)=a(11-2k)(k ＝1，2，3，4,5)，其中a 是常数，则P(52 ＜ξ＜133) 的值为 . 14．已知圆22:1,O x y +=点()00,P x y 在直线20x y --=上,O 为坐标原点.若圆上存在点Q 使得30OPQ ∠=,则0x 的取值范围为 .15．过点(1,1)M 作斜率为12-的直线与椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>相交于A,B ，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率为 .三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分）一组数据4,7,10,s ,t 的平均数是7,n 是这组数据的中位数,设()21()nf x x x=-.（1）求()x f 的展开式中1-x 的项的系数;（2）求()x f 的展开式中系数最大的项和系数最小的项.图217．（本题满分12分）号码为1、2、3、4、5、6的六个大小相同的球，放入编号为1、2、3、4、5、6的六个盒子中，每个盒子只能放一个球．（1）若1号球只能放在1号盒子中，2号球只能放在2号的盒子中，则不同的放法有多少种？ （2）若3号球只能放在1号或2号盒子中，4号球不能放在4号盒子中，则不同的放法有多少种？ （3）若5、6号球只能放入号码是相邻数字的两个盒子中，则不同的放法有多少种？18. (本小题满分12分)已知圆C 的圆心在射线03=-y x )0(≥x 上，圆C 与x 轴相切，且被直线0=-y x 截得的弦长为72 ，求：(1)求圆C 的方程；(2)点),(y x P 为圆C 上任意一点，不等式0≥++m y x 恒成立，求实数m 的取值范围。
2015六市联考 河南省六市2015届高三第一次联考数学(理)试题 扫描版含答案
数学(理科）参考答案17.（本小题满分12分）解：（１）设等差数列{}n a 的公差为d ，则依题设0d >．由2614a a +=,可得47a =．由3545a a =，得(7)(7)45d d -+=，可得2d =．所以1731a d =-=．可得21n a n =-．……………………………4分 （２）设2nn nb c =，则121n n c c c a +++=+.即122n c c c n +++=，可得12c =，且1212(1)n n c c c c n +++++=+．所以12n c +=，可知2n c =(*)n ∈N ．………………8分 所以12n n b +=，所以数列{}n b 是首项为4，公比为2的等比数列．所以前n 项和24(12)2412n n n S +-==--． …………………………12分18. （本小题满分12分） 解：（１）设“甲队获第一且丙队获第二”为事件A ，则 1111()(1);34318P A =⨯⨯-= ………………………………………6分 （２）ξ可能的取值为0，3，6；则 甲两场皆输：111(0)(1)(1),342P ξ==-⨯-=甲两场只胜一场：11115(3)(1)(1)344312P ξ==⨯-+⨯-= 甲两场皆胜：111(6)3412P ξ==⨯=，ξ∴的分布列为：132E ξ=⨯+19. （本小题满分12分）22(,2,),((1,(1DB DE DB E λλλ=--=⇒-- (2,0,0),((1,(1MA ME λλ==-- 0(0,1,2)0n MA n n ME λλ⎫⋅=⎪⇒=--⎬⋅=⎪⎭ …………………………………………10分二面角D AM E --得，12λ=，即：E 为DB 的中点。
…………………………………………12分20. （本小题满分12分）解：（1）椭圆C 的方程为13422=+y x ……………………………………4分（2）联立224143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消x 得22(34)24360m y my +++=222(24)436(34)144(4)0m m m ∆=-⨯+=->，即24m > ………………6分设Q(11,x y ），22(,)R x y ，则11'(,)Q x y -由韦达定理有12212224,(1)3436,(2)34m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩直线RQ 的方程为211121()y y y x x y x x +=---令0=y ，得122112121212121212(4)(4)24()x y x y my y y my my y y y x y y y y y y ++++++===+++将①，②代人上式得1=x ，…………………………………………9分 又121||||2TRQ S ST y y ∆=-= =18≤① ②当3282=m 时取得. ………………………………………………12分21.（本小题满分12分）(1)解：f′(x)＝2x －(a －2)－22221a x a x a x a x x x x－（－）－（－)(＋）＝＝(x>0)． 当a ≤0时，f′(x)>0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，函数f(x)的单调增区间为(0，＋∞)． 当a >0时，由f′(x)>0，得x>2a ；由f′(x)<0，得0<x< 2a. 所以函数f(x)的单调增区间为,2a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭，单调减区间为0,2a ⎛⎫⎪⎝⎭. …………….4分 (2)解：由(1)得，若函数f(x)有两个零点则a >0，且f(x)的最小值f 2a ⎛⎫⎪⎝⎭<0，即－a 2＋4a －4a ln 2a <0. 因为a >0，所以a ＋4ln2a －4>0.令h(a )＝a ＋4ln 2a－4，显然h(a )在(0，＋∞)上为增函数， 且h(2)＝－2<0，h(3)＝4ln32－1＝ln 8116－1>0，所以存在a 0∈(2，3)，h(a 0)＝0. 当a >a 0时，h(a )>0；当0<a <a 0时，h(a )<0.所以满足条件的最小正整数a ＝3 ………8分(3)证明：因为x 1、x 2是方程f(x)＝c 的两个不等实根，由(1)知a >0. 不妨设0<x 1<x 2，则21x －(a －2)x 1－a lnx 1＝c ，22x －(a －2)x 2－a lnx 2＝c. 两式相减得21x －(a －2)x 1－a lnx 1－22x ＋(a －2)·x 2＋a lnx 2＝0，即21x ＋2x 1－22x －2x 2＝a x 1＋a lnx 1－a x 2－a lnx 2＝a (x 1＋lnx 1－x 2－lnx 2)．所以a ＝221122112222ln ln x x x x x x x x ＋－－＋－－.因为f′2a ⎛⎫⎪⎝⎭＝0，当x ∈0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，f′(x)<0， 当x ∈,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭时，f′(x)>0，故只要证122x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋> 2a即可，即证明x 1＋x 2> 221122112222ln ln x x x x x x x x ＋－－＋－－， 即证明21x －22x ＋(x 1＋x 2)(lnx 1－lnx 2) < 21x ＋2x 1－22x －2x 2，即证明ln12x x <121222x x x x －＋.设t ＝12x x (0<t<1)． 令g(t)＝lnt －221t t －＋，则g′(t)＝22214111t t t t t （－）－＝（＋）（＋）. 因为t>0，所以g′(t)≥0，当且仅当t ＝1时，g′(t)＝0，所以g(t)在(0，＋∞)上是增函数．又g(1)＝0，所以当t ∈(0，1)时，g(t)<0总成立．所以原题得证 ………………12分∴)29427(4152+⨯=PA ，解得4315=PA ． ……………………………………10分23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程解：（1）消去参数得直线l 的直角坐标方程：x y 3=---------2分由⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x 代入得 θρθρcos 3sin =)(3R ∈=⇒ρπθ.（ 也可以是：3πθ=或)0(34≥=ρπθ）---------------------5分 （2⎪⎩⎪⎨⎧==--+303sin 2sin cos 2222πθθρθρθρ 得 0332=--ρρ-----------------------------7分设)3,(1πρA ，)3,(2πρB ， 则154)(||||2122121=-+=-=ρρρρρρAB .---------10分（若学生化成直角坐标方程求解，按步骤对应给分）24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲解：（1)记⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<----≤=+--=1,312,122,3|2||1|)(x x x x x x x f ，由0122<--<-x 解得：2121<<-x ， 即)21,21(-=M ……………………………………………………3分 所以，4121612131||61||31|6131|=⨯+⨯<+≤+b a b a ; ……………………5分（2）由（1）得：412<a ，412<b ，因为=---22||4|41|b a ab )2(4)1681(2222b ab a b a ab +--+- 0)14)(14(22>--=b a ………………9分 故22||4|41|b a ab ->-，即||2|41|b a ab ->- ……………………10分。
2015年全国考研数学一真题
1
）
2 3
（A） 2 y2 y2 y2
（C） 2 y2 y2 y2
1 2 3
（B） 2 y2 y2 y2
1 2
3
（D） 2 y2 y2 y2
1 2
3
7、若 A, B 为任意两个随机事件，则（
（A） P( AB) P( A ) P ( B )
）
（B） P( AB) P( A ) P ( B )
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4、 设 D 是第一象限中曲线2xy 1, 4xy 1 与直线 y x, y 函数 f ( x, y) 在 D 上连续，则
1
3x 围成的平面区域，
f (x, y)dxdy （
D
）
sin 2 f (r cos,r sin)rdr （A） 2 d 1 4 2sin 2 1
1 1 1 d 0 1 0 0 d2
1 a 1 a 1a 2
d 1 d 1d 2 1
Ax b 有无穷多解 R( A) R( A, b) 3 a 1或 a 2 且 d 1 或 d 2
23、 （本题满分 11 分） 设总体 X 的概率密度为 1 f ( x;)= 1 0
x1
其他
其中为未知参数， X1，X 2 ..... Xn 为来自该总体的简单随机样本. （Ⅰ）求的矩估计. （Ⅱ）求的最大似然估计.
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2015 年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷
由 4xy 1 得， 4r 2 cossin1, r
1
所以
D
f (x, y)dxdy 3 d sin 2 1f (r cos, r sin)rdr
考研数学真题 2015年1月
10．一件工作，甲、乙两人合作需要 2 天，人工费 2900 元；乙、丙两个人合作需要 4 天，人工费
2600 元；甲、丙两人合作 2 天完成全部工作量的 5 ，人工费 2400 元，甲单独完成这一工作需要的 6
时间与人工费分别为（）
（A）3 天，3000 元
（B）3 天，2580 元
（C）3 天，2700 元
v
0.8v
2S S 45 S
vv
2
，
S 270,
解得
v
3 2
，所以 2S=540km.故选 D.
6．在某次考试中，甲、乙、丙三个班的平均成绩分别为 80，81 和 81.5，三个班的学生得分之和为
6952，三个班共有学生（ ）
（A）85 名
（B）86 名
（C）87 名 （D）88 名
（E）90 名
6q 19 10q 5 0 ，将负值舍去，解得 q 1 ，
2
14．某次网球比赛的四强对阵为甲对乙，丙对丁，两场比赛的胜者将争夺冠军.选手之间相互获胜的
概率如下
甲
乙
丙
丁
甲获胜概率
0.3
0.3
0.8
5
乙获胜概率 0.7
0.6
丙获胜概率 0.7
0.4
丁获胜概率 0.2
0.7
0.5
则甲获得冠军的概率为（）
（B） a2 1
（C） a2 1
（D） a2 2
（E） a 2
3
【答案】A 【考点】韦达定理的应用 【解析】 考察韦达定理的扩展应用，不用求根，就可以求出一些代数式的值。
由韦达定理得
x1 x1x2
x2
a 1
，
x12 x22 (x1 x2 )2 2x1x2 a2 2(1) a2 2 .
2015年考研数学一真题及答案
【答案】 2n1 2
【考点】行列式的计算 【难易度】★★★ 【详解】按第一行展开得
2n1 2
14、设二维随机变量 ( X ,Y ) 服从正态分布 N (1, 0,1,1, 0) ，则 P( XY Y 0)
.
1
【答案】
2
【考点】 【难易度】★★
【详解】(X ,Y ) ~ N(1, 0,1,1, 0) ， X ~ N (1,1),Y ~ N (0,1), 且 X ,Y 独立
x
a
x
x2 2
x3 3
x3
bx
x
x3 3!
x3
1
a
x
a 2
b
x2
a 3
x3
x3
f (x)与g(x) kx3 是等价无穷小
1+a 0
a 2
b
0
a k 3
a 1
b
1 2
k
1 3
16、（本题满分 10 分）
设函数在 f (x) 定义域 I 上的导数大于零，若对任意的 x0 I ，曲线 y f (x) 在点 (x0, f (x0 )) 处
【答案】(A) 【考点】二次型 【难易度】★★
2 0 0
【详解】由 x Py ，故
f
xT Ax
yT
(PT
AP ) y
2 y 12
y
2 2
y
2 3
且：
PT
AP
0
1
0
0 0 1
3
1 0 0
2 0 0
Q P 0 0 1 PC,Q T AQ C T (P T AP)C 0 1 0
0 1 0
已知函数 f (x, y) x y xy ，曲线 C : x 2 y 2 xy 3 ，求 f (x, y) 在曲线 C 上的最大方向
2015年1月联考数学真题
N (a1 a2 ... a n )(a2 a3 ... a n 1 ) ，则 M N 。
（1） a1 0 【参考答案】B 【知识点】不等式运算 【名师讲解】设 a2 a3 ... a n 1 X ，则 M N (a1 X )( X a n ) (a1 X a n ) X a1a n ， 故条件（2）单独充分，故选 B （2） a1an 0
1 8
【参考答案】B 【知识点】均值定理 【名师讲解】过 A、B 两点的直线方程为： 2 x y 2 0 ，故 M ( x, y ) 满足 2 x y 2 ；矩形面积 为 xy ， 2 x y 2 2 xy , 所以 2 2 xy 2, 则 xy
1 , （ 2 x y 时等号成立），故选 B 2
设甲人工费每天 l 元，乙每天 m 元，丙 n 元。 则有 2 l m 2900 ， 4( m n) 2600 ， 2(l n) 2400 。 解得 l 1000, m 450, n 200 。故甲需要3天，3000元，故选A
14. 某次网球比赛的四强对阵为甲对乙，丙对丁，两场比赛的胜者将争夺冠军，选手之
连接 OA ,因为 ABC 30 ,则 BOA 120 ,等腰
t S S 0.75) 0.8 ，解得 t 6 ； 2 t 2 S t 由后半程得： ( 0.75) 120 ，解得 S 540 ，故选D 2 2
由前半程得： ( 6. 在某次考试中，甲、乙、丙三个班的平均成绩分别为80、81 和81.5，三个班的学生 分数之和为 6952，三个班共有学生（ ） （A）85 名 （B）86 名 （C）87 名 （D）88 名 （E）90 名 【参考答案】B 【知识点】至多至少问题 【名师讲解】全班人数记为 M，则有
湖北省八校2015届高三第一次联考理科数学试卷(解析版)
2
2
则 (a x
1
)6 含 x2 项的系数为
C
1 6
2
5
(
1)
x
192 ，故选择 A.
考点：定积分，二项式定理
4．棱长为 2 的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么
该几何体的体积是（
）
A． 14
B
3
【答案】 B
． 4 C ． 10 3
D
．3
【解析】几何体如图，体积为：
4
2x
6 ( 2x0
x
4 x0
6)
2
2( x x0 )(1
)
x0 x
2 (x x0 )( x
x
2 ).
x0
当 x0
2 时，
x在
2 x0 ,
上单调递减， 所以当 x
x0
2 x0 ,
时，
( x)
x0
( x0) 0. 从
而有 x
2 x0 , x0
时， ( x) x x0
0；
当 x0
2 时，
x在
2 x0 , x0
x
f / ( x0 ) 2 x0
4 6. x0
所以切线方程为 y g ( x)
4 2x0 x0 6 x x0
x02 6x0 4ln x0
2 x0
4 x0
6 x x02
4ln x0
4
x
f Байду номын сангаас gx
x2 6x 4ln x
4
2x0
6 x x0
x0
x
2 0
6x0
4ln x0 ，
则 ( x0 )