名师揭秘2019年高考数学(文理)命题热点全覆盖(全套33份)(精编)

名师揭秘2019年高考数学（文理）命题热点全覆盖（33份）
专题01 集合的解题技巧
一、集合的解题技巧及注意事项
1.元素与集合，集合与集合关系混淆问题；
2.造成集合中元素重复问题；
3.隐含条件问题；
4.代表元变化问题；
5.分类讨论问题；
6．子集中忽视空集问题；
7.新定义问题；
8.任意、存在问题中的最值问题；
9.集合的运算问题；
10.集合的综合问题。

二．知识点
【学习目标】
1．了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系，能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)来描述不同的具体问题，理解集合中元素的互异性；
2．理解集合之间包含和相等的含义，能识别给定集合的子集，了解在具体情境中全集与空集的含义；3．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集，理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；
4．能使用韦恩(Venn)图表达集合间的关系与运算．
【知识要点】
1．集合的含义与表示
(1)一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合，简称集．
(2)集合中的元素的三个特征：确定性、互异性、无序性
(3)集合的表示方法有：描述法、列举法、区间法、图示法
(4)集合中元素与集合的关系分为属于与不属于两种，分别用“∈”或“∉”来表示．
(5)常用的数集：自然数集N；正整数集N*(或N＋)；整数集Z；有理数集Q；实数集R.
2．集合之间的关系
(1)一般地，对于两个集合A ，B .如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作A B ⊆；若A ⊆B ，且A ≠B ，则A B ⊂，我们就说A 是B 的真子集．
(2)不含任何元素的集合叫做空集，记作Φ，它是任何集合的子集，即∅⊆A ． 3．集合的基本运算
(1)并集：A ∪B ＝{x |x ∈A 或x ∈B }； (2)交集：A ∩B ＝{x |x ∈A 且x ∈B }； (3)补集：∁U A ＝．
4．集合的运算性质
(1)A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅；
(2)A ∪B ＝A ⇔A ⊇B ，A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ； (3)A ⊆B ，B ⊆C ，则A ⊆C ；
【点评】：注意两个集合代表元的条件，容易忽视集合中元素属于整数的条件.
练习2．【江西省九江市2019届高三第一次联考】已知集合
，集合
,则图中的阴影部分表示的集合是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【分析】图中阴影部分表示的集合为，所以先求出集合A,B 后可得结论．
【解析】由题意得，
所以
，
即图中阴影部分表示的集合为．
故选C ．
【点评】本题考查集合的元素、韦恩图和集合的补集运算，解题的关键是认清图中阴影部分表示的集合以及所给集合中元素的特征，属于基础题．
（四）代表元变化问题
【内蒙古鄂尔多斯市一中2018-2019模拟】已知A＝{y|y＝log2x，x>1}，B=,则（) 例4．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用对数性质和交集定义求解．
【解析】∵A={y|y=log2x，x>1}={y|y>0}，B=，
∴A∩B={x|0x≤1}= ．
故选C．
【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要注意对数函数的性质的灵活运用．
练习1.【华东师范大学附中2018-2019学年试题】集合，的元素只有1个，则的取值范围是__________.
【答案】
【分析】由中有且仅有一个元素，可知两个方程联立得到方程是一次方程或二次方程有两个相等的根；利用分类讨论思想，可求出的范围.
【解析】联立即，
是单元素集，分两种情况考虑:
，方程有两个相等的实数根，即，可得,解得
，方程只有一个根，符合题意，综上,的范围为故答案为.
【点评】本题主要考查集合交集的定义与性质以及一元二次方程根与系数的关系，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.
练习2.同时满足：①M ⊆{1，2，3，4，5}；②a∈M且6－a∈M的非空集合M有()
A．9个B．8个C．7个D．6个
【答案】C
共有7个集合满足条件，故选C.
【点评】本题主要考查了元素与集合的关系，以及集合与集合的关系的判定与应用，其中熟记元素与集合的关系，以及集合与集合的包含关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
（五）分类讨论问题
例5. 【九江市2019届高三第一次十校联考】（1）求解高次不等式的解集A；
（2）若的值域为B,A B=B求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用讨论的方法求得不等式的解集A；（2）根据函数的单调性求出值域B，由得，转化为不式等组求解，可得所求范围．
【解析】（1）①当时，原不等式成立．
②当时，原不等式等价于，解得.，综上可得原不等式的解集为，
∴．
（2）由题意得函数在区间上单调递减，
∴，
∴，∴．
∵，∴，
∴，解得，∴实数的取值范围是．
【点评】解答本题时注意转化思想方法的运用，已知集合的包含关系求参数的取值范围时，可根据数轴将问题转化为不等式（组）求解，转化时要注意不等式中的等号能否成立，解题的关键是深刻理解集合包含关系的含义．
练习1.设集合，，
若，求实数a的取值范围；
若，求实数a的取值范围．
【答案】（1）（2）
【分析】（1）由题意得，，根据可得，从而可解出的取值范围；（2）
先求出，根据可得到，解出的取值范围即可．
【解析】由题意得，
；
（1）∵，
∴，解得，
又，∴，∴实数的取值范围为．
（2）由题意得，
∵，
∴，解得．∴实数的取值范围为．
【点评】本题考查集合表示中描述法的定义，一元二次不等式的解法，子集的概念，以及交集的运算．根据集合间的包含关系求参数的取值范围时，注意转化方法的运用，特别要注意不等式中的等号能否成立．（六）子集中忽视空集问题
例6【云南省2018-2019学年期中考试】已知集合，若，则的取值集合是（）
A．B．C．D．
【分析】本题考查集合间的包含关系，先将集合，化简，然后再根据分类讨论．
【解析】∵集合
∴
若，即时，满足条件；
若，则.
∵
∴或∴或
综上，或或.
故选C.
【点评】本题主要考查利用集合子集关系确定参数问题，易错点是化简集合时没有注意时的特殊情况．
练习1.已知集合，．
（1）若，求;
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】(1) (2) 或
【点评】由集合间的关系求参数时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点（七）新定义问题
例7．【清华附属中2018-2019学年试题】集合A，B的并集A∪B＝｛1，2｝，当且仅当A≠B时，（A，B）与（B，A）视为不同的对，则这样的（A，B）对的个数有__________.
【分析】根据条件列举，即得结果.
【解析】由题意得满足题意的（A，B）为：A=，B＝｛1，2｝；A=｛1｝，B＝｛2｝；A=｛1｝，B＝｛1，2｝；A=｛2｝，B＝｛1｝；A=｛2｝，B＝｛1，2｝；A=｛1，2｝，B＝；A=｛1，2｝，B＝｛1｝；A=｛1，2｝，B＝｛2｝；共8个.
【点评】本题考查集合子集与并集，考查基本分析求解能力.
练习1．【华东师范大学附中2019届高三数学试卷】已知集合M=，集合M的所有非空子集依次记为：M1，M2，...,M15，设m1，m2，...，m15分别是上述每一个子集内元素的乘积，规定：如果子集中只有一个元素，乘积即为该元素本身，则m1+m2+...+m15=_____
【答案】
【分析】根据二项式定理的推导过程构造出函数，当时，函数的值就是所有子集的乘积。

【解析】集合的所有非空子集的乘积之和为函数展开式中所有项数之和
令，
故答案为
【点评】本题主要考查的是元素与集合关系的判定，函数展开式的系数问题，构造函数求解，注意转化思想的应用，属于难题。

练习2.对于集合M，定义函数fM(x)＝对于两个集合A，B，定义集合A△B＝{x|fA(x)·fB(x)＝－1}．已知A＝{2,4,6,8,10}，B＝{1,2,4,8,12}，则用列举法写出集合A△B的结果为()
A．{1,6,10,12} B．{2,4,8}
C．{2,8,10,12} D．{12,46}
【答案】A
【分析】根据fA(x)·fB(x)＝－1，必有x∈{x|x∈A且x∉B}∪{x|x∈B且x∉A}，即可求解.
【解析】要使fA(x)·fB(x)＝－1，必有x∈{x|x∈A且x∉B}∪{x|x∈B且x∉A}＝{1,6,10,12}，所以A△B＝{1,6,10,12}．
【点评】本题主要考查了集合的元素、集合的并集，集合描述法的理解，属于中档题.
（八）任意、存在问题中的最值问题.
例8.【辽宁省实验中学2018-2019学年试题】已知函数的定义域为，函数
的值域为，
（1）求集合、，并求；
（2）若＝，且，求实数的取值范围.
【答案】（1）A＝，B＝，＝（2）
【分析】⑴利用被开方数非负性，求出，利用指数函数的单调性求出，再求、的交集即可
⑵若，且，即可得到，解出即可求得答案
【解析】（1）A＝＝
则
∴
（2），且，解得
【点评】本题主要考查了集合运算，结合题意得到关于实数的不等式，然后求解，较为基础。

练习1.已知集合，.
（1）求；
（2）若，求实数m的取值范围．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）求出不等式的解后可得．
（2）因为，故对任意的恒成立，参变分离后可得实数的取值范围．【解析】（1）由得，故，所以．
（2）由题知，当时，恒成立，
即：当时，恒成立．
在区间上的值域为，
所以，即实数m的取值范围是．
【点评】集合的交并补运算往往和一元二次不等式结合在一起，解一元二次不等式时注意二次项系数的符号．另外，集合之间的关系往往蕴含着不等式恒成立或有解问题，此类问题可直接讨论对应的二次函数的图像性质或参变分离求参数的取值范围．
练习2．已知集合，集合.
（Ⅰ）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】（Ⅰ）或;（Ⅱ）
【分析】（1）先求出M、N、C R N，结合条件，得到不等式，解出即可；
（2）问题转化为集合N集合M，得到不等式，解出即可．
【解析】，
（Ⅰ）依题意，
∴或
∴或
（Ⅱ）依题意，即∴∴
【点评】本题考查了元素和集合的关系，集合和集合的关系，考查充分必要条件，是一道基础题．
练习3．已知集合，，其中.
（1）当时，求集合，；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】
【分析】（1）先求集合B,再根据交集、并集以及补集得定义求结果，（2）先根据条件化为集合关系，再结合数轴求实数的取值范围.
【点评】防范空集.在解决有关等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑是否成立，以防漏解.
（九）集合的运算问题
例9. 【上海市2018-2019学年期中考试】设数集由实数构成，且满足：若（且），则. （1）若，试证明中还有另外两个元素；
（2）集合是否为双元素集合，并说明理由；
（3）若中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合.
【答案】(1) ，;(2)见解析；（3）.
【分析】（1）根据集合的互异性进行求解，注意条件2∈A，把2代入进行验证；
（2）可以假设A为单元素集合，求出其等价条件，从而进行判断；
（3）先求出集合A中元素的个数，=1，求出x的值，从而求出集合A．
【解析】（1）证明：若x∈A，则
又∵2∈A，∴
∵-1∈A，∴∴A中另外两个元素为，；
（2），，，且，，
，故集合中至少有3个元素，∴不是双元素集合；
（3）由，，可得，所有元素积为1，∴，
、、，∴.
【点评】本题考查了元素和集合的关系，考查集合的含义，分类讨论思想，是一道中档题．
练习1．设集合，集合.
（1）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围；
（2）若中只有一个整数，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由“”是“”的必要条件，得B⊆A，然后分时，m＞时三种情况讨论求解实数m的取值范围；
（2）把中只有一个整数，分时，m＞时三种情况借助于两集合端点值间的关系列不等式求解实数m的取值范围．
【解析】（1）若“”是“”，则B⊆A，
∵A={x|-1≤x≤2}，
①当时，B={x|2m＜x＜1}，此时-1≤2m＜1⇒；
②当时，B=∅，有B⊆A成立；
③当时B=∅，有B⊆A成立；；
综上所述，所求m的取值范围是．
（3）∵A={x|-1≤x≤2}，
∴∁R A={x|x＜-1或x＞2}，
①当时，B={x|2m＜x＜1}，若∁R A∩B中只有一个整数，则-3≤2m＜-2，得
②当m当时，不符合题意；
③当时，不符合题意；综上知，m的取值范围是-.
【点评】在集合运算中，不等式的解集、函数的定义域、函数的值域问题，能解的先解出具体的实数范围，再结合数轴进行集合的运算，若端点位置不定时，要注意对端点的位置进行讨论求解，此题是中档题．（十）集合的综合问题
例10．【重庆市一中2018-2019学年考数学试题】函数的定义域为的值域为B
（1）当时，证明：在A上单调递增；
（2）若,求实数a的取值范围
【答案】（1）证明见解析；（2）。

【分析】(1)利用单调性定义证明在A上单调递增；
（2）若，根据（1）可知，从而，应满足，从而得到实数a的取值范围【解析】（1）当时，，
因为所以；任取，
则，
即，
所以在A上单调递增；
（2）若，根据（1）可知，从而，
又，
所以应满足，所以实数的范围为。

【点评】证明函数单调性的一般步骤：（1）取值：在定义域上任取，并且（或）；（2）作差：，并将此式变形（要注意变形到能判断整个式子符号为止）；（3）定号：判断的正负（要注意说理的充分性），必要时要讨论；（4）下结论：根据定义得出其单调性.
练习1．已知函数为偶函数．
（1）求实数的值；
（2）记集合，，判断与的关系；
（3）当时，若函数的值域为，求的值.
【答案】（1）；（2）见解析；（3）.
【分析】（1）根据函数为偶函数，利用定义即可求得a的值。

（2）将x代入，即可求得集合E；利用对数运算，化简λ即可，进而判断λ与集合E的关系。

（3）根据函数的单调性和定义域，代入化简，解方程组即可求得mn的关系，进而解一元二次方程即可求得m与n的值。

【解析】（1）∵为偶函数，∴，
即
即：R且,∴
（2）由（1）可知：当时，；当时，
∴，而==，
∴.
(3) ∵，
∴在上单调递增.
∴，∴，即，
∴m,n是方程的两个根，
又由题意可知，且，∴
∴.
【点评】本题考查了函数性质的简单应用，属于基础题。

专题02 函数问题的解题规律
一、函数问题的解题规律解题技巧及注意事项
1.定义域陷阱
2.抽象函数的隐含条件陷阱
3.定义域和值域为全体实数陷阱
4.还原后新参数范围陷阱
5.参数范围漏解陷阱
6.函数求和中的倒序求和问题
7.分段函数问题
8.函数的解析式求法
9.恒成立问题求参数范围问题
10.任意存在问题
二．知识点
【学习目标】
1．了解映射的概念，了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域、值域及函数解析式；
2．在实际情境中，会根据不同的需要选择适当的方法(图象法、列表法、解析法)表示函数；
3．了解简单的分段函数，并能简单应用；
4．掌握求函数定义域及解析式的基本方法．
【知识要点】
1．函数的概念
设A，B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然{f(x)|x∈A}⊆B.
2．映射的概念
设A，B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任意一个元素，在集合B中都有唯一确定的元素和它对应，那么这样的对应(包括集合A，B，以及集合A到集合B的对应关系f)叫做集合A 到集合B的映射．
3．函数的特点
①函数是一种特殊的映射，它是由一个集合到另一个集合的映射；
②函数包括定义域A、值域B和对应法则f，简称函数的三要素；
③关键是对应法则．
4．函数的表示法
函数的表示法：图示法、解析法．
5．判断两个函数为同一个函数的方法
两个函数的定义域和对应法则完全相同(当值域未指明时)，则这两个函数相等．
6．分段函数
若函数在定义域的不同子集上对应法则不同，可用几个式子表示函数，这种形式的函数叫分段函数．
注意：不要把分段函数误认为是多个函数，它是一个整体，分段处理后，最后写成一个函数表达式．三．典例分析及变式训练
（一）定义域陷阱
例1. 【曲靖一中2019模拟】已知，若函数在（﹣3，﹣2）上为减函数，且
函数=在上有最大值，则的取值范围为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由在上为减函数，可得；由在上有最大值，可得
，综上可得结果,.
【解析】在上为减函数，
，且在上恒成立，
，，
又在上有最大值，且在上单调递增，
在上单调递减，且，
，解得，
综上所述，，故选A.
【点评】本题主要考查对数函数的单调性、复合函数的单调性、分段函数的单调性，以及利用单调性求函数最值，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于难题. 判断复
合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增增，减减增，增减减，减增减）.
练习1.【湖北2019重点中学联考】若y=f（x）的定义域为（0，2]，则函数g（x）=的定义域是（）A．（0，1] B．[0，1）C．（0，1）∪（1，4] D．（0，1）
【答案】D
【点评】本题考查了抽象函数的定义域与应用问题，是基础题．
（二）抽象函数的隐含条件陷阱
例1. 【2019福建联考】已知定义在上的函数满足:，若, 则
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】f（x+y）=f（x）+f（y）+1，且f（8）=15，
令x=y=4，可得f（8）=2f（4）+1=7，
解得f（4）=3，
再令x=y=2，可得f（4）=2f（2）+1=3，
解得f（2）=1．
故选：D．
【点评】本题考查抽象函数的运用：求函数值，注意运用赋值法，考查运算能力，属于基础题．
练习1.设函数f：R→R满足f(0)＝1，且对任意，都有，则
＝（）
A．0 B．2018 C．2 017 D．1
【答案】B
【解析】令,利用,求出,再利用，令,求的解析式，从而可得结果.
【详解】，
令，得，
，
令，又，
，
，故选B.
【点评】本题主要考查抽象函数的解析式，属于中档题. 解抽象函数的解析式问题，往往利用特值法：（1）
；（2）；（3）.
（三）定义域和值域为全体实数陷阱
例3．【山东省师大附中2019第二次模拟考】函数的值域为，则实数的范围（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】分段函数的值域为R，则函数y=f（x）在R上连续且单调递增，列出关于a的不等式组即可求解a的值.
【详解】因为函数的值域为
所以
解得：
故选C
【点评】本题考查了分段函数的单调性，其题干描述较为隐蔽，需要通过分析其值域为R得到该函数在R 上是增函数，然后根据分段函数的单调性条件求解出a的范围.
练习1.已知函数y＝f（x）的定义域是R，值域为[-1，2]，则值域也为[-1，2]的函数是
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据的值域为[-1，2]，即，即可求出，以及的范围，从而找出正确选项．
【点睛】本题考查分段函数最值，考查基本分析求解能力，属基础题.
练习1.若函数在上有意义，则实数的取值范围是______ ．
【答案】.
【解析】使用换元令t=2x，将函数转化为一元二次函数y=1+t+at2进行求解．
【点睛】本题考查了与指数函数有关的复合函数的最值问题，通过换元，将函数转化为一元二次函数，是解决本题的关键，对应不等式恒成立问题通常是转化为含参问题恒成立，即求函数的最值问题．
练习2．已知．
（1）求的值域．
（2）若对任意和都成立，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）利用换元法，将函数转化为关于t的二次函数，根据t的取值范围求得函数的值域。

（2）根据恒成立条件，得到关于m的二次函数表达式；利用变换主元法看成关于a的函数表达式，进而求得m的取值范围。

【详解】（1）令
原函数变为：
的值域为.
（2）
即
恒成立
令,
图象为线段，
则
解得.
【点评】本题考查了换元法及变换主元法在函数最值和取值范围中的综合应用，注意换元后的取值范围，属于中档题。

专题02 函数问题的解题规律
一、函数问题的解题规律解题技巧及注意事项
1.定义域陷阱
2.抽象函数的隐含条件陷阱
3.定义域和值域为全体实数陷阱
4.还原后新参数范围陷阱
5.参数范围漏解陷阱
6.函数求和中的倒序求和问题
7.分段函数问题
8.函数的解析式求法
9.恒成立问题求参数范围问题
10.任意存在问题
二．知识点
【学习目标】
1．了解映射的概念，了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域、值域及函数解析式；
2．在实际情境中，会根据不同的需要选择适当的方法(图象法、列表法、解析法)表示函数；
3．了解简单的分段函数，并能简单应用；
4．掌握求函数定义域及解析式的基本方法．
【知识要点】
1．函数的概念
设A，B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然{f(x)|x∈A}⊆B.
2．映射的概念
设A，B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任意一个元素，在集合B中都有唯一确定的元素和它对应，那么这样的对应(包括集合A，B，以及集合A到集合B的对应关系f)叫做集合A到集合B的映射．
3．函数的特点
①函数是一种特殊的映射，它是由一个集合到另一个集合的映射；
②函数包括定义域A、值域B和对应法则f，简称函数的三要素；
③关键是对应法则．
4．函数的表示法
函数的表示法：图示法、解析法．
5．判断两个函数为同一个函数的方法
两个函数的定义域和对应法则完全相同(当值域未指明时)，则这两个函数相等．
6．分段函数
若函数在定义域的不同子集上对应法则不同，可用几个式子表示函数，这种形式的函数叫分段函数．
注意：不要把分段函数误认为是多个函数，它是一个整体，分段处理后，最后写成一个函数表达式．三．典例分析及变式训练
（一）定义域陷阱
例1. 【曲靖一中2019模拟】已知，若函数在（﹣3，﹣2）上为减函数，且
函数=在上有最大值，则的取值范围为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由在上为减函数，可得；由在上有最大值，可得
，综上可得结果,.
【解析】在上为减函数，
，且在上恒成立，
，，
又在上有最大值，且在上单调递增，
在上单调递减，且，
，解得，
综上所述，，故选A.
【点评】本题主要考查对数函数的单调性、复合函数的单调性、分段函数的单调性，以及利用单调性求函数最值，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于难题. 判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增增，减减增，增减减，减增减）.
故答案为：D.
练习2．已知函数则__________．
【答案】1008
【解析】分析：由关系，可类比等差数列一次类推求值即可.
详解：函数，
则，
故答案为：1008.
点睛：可类比“等差数列”或函数周期性来处理.
（七）分段函数问题
例7．【河北省廊坊市2019届高三上学期第三次联考】若函数在上是单调函数，且存在负的零点，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】通过函数的单调性及存在负的零点，列出不等式，化简即可．
【详解】当时，,所以函数在上只能是单调递增函数，又存在负的零点，而当时，f(0)=1+a，当时，f（0）=3a-2，0<3a-21+a，解得
.
故选B.
【点评】本题考查分段函数的应用，考查分类讨论思想，转化思想以及计算能力．
练习1.已知函数，则f（1）- f（9）=（）
A．﹣1 B．﹣2 C．6 D．7
【答案】A
【解析】利用分段函数，分别求出和的值，然后作差得到结果.
【详解】依题意得，，所以，故选.
【点评】本小题主要考查利用分段函数求函数值，只需要将自变量代入对应的函数段，来求得相应的函数值.属于基础题.
练习2．已知,那么等于( )
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【解析】将逐步化为,再利用分段函数第一段求解.
【详解】由分段函数第二段解析式可知，，继而,
由分段函数第一段解析式，
，故选A.
【点睛】
本题考查分段函数求函数值，要确定好自变量的取值范围，再代入相应的解析式求得对应的函数值，分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念.
（八）函数的解析式求法
例8. （1）已f ()=，求f(x)的解析式.
（2）．已知y =f(x)是一次函数，且有f [f(x)]=9x＋8，求此一次函数的解析式
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）利用换元法即可求解；
（2）已知函数是一次函数，可设函数解析式为f(x)=ax＋b，再利用待定系数法列出关于a、b的方程组即可求解出a、b的值.
【详解】（1）设
(x≠0且x≠1)
（2）设f(x)=ax＋b，则
f[f(x)]=af(x)＋b
=a(ax＋b)＋b
=a2x＋ab＋b
=9x＋8
或
所以函数的解析式为.
【点睛】本题考查函数解析式的求解，解题中应用了换元法和待定系数法，待定系数法的主要思想是构造方程（组），对运算能力要求相对较高，属于中档题.
练习1.(1) 已知是一次函数,且满足求;
(2) 判断函数的奇偶性.
【答案】（1）；（2）见解析.
【解析】（1）用待定系数法求一次函数解析式.
（2）结合分段函数的性质，分别判断各定义域区间内，f（-x）与f（x）的关系，即可判断函数奇偶性.
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数，考查了函数的奇偶性的判断，定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提.再结合分段函数的分段区间，以及对应的解析式，判断关系式f（-x）=f(x)或f（-x）=-f（x）是否成立.
练习2．已知函数对一切实数x，y都有f（x+y)﹣f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0．
（1）求f（0）的值；
（2）求f（x）的解析式；
（3）已知a，b∈R，当时，求不等式f（x）+3＜2x+a恒成立的a的集合A．
【答案】（1）f（0）=﹣2（2）f（x）=x2+x﹣2（3）
【解析】（1）令，可得，再根据可得；（2）在条件中的等式中，
令，可得，再根据可得所求的解析式；（3）由条件可得当时不
等式x2﹣x+1＜a恒成立，根据二次函数的知识求出函数上的值域即可得到的范围．【详解】（1）根据题意，在f（x+y）﹣f（y）=x（x+2y+1）中，
令x=﹣1，y=1，可得，
又，
∴．
（2）在f（x+y）﹣f（y）=x（x+2y+1）中，
令y=0，则f（x）﹣f（0）=x（x+1）
又，
∴．。