稳定连续半格的闭包空间表示

x),
f(∨ D )=∨
f(
x D
∈
则称映射 f:
P →Q 是 Sco
t
t连续的 .
事实上,从连续 doma
i
nP 到 Q 的 Sco
t
t连续映射就是关于 P 和 Q 上的 Sco
t
t拓扑而言的连续映射 .所
有的稳定连续半格带有其上的 Sco
t
t连续映射构成了一个范畴,记作 SD .
1.
2 连续 doma
XJ
20210065);六盘水师范学 院 重 点 学 科 建 设 项 目—
j
g30);曲阜师范大学大学生创新训练项目(
数学重点培育学科(
LPSSYZDPYXK201709);山西省基础研究计 划 项 目(
202103021223272);太 原 科 技 大 学 博 士 科 研 启 动 基 金
(
20202049).
设 x 和y 为 dcpoP 的两个元,如果对于 P 的任意定向子集 D ,当 y≤∨D 时总存在d∈D 使得x≤d,
则称 x 逼近y,并记作 x≪y.记 x = {
y ∈ P|y ≪x}.设 BP ⊆P .对任意的 x∈P ,若存在 x∩BP 的一个
定向子集 D 满足x=∨D ,则称 BP 是 P 的一个基 .若 dcpoP 有一个基,则称之为连续 doma
述性文章可参阅文献[
7].在 Doma
i
n 理论中,一个众所周知的结论是代数格带有 Sco
t
t连续映射构成的范畴
可由代数闭包空间所表示,这一重要 的 发 现 激 励 了 众 多 学 者 进 一 步 探 讨 闭 包 空 间 与 各 种 doma
i
n结构的内
在联系,尤其是国内的一些学者在这方面更是做了很多有意义的工作 .
BD ,
τγ,
F)为一个连续闭
包空间 .
2 主要结果
2.
1 表示定理
本节将给出稳定连续半格基于闭包空间的表示形式,为此需引入如下定义 .
定义 2.
1 设(
X,
τ
γ,
F)为连续闭包空间 .若对任意的 F1 、
F2 、
G1 、
G2 ∈F,有
(M1)M ⊆f <
F1>∩ <
F2>⇒ (∃F ∈F)(
F⊆<
i
n 的闭包空间刻画 10 ;同年,姚灵娟等人建立了双有限 doma
i
n 范畴的
闭包空间表示 [11].上述提及的各种 doma
i
n 结构的闭包空间表示都局限于代数 doma
i
n 或者它的某个满子范
畴上 .
2018 年,文献[
12]首次为 连 续 doma
i
n 范 畴 找 到 了 一 种 合 适 的 闭 包 空 间 表 示,并 由 此 给 出 了 连 续 L-
F1 >⊆U1 以及 M ⊆f
<
F2>⊆U2 .因此 M ⊆f <
F1>∩ <
F2>⊆U1 ∩U2 .又(
X,
τ
γ,
F)为一个可乘闭包空间,根据条件(M1)可知存在
F ∈F 使得 F ⊆f <
F1>∩ <
F2>⊆U1 ∩U2 且 M ⊆f <
F >.这 说 明 U1 ∩U2 ∈R(
X ).故(
第 50 卷 第 1 期
2024 年 1 月
曲
阜 师 范 大 学 学
报
Jou
rna
l o
f Qu
f
u No
rma
l Un
i
ve
r
s
i
t
y
Vo
l.
50 No.
1
J
an.
2024
DOI:
10.
3969/
.
s
sn.
1001
5337.
2024.
1.
061
ji
稳定连续半格的闭包空间表示
王胜文 ① , 张
冰 ② , 马俊叶 ③ , 王龙春 ②
(
)
证明 根据引理 1.
2 知 R X 在集合包含关系下是一个连续 doma
i
n.为证明(
R(
X ),⊆ )为 稳 定 连 续 半
格,只需验证(
R(
X ),⊆ )是一个半格且其上的逼近关系是可乘的 .
设 U1 、
U2 ∈R(
X ).当 M ⊆fU1 ∩U2 时,由定义 1.
6 知存在 F1 、
F2 ∈F 使得 M ⊆f <
(
1)A ⊆γ(
A );
(
2)γ(
γ(
A ))=γ(
A );
(
3)当 A ⊆B 时,
γ(
A )⊆γ(
B ).
定义 1.
3
[
7]
则称映射γ 为闭包算子,并称二元组(
X,
γ)为一个闭包空间 .
[ ]
定义 1.
4 12 设(
X,
γ)为闭包空间 .若映射τ:⊆P(
X )→P(
X )对任意的 A 、
B ⊆X ,满足以下条件
2015 年,郭兰坤等人提出了一种 F[]
可乘闭包空间的概念,实现了代数 doma
i
n 范畴的闭包空间表示 8 ;
2019 年张清霞在其硕士毕业论文中为算
术半格找到了合适的闭包空间描述 [9];
2021 年 吴 明 渊 等 人 建 立 了 一 种 新 的 代 数 doma
i
n的闭包空间表示形
[ ]
式,并在此基础上得到了代数 Ldoma
(
1)τ(
γ(
A ))⊆γ(
A );
(
2)τ(
τ(
γ(
A )))=τ(
γ(
A ));
(
3)当 A ⊆B 时,
τ(
γ(
A ))⊆τ(
γ(
B )).
则称二元组(
X,
τ
γ)为一个广义闭包空间 .为方便起见,常记τ
γ(
A )为<
A >.
[
]
定义 1.
5 12 设(
X,
τ
γ)为广义闭包空间,
P 为 X 的一 些 有 限 子 集 构 成 的 非 空 子 集 族 .若 对 任 意 的 F
i
nD 也是一个半格,则 称 其 为 连 续 半 格 .连 续 半 格 D 中 的 逼 近 关 系 ≪ 若 满 足:
当 a≪b,
c 时有a≪b∧c,则称 D 是稳定连续半格,这时称逼近关系 ≪ 是可乘的 .
定义 1.
2 设 P 和 Q 为连续 doma
i
n.若映射 f:
P →Q 满足对 P 的任意定向子集 D 而言都有
(① 六盘水师范学院数学与统计学院,
553004,贵州省六盘水市;② 曲阜师范大学数学科学学院,
273165,山东省曲阜市;
③ 太原科技大学应用科学学院,
030024,山西省太原市)
摘 要:为 稳 定 连 续 半 格 构 建 合 适 的 闭 包 空 间 表 示,引 入 了 可 乘 闭 包 空 间 的 概 念,证 明 了 可 乘 闭 包 空 间
x,
y},其中 ∧ 称为交算子 .若偏序集 P 中任意两个 元 的 交 都 存 在,则 称 偏 序 集 为 一 个 交 半 格,简 称 半 格 .设 D
为偏序集 P 的一个非空子集,如果 D 的每个非空有限子集都有上界,则称 D 为定向集 .若偏序集 P 的每个
定向子集的上确界都存在,则称 P 是定向完备集,简称为 dcpo.
的正则闭集族在集合包含关系下构 成 了 一 个 稳 定 连 续 半 格,并 且 所 有 的 稳 定 连 续 半 格 都 可 在 序 同 构 的 意 义
下由此生成 .进一步提出了可乘闭包空间之间逼近 映 射 的 概 念,刻 画 了 以 Sc
o
t
t连 续 映 射 为 态 射 的 稳 定 连 续
半格范畴和以逼近映射为态射的可乘闭包空间范畴间的等价性 .
i
n 的闭包空间表示
一般地,闭包空间有两种相互等价的定义形式:一种是一个集合带有它 的 某 个 子 集 族 构 成 的 有 序 对;另
一种是一个集合带有其集族上的一个算子 .本文采用了第二种形式 .
设 X 为集合,
P(
X )为 X 的幂集族 .若映射γ:
P(
X )→P(
X )对任意的 A 、
B ⊆X ,满足
F ⊆ U2).
1)
(
5)若 U 为正则闭集且 M ⊆fU ,则存在 F ∈F 使得 F ⊆U 且 M ⊆ <
F >⊆U .
[
12]
引理 1.
设(2X,Fra bibliotekτγ,
F)为一个连续闭包空间 .则 R(
X )在集合包含关系下构成一个连续 doma
i
n.
设 BD 为连续 doma
i
n(
D ,≤ )的一个基,对任意的 A ⊆BD ,定义γ(
第一作者:王胜文,男,
1972
-,博士,副教授;研究方向:
Doma
i
n 理论;
E-ma
i
l:
wangshw7201@163.
c
om.
通信作者:王龙春,男,
1975
-,博士,副教授;研究方向:
Doma
i
n 理论与非经典数理逻辑;
E-ma
i
l:
l
ogchunw@163.
c
om.
62
曲阜师范大学学报(自然科学版)
所知稳定连续半格的闭包空间表示仍是未知的 .本文将在文献[
12]的基础上给出稳定连续半格的闭包空间
表示 .文章内容安排如下:预备知识回顾了本文将要 用 到 的 Doma
i
n 理 论 的 知 识,同 时 也 回 顾 了 文 献[
12]的
收稿日期:
2022
08
30
基金项目:曲阜师范大学校级教改项目(
22
2024 年
一些重要结论;文章的主要结果部分首先给出了可乘闭包空间的概念,其次利用可乘闭包空间中正则闭集的
概念得到了稳定连续半格的表示定理,然后引入稳定连续半格间逼近映射的概念,并在此基础上构建了与稳
定连续半格等价的可乘闭包空间范畴 .
1 预备知识
本节第 1 部分回顾了本文所需要的关于序与 Doma
关键词:闭包空间;
Doma
i
n 理论;稳定连续半格;
Sc
o
t
t连续映射;范畴等价
中图分类号:
O153.
1
0 引
文献标识码:
A
文章编号:
1001
5337(
2024)
01
0061
06
言
基于序、拓扑、范畴论等的 Doma
i
n理论为计算机程序语言的指称语义构建了具有可计算性的数学模
型 .寻求各种 doma
i
(
2)
U 为一个正则闭集当且仅当集族{<
F>
|F ∈F,
F ⊆U }是定向的且 U =∪ {<
F>
|F ∈F,
F ⊆U }.
(
3)若{
Ui|
i∈I}为定向正则集族,则 ∪Ui 也是一个正则集 .
(
4)若 U1 、
U2 为定向正则集,则
i∈I
(
U1 ≪ U2 ⇔ (∃F ∈ F)(
U1 ⊆ <
F >,
n 结构具体而易于理解的表示形式一直是 Doma
i
n 理论研究中的一个热点问题 .国内外
许多学者利用信息系统 [1,2]、形式概念分析 [3,4]、逻辑演算 [5,6]等不同数学工具在此领域已做了许多卓有成效
的研究 .
闭包空间作为一种重要的数学工具也已被广泛地用以刻画各种序与代数 结 构,关 于 闭 包 空 间 的 表 示 综
doma
i
n,有界完备 doma
i
n 等子范畴的表示方法 .若将这一方法限制在代数情形,也可用以刻画代数doma
i
n,
代数 Ldoma
i
n 以及 Sco
t
t
doma
i
n 等范畴 .
2021 年李庆国等人利用文献[
12]提出的思想给出了连续格的一
[ ]
种闭包空间表示 13 .
我们知道算术半格是稳定连续半格的代数形式,虽然算术半格已找到了合适的闭包空间表示,但据我们
∈F 和 M ⊆f <
F >都存在 F1 ∈F 使得 M ⊆ <
F1>且 F1 ⊆ <
F >,则称(
X,
τ
γ,
F)为一个连续闭包空间 .
[ ]
定义 1.
6 12 设(
X,
τ
γ,
F)为一个连续 闭 包 空 间,
U 为 X 的 一 个 非 空 子 集 .若 对 任 意 的 M ⊆fU 都 存
<
>
,
,
i
n.
用 F ⊆fA 表示 F 是集合 A 的一个有限子集,并用 F ≪y 表示 F 中的每个元x∈F 都满足x≪y.连续
doma
i
nP 满足如下的插入性:设 BP 为 P 的一个基,
y∈P 且 M ⊆fP ,若 M ≪y,则存在 z∈BP 使得 M ≪z
≪y 成立 .
定义 1.
1 若连续 doma
,
)
在 F ∈F 使得 M ⊆ F ⊆U 则称 U 为(
X τ
γ F 的正则闭集 .
第1期
王胜文,等:稳定连续半格的闭包空间表示
63
连续闭包空间(
X,
τ
γ,
F)的所有正则闭集之族记作 R(
X ).
[
]
引理 1.
1 12 设(
X,
τ
γ,
F)为一个连续闭包空间 .
(
1)若 F ∈F,则<
F >是一个正则闭集 .
A )=↓A ∩BD ,
τ(
A )= A ∩BD .
令 F 为 BD 的所有具有最大元的有限子集之族 .则对任意的 F ∈F,有 ∨F ∈F 且
这时有如下结论 .
τγ(
F )= <
F >= (∨ F )∩ BD .
(
2)
[ ]
引理 1.
3 12 设 BD 为连续 doma
i
n(
D ,≤ )的一个基,则上述定义的三元组(
F1>∩ <
F2>,
M ⊆<
F >),
(M2)G1 ⊆ <
F1>,
G2 ⊆ <
F2>⇒ (∃F ,
G ∈F)(<
G1>∩ <
G2>⊆ <
G >,
G⊆<
F >⊆ <
F1>∩ <
F2>).
则称(
X,
τ
γ,
F)为可乘闭包空间 .
定理 2.
1 设(
X,
τ
γ,
F)为一个可乘闭包空间 .则 R(