2023年福建省中考冲刺卷(一)数学试卷与答案

第6题图
第8
题图
2023年福建省中考冲刺卷（一）
数
学
本试卷满分：150分
作答时间：120分钟
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．2023-的相反数是A ．2023
B ．
2023
1C ．2023-D ．2023
1-
2．右图所示的几何体是由6个大小相同的小正方体组成，它的主视图为
A ．B
．C ．D
．
3．到2030年，我国风电、太阳能发电总装机容量将达到1200000000千瓦以上，中国构建的清洁低碳、安全
高效的能源体系将达到世界一流水平．数据1200000000用科学记数法表示为A ．12×108
B ．1.2×109
C ．0.12×1010
D ．
1.2×1010
4．围棋起源于中国，古代称之为“
弈”，至今已有4000多年的历史．以下是在棋谱中截取的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是
A ．
B ．
C ．
D ．
5．x 7可以表示为A ．x 3+x 4
B ．(x 3)4
C ．x 14÷x 2
D ．x 3·x 4
6．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 为边AB 的中点，AC ＝3，BC ＝4，则CD 的长为A ．2.4
B ．2.5
C ．3
D ．4
7．实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，则正确的结论是A ．a ＞-2B ．|a |＜|b |C ．ab ＞0
D ．a ＜-b
8．如图，BD 是⊙O 的直径，点A ，C 在⊙O 上，A =A ，AC 交BD 于点G ，若∠COD ＝
126°，则∠CGD 的度数为A ．99°
B ．108°
C ．110°
D ．117°
第7题图
第9题图
第13题图
第15题图
第16题图
9．某生产工厂6个生产车间日生产量（万只）如图所示．现再组建一个生产车间，若新车间的日生产量为4500万只，则下列关于现在7个生产车间的日生产量的平均数和方差的说法中，正确的是A ．平均数不变，方差变小B ．平均数不变，方差变大C ．平均数不变，方差不变D ．平均数变小，方差不变
10．已知抛物线过1(3,)A y -，2(1,)B y -，3(2,)C y ，4(4,)D y 四点，关于以下两个命题：
①若14y y =，则23y y =；②若231y y y >>，则41y y <．说法正确的是A ．只有①是真命题B ．只有②是真命题
C ．①②都是真命题
D ．①②都是假命题
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。

11．在平面直角坐标系中，点A （1，3-）关于原点O 的对称点是_______．12．计算：12＝
．
13．如图，某商场自动扶梯AB 的坡度i ＝1：2.5．过点B 作BC ⊥AD ，垂足为C ．
若AC 的长为10米，则高度BC 为
米．
14．为了估计鱼塘中的鱼数，养鱼者首先从鱼塘中打捞100条鱼，在每一条鱼身上做好记号后把这些鱼放归鱼塘，
再从鱼塘中打捞30条鱼.如果在这30条鱼中有10条鱼是有记号的，那么估计鱼塘中鱼的条数为________.15．如图，在正方形ABCD 中，22AB =．连接AC ，以点C 为圆心、AC 长为半径
画弧，点E 在BC 的延长线上，则图中的阴影部分的面积为________.
16．如图，□OABC 位于平面直角坐标系中，点B 在x 轴正半轴上，点A 及AB 的中点D
在反比例函数y ＝x 3（x ＞0）的图象上，点C 在反比例函数y ＝x
k
（x ＞0）的图象上，则k 的值为
．
三、解答题：本大题共9小题，共86分。

解答应写出必要的文字说明、证明过程、正确作图或演算步骤。

17．(8分)
解不等式组⎪⎩
⎪⎨⎧->+-≥-132141x x
x ①，②．
18．(8分)
如图，点E ，F 在△ABC 的边AC 上，且EF ＝BC ，DE ∥BC ，∠DFE ＝∠B ．求证：DE ＝AC ．
19．(8分)
先化简，再求值：2
1
2231(2-++÷
-+a a a a ，其中a ＝13-．20．(8分)
书峰枇杷是仙游县书峰乡传统的名特优农产品，栽培历史悠久．书峰枇杷先后获评“福建省著名商标”“中国品牌产品”等称号，并通过国家绿色食品认证和原产地标记注册，深受大家的喜爱．某商家拟向某果农采购150千克枇杷，该果农有“白玉”和“早钟6号”两种品牌的枇杷，其中“白玉”枇杷比“早钟6号”枇杷每千克多18元．
（1）若采购100千克“早钟6号”枇杷和50千克“白玉”花费2700元，求“早钟6号”，“白玉”两种品牌枇杷的采购单价．
（2）在（1）的条件下，若采购“早钟6号”枇杷不超过“白玉”枇杷数量的2倍，如何分配这两种枇杷采购量才能使总费用最少？
21．(8分)
义卖有价，爱心无价．六一儿童节来临之际，某中学团委组织了一场跳蚤市场义卖活动，义卖所得将全部捐献给我市SOS儿童村．该校数学社团收集了100件捐献的物品，为了增加活动趣味性，该社团采用了摸球定价的方法出售物品．具体方法如下：买家挑选心仪的一件物品后，从一个装有2个红球，3个黄球（仅颜色不同）的布袋中随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出一个球；根据摸到的两个球中红球数，按下表设置确定该物品的价格．
摸到的红球数012
价格（单位：元）51020
（1）如果小凯选中了一件物品，那么他以20元的价格买得这件物品的概率是多少？
（2）请你估计，这100件物品义卖后所得的收益．
22．(10分)
如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点I是△ABC内心．
（1）求作△ABC的内切圆．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）若AB=4，BC=3，求△ABC的内切圆的半径r．
图3
如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是直径．点E 为⊙O 上一点，且∠BCE ＝2
1
∠ABC ．过点E 作EF ∥AC ，交AB 的延长线于点F ．
（1）求证：EF 是⊙O 的切线；（2）若BF ＝2，sin ∠BEC ＝
5
3
，求EF 的长．24．(12分)
如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，AO ⊥BC 于点O ．以AB 为一边，在△ABC 的外部作等边△ABD ．点E 是线段AO 上一动点（点E 不与点A 重合），线段BE 绕点B 顺时针旋转60°得到线段BF ，连接FC ，FD ．（1）如图1，当点E 落在CF 上时，求证：BF ⊥BC ；（2）如图2，若△BDF 的面积为3，求BF 的长；（3）如图3，求证：C ，D ，F
三点在同一条直线上．
图1
图2
图2
在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线y ＝ax 2+2ax +c 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点A 的坐标为（2，0），点D （-3，
2
5
）在抛物线上．（1）求抛物线的函数解析式；
（2）如图1，点P 在y 轴上，且点P 在点C 的下方，若∠PDC ＝45°，求点P 的坐标；（3）如图2，E 为线段CD 上的动点，射线OE 与线段AD 交于点M ，与抛物线交于点N ，求
OM
MN
的最大值．图1
数学参考答案第1页共9页
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一2023年福建省中考冲刺卷（一）数学试题参考答案及评分参考
是符合要求的。

1．A 2．C 3．B 4．C 5．D 6．B
7．D
8．B
9．A
10．C
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。

11．（-1，3）12．3213．414．300
15．6π-4
16．-6
三、解答题：本大题共9小题，共86分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（8分）解：由①得
3-≥x ．……………2分由②得
3321->+x x ，……………4分
1332-->-x x ，
4->-x ，4<x ．
……………5分
不等式①和②的解集在数轴上表示如下：
∴这个不等式组的解集是43<≤-x ．……………8分
18．（8分）证明：∵
DE ∥BC ，……………2分
∴∠DEF ＝∠C ．
∵C DEF ∠=∠，BC EF =，B DFE ∠=∠，
……………6分
∴△DEF ≌△ACB （ASA ），∴
DE ＝AC ．
……………8分
数学参考答案第2页共9页
19．（8分）
解：原式=()212322
-+÷-+-a a a a ，……………4分()2
12
21+-⋅
-+=a a a a ，……………5分1
1+=a ．……………6分
当13-=a 时，原式3
31
131=+-=．……………8分
20．（8分）
（1）解：设“早钟6号”枇杷每千克x 元，“白玉”枇杷每千克y 元，依题意，得
⎩
⎨
⎧=+=-27005010018
y x x y ，……………2分
解得：⎩⎨
⎧==30
12y x 答：“早钟6号”枇杷单价为12元/千克，“白玉”枇杷单价为30元/千克；
……………4分
（2）解：设“白玉”枇杷采购m 千克，总费用为w 元，依题意，得
150-m ≤2m ，解得m ≥50……………5分∵w ＝30m +12(150-m )＝18m +1800，……………6分
又∵18＞0，
∴
w 随着m 的增大而增大，
当m ＝50时，w 取得最小值，此时，150-m ＝100．
……………7分
因此，“白玉”枇杷采购50千克，“早钟6号”枇杷购买100千克时，总费用最少．
……………8分
21．（8分）解：（1）方法一：
两个红色小球分别记为1R ，2R ，三个黄色小球分别记为1Y ，2Y ，3Y ．
数学参考答案第3页共9页
列表如下：
……………2分
由上表可知，共有20种等可能结果，其中两次都摸到红球的结果有2种，
……………3分
∴两次都摸到红球的概率为
10
1202=．∴
小凯为这件物品付出20元的概率为10
1．……………4分
方法二：画树状图如下：
……………2分
由图可知，共有20种等可能结果，其中两次都摸到红球的结果有2种，
……………3分
∴两次都摸到红球的概率为
10
1202=．∴
小凯为这件物品付出20元的概率为10
1．……………4分
1
R 2
R 1
Y 2
Y 3
Y 1R （2R ，1R ）（1Y ，1R ）（2Y ，1R ）（3Y ，1R ）
2R （1R ，2R ）
（1Y ，2R ）（2Y ，2R ）（3Y ，2R ）
1Y （1R ，1Y ）（2R ，1Y ）
（2Y ，1Y ）（3Y ，1Y ）
2Y （1R ，2Y ）（2R ，2Y ）（1Y ，2Y ）
（3Y ，2Y ）
3
Y （1R ，3Y ）（2R ，3Y ）（1Y ，3Y ）（2Y ，3Y ）
数学参考答案第4页共9页
（2）由（1）可知，抽到0个红球的概率为
103206=，抽到1个红球的概率为5
3
2012=．
……………6分
∴每件物品的平均价格为5.910
1
2053101035=⨯+⨯+⨯(元)，……………7分∴
这100件物品的义卖所得约为9501005.9=⨯(元)．
……………8分
22．（10分）（1）解：
……………3分
∴
如图，⊙I 即为所求．
……………4分
（2）连接DI ，EI ，FI ．
∵⊙I 是△ABC 内切圆，∴DI ⊥AB ，IE ⊥BC ，IF ⊥AC ，∴
∠IDB =∠IEB=90°．又∵∠ABC=90°，
∴四边形DIEB 是矩形．∵DI =EI ，
∴
四边形DIEB 是正方形．
……………6分
设⊙I 的半径为r ，则BD =BE=r ．∵AB ，BC ，AC 是⊙I 的切线，∴AD=AF=4-r ，CE=CF=3-r ，……………7分∴(4-r )+(3-r )=5，
……………8分
解得r=1，
∴
⊙I 的半径是1．
(10)
分
证明：∵
AB 是直径，∴
∠ACB ＝90°．
连接OE ，则∠BCE=2
1
∠BOE ．又∵∠BCE=
2
1
∠ABC ，∴∠ABC ＝∠BOE ．∴OE ∥BC ，∴∠OEC ＝∠BCE ，……………2分
∵EF ∥AC ，∴∠FEC ＝∠ACE ，
∴∠OED +∠FEC ＝∠BCD +∠ACE ，即∠FEO ＝∠ACB ＝90°，……………3分∴FE ⊥OE ，
……………4分又∵OE 是⊙O 的半径，∴
EF 是⊙O 的切线．
……………5分（2）解：∵
EF //AC ，
∴∠BAC =∠F ．∵∠BEC =∠BAC ，∴∠F=∠BEC ，∴
sin ∠F=sin ∠BEC=
5
3．……………7分
设⊙O 的半径为r ，则OE ＝r ，OF ＝2+r ．∴在Rt △OEF 中，OF
OE
F =∠sin ．∴2
53+=
r r
，解得r =3．∴⊙O 的半径为3．……………9分∴
EF =2235-=4．
……………10分
解:（1）∵
AB =AC ，AO ⊥BC ，
∴CO =BO ，CE =BE ，∠AOB=90°．
……………1分
又∵线段BE 绕点B 顺时针旋转60°得到线段BF ，∴△BEF 为等边三角形．∴BE =EF ，∴CE =EF ．
∴OE 是△CBF 中位线，∴OE ∥BF ．
……………3分
∴∠FBC =∠AOC =90°，∴
BF ⊥BC ．
……………4分
（2）在Rt △AOB 中，32
1
==
BC OB ，AB =5，∴AO =4352222=-=-OB AB ．∵△ABD 和△BEF 为等边三角形，∴AB =BD ，BE =BF ，∠EBF =∠ABD=60°．∴∠ABE =∠DBF ，
∴△ABE ≌△DBF （SAS ）．……………6分
∴3==∆∆DBF AEB S S ，
即321
=⋅OB AE ，1332
AE ⨯=，AE=2．∴
OE =AO -AE =2．
在Rt △BOE 中，∠BOE=90°，……………7分
∴BE =222232+=+OB OE =13，∴
BF =BE ＝13．
……………8分
（3）连接CD ．
由（2）得△ABE ≌△DBF ．
∴∠BDF =∠BAE ．……………9分
∵AC=AB=AD ，
∴C ，B ，D 在以点A 为圆心，AB 为半径的圆上．……………10分∴∠BDC =
2
1
∠BAC=∠BAE ．……………11分
∴∠BDC =∠BDF ．又∵F ，C 在BD 同侧，∴点F 在CD 上，
即
D ，F ，C 三点在同一直线上．
……………12分
25．（14分）解：（1）∵
点A （2，0），D （−3，
2
5
）在抛物线上，∴
⎪⎩
⎪⎨⎧=+-=++2569044c a a c a a ，．……………2分
解得
⎪⎩⎪⎨⎧
=-=.
421c a ，
∴抛物线的表达式为42
1
2+--=x x y ．
……………4分
（2）过C 作DC 的垂线，交DP 的延长线于点F ，则∠CFD =∠CDF=45°．
∴
CD ＝CF ．
过点D 作DG ⊥y 轴于G ，过点F 作FH ⊥y 轴于H ，则∠DGC ＝∠CHF ＝90°．∴
∠DCG +∠CDG ＝90°．又∵∠DCF ＝90°，
∴∠DCG +∠HCF ＝90°，∴
∠CDG ＝∠HCF ．
在△CDG 和△FCH 中，⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠∠=∠FC CD FCH CDG CHF DGC
∴△CDG ≌△FCH （AAS ）．∴GC ＝HF ，DG ＝CH ．
∵抛物线42
1
2+--=x x y 交y 轴于C ，
∴C （0，4）．
∵点D 坐标为⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-25,3，
∴DG ＝3，23
254=-=CG ．
∴2
3
=
=CG HF ，CH ＝DG ＝3，∴OH ＝4﹣3＝1．∴
F ⎪⎭
⎫ ⎝⎛123，．……………6分
设直线DF 的解析式为y ＝kx +b ，∵
直线DF 过点D ⎪⎭⎫ ⎝⎛-25,3，F ⎪⎭⎫
⎝⎛123，
，∴
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧=
+-=+25312
3
b k b k ，解得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
=-=233
1b k ．
∴直线DF 的表达式为23
31+-=x y ．
……………8分∴
⎪⎭
⎫
⎝⎛23,0P ．……………9分
（3）解法一：
由A （2，0），D ⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-25,3可求得，直线AD 的解析式为121+-=x y ．
设直线AD 与y 轴的交于点Q ，则Q （0，1）．∴
OQ ＝1．
过点N 作NT ⊥x 轴，交AD 于点T ，则∠TNO ＝∠QOM ．又∵∠NMT ＝∠OMQ ，∴△MNT ∽△MOQ ，∴
MN N MO OQ
T =．
……………10分
设1,12T t t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭
，则N ⎪⎭⎫ ⎝⎛+--421,2t t t ，其中﹣3≤t ≤0．
∴
32
1
21)121(42122+--=+--+--=t t t t t NH ．
∴
2
2111125322228
MN N t t t MO OQ T ⎛⎫==--+=-++ ⎪⎝⎭．∵021<-
，02
1
3<-<-，∴
当21-=t 时，MO MN 取得最大值，最大值为8
25
．……………14分
解法二：
过点N 作NQ ∥x 轴，交AD 的延长线于点Q ，则∠NQA ＝∠QAB ．又∵∠NMQ ＝∠OMA ，∴△MNQ ∽△MOA ．∴
OA
NQ
MO MN =
．……………10分
由A （2，0），D ⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-25,3可求得，直线AD 的解析式为121+-=x y ．
设N ⎪⎭⎫ ⎝⎛+--421,2t t t ，则Q ⎪⎭
⎫
⎝⎛+---+421,6222t t t t ，其中﹣3≤t ≤0．
∴NQ ＝t ﹣（t 2+2t ﹣6）＝﹣t 2﹣t +6．
∴
825
2121262
2+
⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+--==t t t OA NQ MO MN ．∵021<-
，02
1
3<-<-，∴
当21-=t 时，MO MN 取得最大值，最大值为8
25
．……………14分。