测量误差传播律

§6－3 误差传播定律
当对某量进行了一系列的观测后，观测值的精度可用中误差来衡量。

但在实际工作中，往往会遇到某些量的大小并不是直接测定的，而是由观测值通过一定的函数关系间接计算出来的。

例如，水准测量中，在一测站上测得后、前视读数分别为a 、b ，则高差h =a -b ，这时高差h 就是直接观测值a 、b 的函数。

当a 、b 存在误差时，h 也受其影响而产生误差，这就是所谓的误差传播。

阐述观测值中误差与观测值函数中误差之间关系的定律称为误差传播定律。

本节就以下四种常见的函数来讨论误差传播的情况。

一、倍数函数
设有函数
kx Z =
（6-7）
式中k 为常数，x 为直接观测值，其中误差为m x ，现在求观测值函数Z 的中误差m Z 。

设x 和Z 的真误差分别为Δx 和ΔZ ，由（6-7）式知它们之间的关系为
ΔZ =k Δx 若对x 共观测了n 次，则
i
i x Z k ∆=∆ （i =1,2,…,n ）
将上式两端平方后相加，并除以n ，得
[][]
n k n
2x
2
2Z
∆=∆
（6-8）
按中误差定义可知
[]n m 2Z
2Z ∆=
[]n m 2
x
2x
∆=
所以（6-8）式可写成
2
x 22z m k m =
或
x z km m =
（6-9）
即观测值倍数函数的中误差，等于观测值中误差乘倍数（常数）。

【例】 用水平视距公式D =k ·l 求平距，已知观测视距间隔的中误差m l =±1cm ，k =100，则平距的中误差m D =100·m l =±1 m 。

二、和差函数
设有函数
y x z ±=
（6-10）
式中x 、y 为独立观测值，它们的中误差分别为m x 和m y ，设真误差分别为Δx 和Δy ，由（6-10）式可得
y
x z ∆±∆=∆
若对x 、y 均观测了n 次，则 )
,,2,1(n i i
i i y x z =∆±∆=∆
将上式两端平方后相加，并除以n 得
[][][][]
n
2n n n y
x
2y
2x
2z
∆∆±∆+∆=∆
上式[]
y x ∆
∆中各项均为偶然误差。

根据偶然误差的特性，当n 愈大时，式中最后一项将趋近于零，于是上式可写成
[][][]
n n
n 2y
2x
2z
∆+∆=∆
（6-11）
根据中误差定义，可得
2
y
2x 2z m m m += （6-12）
即观测值和差函数的中误差平方，等于两观测值中误差的平方之和。

【例】 在ΔABC 中，∠C=180°－∠A －∠B ，∠A 和∠B 的观测中误差分别为3″和
4″，则∠C 的中误差
"5m m m 2
B 2A c ±=+±=。

三、线性函数
设有线性函数
z=k 1x 1±k 2x 2±···±k n x n （6-13） 式中x 1、 x 2、…、x n 为独立观测值，k 1、 k 2、…、k n 为常数，则综合（6-9）式和（6-12）
式可得
m z 2=(k 1m 1)2＋(k 2m 2)2+···+ (k n m n )2 （6-14）
【例】 有一函数32132x x x Z ++=，其中x 1、x 2、x 3的中误差分别为±3mm 、±2mm 、
±1mm ，则"0.73262
22±=++±=Z
m 。

四、一般函数
设有一般函数
),(21n x x x f z =
（6-15）
式中x 1、x 2、…、x n 为独立观测值，已知其中误差为m i (i =1,2, …,n )。

当x i 具有真误差Δi 时，函数Z 则产生相应的真误差Δz , 因为真误差Δ是一微小量，故将（6-15）取全微分，将其化为线性函数，并以真误差符号“Δ”代替微分符号“d ”,得
n 21x
n x 2x 1z x f x f x f ∆∂∂++∆∂∂+∆∂∂=∆ 式中i x f
∂∂是函数对x i 取的偏导数并用观测值代入算出的数值，它们是常数，因此，上式变成
了线性函数，按（6-14）式得
2
2
2
22
2212
12n n
z m x
f m x f m x f m ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=
（6-16）
上式是误差传播定律的一般形式。

前述的（6-9）、（6-12）、（6-14）式都可看着上式的特例。

【例】 某一斜距S =106.28m ，斜距的竖角038'︒=δ，中误差cm 5m s ±=、"20m ±=δ，求改算后的平距的中误差D m 。

解：
δcos ⋅=S D
全微分化成线性函数，用“∆”代替“d ”，得
δ∆δ-∆⋅δ=∆sin S cos s D
应用（6-16）式后，得
47.2402.045.2420626520)918.1570()5()989.0(")sin (cos 2
2222
2222
=+=⎪
⎭
⎫
⎝⎛+±=⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅+=ρδδδm S m m s D 9.4=D m cm
在上式计算中，单位统一为厘米，⎪
⎪⎭⎫ ⎝
⎛"
ρδm 是将角值的单位由秒化为弧度。