高考数学等比数列习题及答案百度文库

一、等比数列选择题
1．已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，121a a +=，344a a +=，则
5678a a a a +++=（ ）
A ．80
B ．20
C ．32
D ．
255
3
2．已知等比数列{}n a 的前n 项和为S n ，则下列命题一定正确的是（ ） A ．若S 2021＞0，则a 3+a 1＞0 B ．若S 2020＞0，则a 3+a 1＞0 C ．若S 2021＞0，则a 2+a 4＞0
D ．若S 2020＞0，则a 2+a 4＞0
3．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若11
0,,22
n n a a S >=<，则等比数列{}n a 的公比的取值范围是（ ） A ．30,4
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
B ．20,3
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
C ．30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭
4．已知等比数列{}n a 满足12234,12a a a a +=+=，则5S 等于（ ） A ．40 B ．81
C ．121
D ．242
5
．
12
与1
2的等比中项是（ ）
A ．－1
B ．1
C
．
2
D
．2
±
6．设a ，0b ≠，数列{}n a 的前n 项和(21)[(2)22]n n
n S a b n =---⨯+，*n N ∈，则
存在数列{}n b 和{}n c 使得（ ）
A ．n n n a b c =+，其中{}n b 和{}n c 都为等比数列
B ．n n n a b c =+，其中{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列
C ．·
n n n a b c =，其中{}n b 和{}n c 都为等比数列 D ．·
n n n a b c =，其中{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列 7．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件
11a >，66771
1,
01
a a a a -><-，则下列结论正确的是（ ） A ．681a a >
B ．01q <<
C ．n S 的最大值为7S
D ．n T 的最大值为7T
8．已知等比数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，且5312a a a +=，则
4
2
S S =（ ）
A ．76
B ．32
C ．
2132
D ．
14
9．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3=7，S 6=63，则数列{na n }的前n 项和为（ ） A ．-3+(n +1)×2n B ．3+(n +1)×2n C ．1+(n +1)×2n
D ．1+(n -1)×2n
10．已知单调递增数列{}n a 的前n 项和n S 满足()(
)*
21n n n S a a n =+∈N
，且0n
S
>，记
数列{}
2n
n a ⋅的前n 项和为n T ，则使得2020n T >成立的n 的最小值为（ ）
A ．7
B ．8
C ．10
D ．11
11．已知等比数列{}n a 中，11a =，132185k a a a ++++=，24242k a a a ++
+=，
则k =（ ） A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
12．数列{a n }满足2
1
1232222
n n n
a a a a -+++⋯+=
(n ∈N *)，数列{a n }前n 和为S n ，则S 10等于（ ）
A ．55
12⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．10
112⎛⎫- ⎪⎝⎭
C ．9
112⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．66
12⎛⎫ ⎪⎝⎭
13．若一个数列的第m 项等于这个数列的前m 项的乘积，则称该数列为“m 积列”.若各项均为正数的等比数列{a n }是一个“2022积数列”，且a 1>1，则当其前n 项的乘积取最大值时，n 的最大值为（ ） A ．1009
B ．1010
C ．1011
D ．2020
14．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0,1]均分为三段，去掉中间的区间段12(,)33，记为第一次操作；再将剩下的两个区间1[0,]3，2[,1]3
分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若使去掉的各区间长度之和不小于
9
10
，则需要操作的次数n 的最小值为（ ）（参考数据：lg 20.3010=，lg30.4771=）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
15．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4
2
5S S =，则等比数列{}n a 的公比为（ ） A ．2
B ．1或2
C ．-2或2
D ．-2或1或2
16．已知1，a ，x ，b ，16这五个实数成等比数列，则x 的值为（ ） A ．4
B ．－4
C ．±4
D ．不确定
17．已知等比数列{}n a 的n 项和2n n S a =-，则22
212n a a a ++
+=（ ）
A ．()2
21n -
B ．
()1213
n
- C ．41n -
D ．
()1413
n
- 18．已知{}n a 为等比数列.下面结论中正确的是（ ） A ．1322a a a +≥
B ．若13a a =，则12a a =
C ．222
1322a a a +≥
D ．若31a a >，则42a a >
19．数列{}n a 满足：点()1,n n a -(n N ∈，2n ≥)在函数()2x f x =的图像上，则{}n a 的前10项和为（ ） A ．4092
B ．2047
C ．2046
D ．1023
20．正项等比数列{}n a 满足2
2
37610216a a a a a ++=，则28a a +=（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．8
二、多选题21．题目文件丢失！
22．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若31a =，13511121
4
a a a ++=，则（ ） A ．{}n a 必是递减数列 B ．5314
S =
C ．公比4q =或
14
D ．14a =或
14
23．在等比数列{a n }中，a 5＝4，a 7＝16，则a 6可以为（ ） A ．8 B ．12 C ．－8
D ．－12
24．已知数列是{}n a
是正项等比数列，且37
23
a a +
=，则5a 的值可能是（ ） A ．2
B ．4
C ．85
D ．
83
25．已知等比数列{}n a 的公比0q <，等差数列{}n b 的首项10b >，若99a b >，且
1010a b >，则下列结论一定正确的是（ ）
A ．9100a a <
B ．910a a >
C ．100b >
D ．910b b >
26．数列{}n a 对任意的正整数n 均有2
12n n n a a a ++=，若22a =，48a =，则10S 的可能值
为（ ） A ．1023
B ．341
C ．1024
D ．342
27．在公比为q 等比数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，若521127,==a a a ，则下列说法正确的是（ ） A ．3q =
B ．数列{}2n S +是等比数列
C ．5121S =
D ．()222lg lg lg 3n n n a a a n -+=+≥
28．设{}n a 是各项均为正数的数列，以n a ，1n a +为直角边长的直角三角形面积记为
n S ()n *∈N ，则{}n S 为等比数列的充分条件是（ ）
A ．{}n a 是等比数列
B ．1a ，3a ，⋅⋅⋅ ，21n a -，⋅⋅⋅或 2a ，4a ，⋅⋅⋅ ，2n a ，⋅⋅⋅是等比数列
C ．1a ，3a ，⋅⋅⋅ ，21n a -，⋅⋅⋅和 2a ，4a ，⋅⋅⋅，2n a ，⋅⋅⋅均是等比数列
D ．1a ，3a ，⋅⋅⋅ ，21n a -，⋅⋅⋅和 2a ，4a ，⋅⋅⋅ ，2n a ，⋅⋅⋅均是等比数列，且公比相同
29．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，()
*
12n n a S n N +=∈，则有（ ） A ．1
3n n S -= B ．{}n S 为等比数列 C ．1
23n n a -=⋅
D ．2
1,
1,23,2n n n a n -=⎧=⎨
⋅≥⎩
30．已知数列{}n a 为等差数列，11a =，且2a ，4a ，8a 是一个等比数列中的相邻三项，记()0,1n
a n n
b a q q =≠，则{}n b 的前n 项和可以是（ ）
A ．n
B ．nq
C ．
()
12
1n n n q nq nq q q ++---
D ．
()
211
2
1n n n q nq nq q q ++++---
31．设{}n a 是无穷数列，若存在正整数k ，使得对任意n +∈N ，均有n k n a a +>，则称
{}n a 是间隔递增数列，k 是{}n a 的间隔数，下列说法正确的是（ ）
A ．公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列
B ．已知4
n a n n
=+
，则{}n a 是间隔递增数列 C ．已知()21n
n a n =+-，则{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是2
D ．已知2
2020n a n tn =-+，若{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是3，则45t ≤<
32．关于等差数列和等比数列，下列四个选项中不正确的有（ ）
A ．若数列{}n a 的前n 项和2(n S an bn c a =++，b ，c 为常数）则数列{}n a 为等差数列
B ．若数列{}n a 的前n 项和1
22n n S +=-，则数列{}n a 为等差数列
C ．数列{}n a 是等差数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯仍为等差数列
D ．数列{}n a 是等比数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯仍为等比数列；
33．已知数列{}n a 是等比数列，则下列结论中正确的是（ ） A ．数列2
{}n a 是等比数列
B ．若32a =，732a =，则58a =±
C ．若123a a a <<，则数列{}n a 是递增数列
D ．若数列{}n a 的前n 和1
3n n S r -=+，则1r =-
34．已知等差数列{}n a 的首项为1，公差4d =，前n 项和为n S ，则下列结论成立的有( ) A ．数列n S n ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前10项和为100 B ．若1,a 3,a m a 成等比数列，则21m =
C ．若11
16
25n
i i i a a =+>∑，则n 的最小值为6 D ．若210m n a a a a +=+，则
116m n
+的最小值为25
12
35．等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，当首项1a 和d 变化时，3813++a a a 是一个定值，则下列各数也为定值的有( ) A ．7a
B ．8a
C ．15S
D ．16S
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、等比数列选择题 1．A 【分析】
由条件求出公比q ，再利用前4项和和公比求5678a a a a +++的值. 【详解】
根据题意，由于{}n a 是各项均为正数的等比数列，
121a a +=，()234124a a q a a +==+，∴24q =，0q >，2q
则()()4
56781234161480a a a a q a a a a +++=+++=+=.
故选：A 2．A 【分析】
根据等比数列的求和公式及通项公式，可分析出答案. 【详解】
等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，当1q ≠时，
202112021(1)01a q S q
-=>-，
因为2021
1q
-与1q -同号，
所以10a >，
所以2
131(1)0a a a q +=+>，
当1q =时，
2021120210S a =>，
所以10a >，
所以1311120a a a a a +=+=>， 综上，当20210S >时，130a a +>， 故选：A 【点睛】
易错点点睛：利用等比数列求和公式时，一定要分析公比是否为1，否则容易引起错误，本题需要讨论两种情况. 3．A 【分析】
设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意可得1q ≠．即可得到不等式1
102n q -⨯>，
1
(1)
221n q q
-<-，即可求出参数q 的取值范围；
【详解】
解：设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意可得1q ≠．
11
0,2
n a a >=
，2n S <， ∴1
102n q -⨯>，1
(1)221n q q
-<-， 10q ∴>>． 144q ∴-，解得3
4
q
． 综上可得：{}n a 的公比的取值范围是：30,4
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
．
故选：A ． 【点睛】
等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n 项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程．
4．C 【分析】
根据已知条件先计算出等比数列的首项和公比，然后根据等比数列的前n 项和公式求解出
5S 的结果.
【详解】
因为12234,12a a a a +=+=，所以23
12
3a a q a a +=
=+，所以1134a a +=，所以11a =， 所以()5515113121113
a q S q
--===--， 故选：C. 5．D 【分析】
利用等比中项定义得解. 【详解】
2311(
)((22-==±，的等比中项是2
± 故选:D 6．D 【分析】
由题设求出数列{}n a 的通项公式，再根据等差数列与等比数列的通项公式的特征，逐项判断，即可得出正确选项. 【详解】 解：
(21)[(2)22](2)2(2)n n n n S a b n a b bn a b =---⨯+=+-⋅-+，
∴当1n =时，有110S a a ==≠；
当2n ≥时，有1
1()2n n n n a S S a bn b --=-=-+⋅， 又当1n =时，0
1()2a a b b a =-+⋅=也适合上式，
1()2n n a a bn b -∴=-+⋅，
令n b a b bn =+-，1
2n n c -=，则数列{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列，
故n n n a b c =，其中数列{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列；故C 错，D 正确；
因为11
()22n n n a a b bn --+=-⋅⋅，0b ≠，所以{
}1
2
n bn -⋅即不是等差数列，也不是等比数
列，故AB 错. 故选：D. 【点睛】 方法点睛：
由数列前n 项和求通项公式时，一般根据11
,2
,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解，考查学生的计算能
力. 7．B 【分析】
根据11a >，66771
1,01
a a a a -><-，分0q < ，1q ≥，01q <<讨论确定q 的范围，然后再逐项判断. 【详解】
若0q <，因为11a >，所以670,0a a <>，则670a a ⋅<与671a a ⋅>矛盾， 若1q ≥，因为11a >，所以671,1a a >>，则67101a a ->-，与671
01
a a -<-矛盾， 所以01q <<，故B 正确； 因为
671
01
a a -<-，则6710a a >>>，所以()26870,1a a a =∈，故A 错误； 因为0n a >，01q <<，所以1
11n n a q a S q q
=
---单调递增，故C 错误； 因为7n ≥时，()0,1n a ∈，16n ≤≤时，1n a >，所以n T 的最大值为6T ，故D 错误； 故选：B 【点睛】
关键点点睛：本题的关键是通过穷举法确定01q <<. 8．B 【分析】
由5312a a a +=，解得q ，然后由414242212(1)111(1)11a q S q q q a q S q
q
---===+---求解. 【详解】
在等比数列{}n a 中，5312a a a +=， 所以421112a q a q a +=，即42210q q +-=， 解得2
12
q =
所以4142
422
1
2(1)1311(1)121a q S q q q a q S q q
---===+=---， 故选：B
【点睛】
本题主要考查等比数列通项公式和前n 项和公式的基本运算，属于基础题, 9．D 【分析】
利用已知条件列出方程组求解即可得1,a q ，求出数列{a n }的通项公式，再利用错位相减法求和即可. 【详解】
设等比数列{a n }的公比为q ，易知q ≠1，
所以由题设得()
()
3136
1617
11631a q S q a q S q ⎧-⎪==-⎪
⎨-⎪
=
=⎪-⎩
， 两式相除得1+q 3=9，解得q =2， 进而可得a 1=1， 所以a n =a 1q n -1=2n -1， 所以na n =n ×2n -1.
设数列{na n }的前n 项和为T n ， 则T n =1×20+2×21+3×22+…+n ×2n -1， 2T n =1×21+2×22+3×23+…+n ×2n ，
两式作差得-T n =1+2+22
+…+2n -1
-n ×2n
=
1212
n
---n ×2n =-1+(1-n )×2n ， 故T n =1+(n -1)×2n . 故选：D. 【点睛】
本题主要考查了求等比数列的通项公式问题以及利用错位相减法求和的问题.属于较易题. 10．B 【分析】
由数列n a 与n S 的关系转化条件可得11n n a a -=+，结合等差数列的性质可得n a n =，再由错位相减法可得()1
122n n T n +=-⋅+，即可得解.
【详解】
由题意，()()*
21n n n S a a n N
=+∈，
当2n ≥时，()11121n n n S a a ---=+，
所以()()11122211n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+-+， 整理得()()1110n n n n a a a a --+--=，
因为数列{}n a 单调递增且0n S >，所以110,10n n n n a a a a --+≠--=，即11n n a a -=+，
当1n =时，()11121S a a =+，所以11a =， 所以数列{}n a 是以1为首项，公差为1的等差数列， 所以n a n =，
所以1231222322n n T n =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅，
()23412122232122n n n T n n +=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅，
所以()()234111212222222212212
n n n n n n T n n n +++--=++++⋅⋅⋅+-⋅=-⋅=-⋅--，
所以()1
12
2n n T n +=-⋅+，
所以876221538T =⨯+=，9
87223586T =⨯+=，
所以2020n T >成立的n 的最小值为8. 故选：B. 【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键是数列n a 与n S 关系的应用及错位相减法的应用. 11．B 【分析】
本题首先可设公比为q ，然后根据132185k a a a ++++=得出()2284k q a a ++=，再
然后根据24242k a a a +++=求出2q
，最后根据等比数列前n 项和公式即可得出结
果. 【详解】
设等比数列{}n a 的公比为q ， 则132112285k k a a a a a a q q +++++++==，
即()2285184k q a a +
+=-=，
因为24242k a a a +++=，所以2q
，
则()21123
221112854212712
k k k a a a a a ++⨯-+++++=+==
-，
即211282k +=，解得3k =， 故选：B. 【点睛】
关键点点睛：本题考查根据等比数列前n 项和求参数，能否根据等比数列项与项之间的关系求出公比是解决本题的关键，考查计算能力，是中档题. 12．B 【分析】
根据题意得到2
212311
2222
n n n a a a a ---+++
+=
，（2n ≥），与条件两式作差，得到
12n n a =
，（2n ≥），再验证112a =满足12n n a =，得到12n
n
a =()*
n N ∈，进而可求出结果. 【详解】 因为数列{}n a 满足2
11232222
n n n a a a a -+++
+=
， 2212311
2222
n n n a a a a ---+++
+=
，（2n ≥） 则1
112
222--=
-=n n n n a ，则12
n n a =，（2n ≥）， 又112a =
满足12n n a =，所以12
n n a =()*
n N ∈， 因此10102
10123101011111
112211222212
S a a a a ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭++=
+++==- ⎪+⎝-=⎭.
故选：B 13．C 【分析】
根据数列的新定义，得到122021...1a a a =，再由等比数列的性质得到2
10111a =，再利用
11,01a q ><<求解即可.
【详解】
根据题意：2022122022...a a a a =， 所以122021...1a a a =，
因为{a n }等比数列，设公比为q ，则0q >，
所以2
12021220201011...1a a a a a ====，
因为11a >，所以01q <<， 所以1010101110121,1,01a a a >=<<，
所以前n 项的乘积取最大值时n 的最大值为1011. 故选：C. 【点睛】
关键点睛：本题主要考查数列的新定义以及等比数列的性质，数列的最值问题，解题的关
键是根据定义和等比数列性质得出2
10111a =以及11,01a q ><<进行判断.
14．C 【分析】
依次求出第次去掉的区间长度之和，这个和构成一个等比数列，再求其前n 项和，列出不等式解之可得．
第一次操作去掉的区间长度为13；第二次操作去掉两个长度为19
的区间，长度和为2
9；第
三次操作去掉四个长度为
127的区间，长度和为427；…第n 次操作去掉12n -个长度为1
3
n 的区间，长度和为1
23
n n -，
于是进行了n 次操作后，所有去掉的区间长度之和为1
122213933n
n n n S -⎛⎫=++⋅⋅⋅+=- ⎪⎝⎭
， 由题意，90
2131n
⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，即21lg lg
1031n ≤=-，即()lg3lg21n -≥，解得：11
5.679lg3lg 20.47710.3010
n ≥
=≈--，
又n 为整数，所以n 的最小值为6. 故选：C . 【点睛】
本题以数学文化为背景，考查等比数列通项、前n 项和等知识及估算能力，属于中档题. 15．C 【分析】
设等比数列{}n a 的公比为q ，由等比数列的前n 项和公式运算即可得解. 【详解】
设等比数列{}n a 的公比为q ， 当1q =时，
41
21
422S a S a ==，不合题意； 当1q ≠时，()
()4142
422
2111115111a q S q q q S q
a q q
---===+=---，解得2q =±. 故选：C. 16．A 【分析】
根据等比中项的性质有216x =，而由等比通项公式知2
x q =，即可求得x 的值. 【详解】
由题意知：216x =，且若令公比为q 时有2
0x q =>，
∴4x =， 故选：A 17．D
由n a 与n S 的关系可求得12n n a ，进而可判断出数列{}
2
n a 也为等比数列，确定该数列的
首项和公比，利用等比数列的求和公式可求得所化简所求代数式.
【详解】
已知等比数列{}n a 的n 项和2n n S a =-. 当1n =时，112a S a ==-；
当2n ≥时，(
)(
)1
1122
2n
n n n n n a S S a a ---=-=---=.
由于数列{}n a 为等比数列，则12a a =-满足12n n
a ，所以，022a -=，解得1a =，
()1
2
n n a n N -*
∴=∈，则()
2
21
124n n n
a --==，21
21444
n n n n a a +-∴==，且211a =， 所以，数列{}
2n a 为等比数列，且首项为1，公比为4， 因此，2221
2
1441
143
n n n
a a a --+++==
-. 故选：D. 【点睛】
方法点睛：求数列通项公式常用的七种方法：
（1）公式法：根据等差数列或等比数列的通项公式()11n a a n d +-=或1
1n n a a q -=进行
求解；
（2）前n 项和法：根据11,1
,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨
-≥⎩进行求解；
（3）n S 与n a 的关系式法：由n S 与n a 的关系式，类比出1n S -与1n a -的关系式，然后两式作差，最后检验出1a 是否满足用上面的方法求出的通项；
（4）累加法：当数列{}n a 中有()1n n a a f n --=，即第n 项与第1n -项的差是个有规律的数列，就可以利用这种方法； （5）累乘法：当数列{}n a 中有()1
n
n a f n a -=，即第n 项与第1n -项的商是个有规律的数列，就可以利用这种方法；
（6）构造法：①一次函数法：在数列{}n a 中，1n n a ka b -=+（k 、b 均为常数，且
1k ≠，0k ≠）.
一般化方法：设()1n n a m k a m -+=+，得到()1b k m =-，1
b
m k =
-，可得出数列1n b a k ⎧⎫+⎨⎬-⎩
⎭是以k 的等比数列，可求出n a ；
②取倒数法：这种方法适用于()1
12,n n n ka a n n N ma p
*--=
≥∈+（k 、m 、p 为常数，0m ≠），两边取倒数后，得到一个新的特殊（等差或等比）数列或类似于1n n a ka b
-=+的式子；
⑦1n
n n a ba c +=+（b 、c 为常数且不为零，n *∈N ）型的数列求通项n a ，方法是在等式
的两边同时除以1n c +，得到一个1n n a ka b +=+型的数列，再利用⑥中的方法求解即可. 18．C 【分析】
取特殊值可排除A ，根据等比数列性质与基本不等式即可得C 正确，B ，D 错误. 【详解】
解：设等比数列的公比为q ，
对于A 选项，设1231,2,4a a a =-==-，不满足1322a a a +≥，故错误；
对于B 选项，若13a a =，则2
11a a q =，则1q =±，所以12a a =或12a a =-，故错误； 对于C 选项，由均值不等式可得222
1313222a a a a a +≥⋅=，故正确；
对于D 选项，若31a a >，则()2110a q ->，所以()
1422
1a a a q q -=-，其正负由q 的符
号确定，故D 不确定. 故选：C. 19．A 【分析】
根据题中条件，先得数列的通项，再由等比数列的求和公式，即可得出结果. 【详解】
因为点()1,n n a -(n N ∈，2n ≥)在函数()2x f x =的图像上， 所以()12
,2n
n a n N n -=∈≥，因此()12n n a n N ++=∈，
即数列{}n a 是以4为首项，以2为公比的等比数列， 所以{}n a 的前10项和为()10412409212
-=-.
故选：A. 20．C 【分析】
利用等比数列的性质运算求解即可. 【详解】
根据题意，等比数列{}n a 满足2
2
37610216a a a a a ++=， 则有22
2
288216a a a a ++=，即()2
2816a a +=， 又由数列{}n a 为正项等比数列，故284a a +=．
故选：C ．
二、多选题 21．无
22．BD 【分析】
设设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，由已知得11121
14
a a ++=，解方程计算即可得答案. 【详解】
解：设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，
因为2
153
1a a a ==，2311a a q == ， 所以511151351515111111121
11114
a a a a a a a a a a a a a ++=++=++=+=+++=， 解得1412a q =⎧⎪⎨=⎪⎩或1142.
a q ⎧=⎪⎨
⎪=⎩， 当14a =，12q =时，5514131
21412
S ⎛
⎫- ⎪
⎝⎭==-，数列{}n a 是递减数列；
当11
4
a =
，2q 时，531
4
S =
，数列{}n a 是递增数列； 综上，5314
S =. 故选：BD. 【点睛】
本题考查数列的等比数列的性质，等比数列的基本量计算，考查运算能力.解题的关键在于结合等比数列的性质将已知条件转化为11121
14
a a ++=，进而解方程计算. 23．AC 【分析】
求出等比数列的公比2q =±，再利用通项公式即可得答案； 【详解】
57216
24
a q q a ==⇒=±， 当2q
时，65428a a q ==⨯=，
当2q =-时，654(2)8a a q ==⨯-=-， 故选：AC. 【点睛】
本题考查等比数列通项公式的运算，考查运算求解能力，属于基础题. 24．ABD 【分析】
根据基本不等式的相关知识，结合等比数列中等比中项的性质，求出5a 的范围，即可得到所求． 【详解】
解：依题意，数列是{}n a 是正项等比数列，30a ∴>，70a >，50a >，
∴2
373752323262a a a a a +
=， 因为50a >，
所以上式可化为52a ，当且仅当3a =，7a = 故选：ABD ． 【点睛】
本题考查了等比数列的性质，考查了基本不等式，考查分析和解决问题的能力，逻辑思维能力．属于中档题． 25．AD 【分析】
根据等差、等比数列的性质依次判断选项即可. 【详解】
对选项A ，因为0q <，所以2
9109990a a a a q a q =⋅=<，故A 正确； 对选项B ，因为9100a a <，所以91000a a >⎧⎨
<⎩或9100
a a <⎧⎨>⎩，即910a a >或910a a <，故B 错误；
对选项C ，D ，因为910,a a 异号，99a b >，且1010a b >，所以910,b b 中至少有一个负数， 又因为10b >，所以0d <，910b b >，故C 错误，D 正确. 故选：AD 【点睛】
本题主要考查等差、等比数列的综合应用，考查学生分析问题的能力，属于中档题. 26．AB 【分析】
首先可得数列{}n a 为等比数列，从而求出公比q 、1a ，再根据等比数列求和公式计算可得； 【详解】
解：因为数列{}n a 对任意的正整数n 均有2
12n n n a a a ++=，所以数列{}n a 为等比数列，因为
22a =，48a =，所以2
4
2
4a q a =
=，所以2q =±， 当2q
时11a =，所以10
1012102312
S -==-
当2q =-时11a =-，所以()(
)()
10
1011234112S -⨯--==--
故选：AB 【点睛】
本题考查等比数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题. 27．ACD 【分析】
根据等比数列的通项公式，结合等比数列的定义和对数的运算性质进行逐一判断即可. 【详解】
因为521127,==a a a ，所以有431127273q a q q q a ⋅=⋅⇒=⇒=，因此选项A 正确；
因为131(31)132n
n n S -==--，所以131+2+2(3+3)132
n
n n S -==-， 因为+1+11
1(3+3)+22
2=1+1+21+3(3+3)2
n n
n n n S S -=≠常数， 所以数列{}2n S +不是等比数列，故选项B 不正确； 因为5
51(31)=1212
S =
-，所以选项C 正确； 11130n n n a a q --=⋅=>，
因为当3n ≥时，22222lg lg =lg()=lg 2lg n n n n n n a a a a a a -+-++⋅=，所以选项D 正确. 故选：ACD 【点睛】
本题考查了等比数列的通项公式的应用，考查了等比数列前n 项和公式的应用，考查了等比数列定义的应用，考查了等比数列的性质应用，考查了对数的运算性质，考查了数学运算能力. 28．AD 【分析】
根据{}n S 为等比数列等价于2
n n
a a +为常数，从而可得正确的选项. 【详解】
{}n S 为等比数列等价于
1n n S S +为常数，也就是等价于12
+1n n n n a a a a ++即2n n
a a +为常数.
对于A ，因为{}n a 是等比数列，故
22
n n
a q a +=（q 为{}n a 的公比）为常数，故A 满足； 对于B ，取21221,2n
n n a n a -=-=，此时满足2a ，4a ，⋅⋅⋅ ，2n a ，⋅⋅⋅是等比数列，
1a ，3a ，⋅⋅⋅ ，21n a -，⋅⋅⋅不是等比数列，
21
21
n n a a +-不是常数，故B 错. 对于C ，取2123,2n n
n n a a -==，此时满足2a ，4a ，⋅⋅⋅ ，2n a ，⋅⋅⋅是等比数列，
1a ，3a ，⋅⋅⋅ ，21n a -，⋅⋅⋅是等比数列，
21213n n a a +-=，2222n n
a
a +=，两者不相等，故C 错. 对于D ，根据条件可得2
n n
a a +为常数. 故选：AD. 【点睛】
本题考查等比数列的判断，此类问题应根据定义来处理，本题属于基础题. 29．ABD 【分析】
根据,n n a S 的关系，求得n a ，结合等比数列的定义，以及已知条件，即可对每个选项进行逐一分析，即可判断选择. 【详解】
由题意，数列{}n a 的前n 项和满足(
)*
12n n a S n N +=∈，
当2n ≥时，12n n a S -=，
两式相减，可得112()2n n n n n a a S S a +-=-=-， 可得13n n a a +=，即
1
3,(2)n n
a a n +=≥， 又由11a =，当1n =时，211222a S a ===，所以2
1
2a a =， 所以数列的通项公式为2
1,
123
2
n n n a n -=⎧=⎨
⋅≥⎩；
当2n ≥时，1
1123322
n n n n a S --+⋅===，
又由1n =时，111S a ==，适合上式，
所以数列的{}n a 的前n 项和为1
3n n S -=；
又由11333
n
n n n S S +-==，所以数列{}n S 为公比为3的等比数列，
综上可得选项,,A B D 是正确的. 故选：ABD. 【点睛】
本题考查利用,n n a S 关系求数列的通项公式，以及等比数列的证明和判断，属综合基础题. 30．BD 【分析】
设等差数列{}n a 的公差为d ,根据2a ,4a ,8a 是一个等比数列中的相邻三项求得0d =或1,再分情况求解{}n b 的前n 项和n S 即可. 【详解】
设等差数列{}n a 的公差为d ,又11a =,且2a ,4a ,8a 是一个等比数列中的相邻三项
∴2428a a a =,即()()()2
11137a d a d a d +=++,化简得：(1)0d d -=,所以0d =或1,
故1n a =或n a n =,所以n b q =或n
n b n q =⋅,设{}n b 的前n 项和为n S ,
①当n b q =时,n S nq =；
②当n
n b n q =⋅时,
23123n n S q q q n q =⨯+⨯+⨯+⋯⋯+⨯（1）, 2341123n n qS q q q n q +=⨯+⨯+⨯+⋯⋯+⨯（2）,
（1）-（2）得：()()2311111n n n n n q q q S q q q q n q n q q
++--=+++-⨯=-⨯-+⋅⋅,
所以1211
22
(1)(1)1(1)n n n n n n q q n q q nq nq q S q q q ++++-⨯+--=-=---,
故选：BD 【点睛】
本题主要考查了等差等比数列的综合运用与数列求和的问题,需要根据题意求得等差数列的公差与首项的关系,再分情况进行求和.属于中等题型. 31．BCD 【分析】
根据间隔递增数列的定义求解. 【详解】 A. ()
1111
111n k n n n k k n a a a a q
q q a q +---+=-=--，因为1q >，所以当10a <时，
n k n a a +<，故错误；
B. ()()244441++n k
n n kn a a n k n k k n k n n k n n k n +⎛⎫⎛⎫+-⎛⎫-=++-+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，令24t n kn =+-，t 在n *∈N 单调递增，则()1140t k =+->，解得3k >，故正确；
C. ()()
()()()()
21212111n k
n n k
n k n a a n k n k ++⎡⎤-=++--+-=+---⎣⎦
，当n 为奇数时，()2110k
k --+>，存在1k 成立，当n 为偶数时，()2110k
k +-->，存在2
k ≥成立，综上：{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是2，故正确； D. 若{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是3，
则()()()
2
2
2
2020202020n k n a a n k t n k n tn kn k tk +-=+-++--+=+->，n *
∈N 成立，
则()2
20k t k +->，对于3k ≥成立，且()2
20k t k +-≤，对于k 2≤成立
即()20k t +->，对于3k ≥成立，且()20k t +-≤，对于k 2≤成立 所以23t -<，且22t -≥ 解得45t ≤<，故正确. 故选：BCD 【点睛】
本题主要考查数列的新定义，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 32．ABD 【分析】
根据题意，结合等差、等比数列的性质依次分析选项，综合即可得的答案. 【详解】
根据题意，依次分析选项：
对于A ，若数列{}n a 的前n 项和2
n S an bn c =++，
若0c =，由等差数列的性质可得数列{}n a 为等差数列， 若0c ≠，则数列{}n a 从第二项起为等差数列，故A 不正确；
对于B ，若数列{}n a 的前n 项和1
22n n S +=-，
可得1422a =-=，2218224a S S =-=--=，33216268a S S =-=--=， 则1a ，2a ，3a 成等比数列，则数列{}n a 不为等差数列，故B 不正确；
对于C ，数列{}n a 是等差数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯，即为
12n a a a ++⋯+，12n n a a ++⋯+，213n n a a ++⋯+，⋯，
即为2
2322n n n n n n n S S S S S S S n d --=---=为常数，仍为等差数列，
故C 正确；
对于D ，数列{}n a 是等比数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯不一定为等比数列，
比如公比1q =-，n 为偶数，n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯，均为0，不为等比数列.故
D 不正确.
故选：ABD .
【点睛】
本题考查等差、等比数列性质的综合应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题. 33．AC
【分析】
在A 中，数列{}
2n a 是等比数列；在B 中，58a =；在C 中，若123a a a <<，则1q >，数列{}n a 是递增数列；在D 中，13r =-
. 【详解】
由数列{}n a 是等比数列，知：
在A 中，22221n n a a q -=，
22221122221n
n n n a a q q a a q
+-∴==是常数， ∴数列{}
2n a 是等比数列，故A 正确； 在B 中，若32a =，732a =
，则58a =，故B 错误；
在C 中，若1230a a a <<<，则1q >，数列{}n a 是递增数列；若1230a a a <<<，则01q <<，数列{}n a 是递增数列，故C 正确；
在D 中，若数列{}n a 的前n 和13n n S r -=+，
则111a S r ==+，
()()221312a S S r r =-=+-+=，
()()332936a S S r r =-=+-+=，
1a ，2a ，3a 成等比数列，
2213a a a ∴=，
()461r ∴=+， 解得13
r =-，故D 错误. 故选：AC .
【点睛】
本题考查等比数列的综合应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题. 34．AB
【分析】
由已知可得:43n a n =-,22n S n n =-,=21n S n n -,则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
为等差数列通过公式即可
求得前10项和;通过等比中项可验证B 选项;因为
11111=44341i i a a n n +⎛⎫- ⎪-+⎝⎭
,通过裂项求和可求得11
1n i i i a a =+∑;由等差的性质可知12m n +=利用基本不等式可验证选项D 错误. 【详解】
由已知可得:43n a n =-,22n S n n =-,
=21n S n n -,则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列,则前10项和为()10119=1002
+.所以A 正确; 1,a 3,a m a 成等比数列,则231=,m a a a ⋅81m a =,即=4381m a m =-=,解得21m =故B 正确; 因为
11111=44341i i a a n n +⎛⎫- ⎪-+⎝⎭所以11
11111116=1=455494132451n i i i n n n a a n =+⎛⎫-+-++-> ⎪++⎝⎭-∑,解得6n >,故n 的最小值为7,故选项C 错误;等差的性质可知12m n +=,所以
()()1161116116125=116172412121212n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+++=+++≥+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,当且仅当16=n m m n 时,即48=45n m =时取等号,因为*,m n ∈N ,所以48=45
n m =不成立,故选项D 错误.
故选:AB.
【点睛】
本题考查等差数列的性质,考查裂项求和,等比中项,和基本不等式求最值,难度一般. 35．BC
【分析】
根据等差中项的性质和等差数列的求和公式可得出结果.
【详解】
由等差中项的性质可得381383a a a a ++=为定值，则8a 为定值，
()
11515815152a a S a +==为定值，但()
()11616891682a a S a a +==+不是定值.
故选：BC.
【点睛】
本题考查等差中项的基本性质和等差数列求和公式的应用，考查计算能力，属于基础题.。