《数学方法论》数学中的化归方法

第五章 数学中的化归方法
就数学思想方法的研究而言，一个重要问题在于：与一般的科学家（例如物理学家）相比，数学家在思想方法上是否有其特殊的地方。

对于上述问题、匈牙利着名数学家罗莎·彼得（Rosza Peter ）在其名着《无穷的玩艺》中曾通过一个有趣的事例进行分析。

她所给出的事例是这样的：
有人提出了这样一个问题：“假设在你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴，你想烧开水，应当怎样去做？”对此，某人回答说：“在壶中灌上水，点燃煤气，再把壶放到煤气灶上。

”提问者肯定了这一回答。

但是，他又追问到：“如果其它的条件都没有变化，只是水壶中已经有了足够的水，那么你又应当怎样去做？”这时被提问题者往往会很有信心地回答道：“点燃煤气，再把壶放到煤气灶上”。

但是，这一回答却未能使提问者感到满意，因为，在后者看来，更为恰当的回答是：“只有物理学家才会这样的；而数学家则会倒去壶中的水，并声称他已经把后一问题化归成先前的已经得到解决的问题了。

”
罗莎指出，这种思维方法对数学家来说是十分典型的。

这就是说：“他们往往不是对问题实行正面的攻击，而是不断地将它变形，直至把它转化成能够得到解决的问题。

”这也就是说，数学家思维的重要特点之一，就是他们特别善于使用化归的方法去解决问题。

本章的内容主要是论述化归方法的基本思想与原则以及一些具体的化归方法。

§5.1 化归方法的基本思想与原则
人们在认识一个新事物或解决一个新问题时，往往会设法将对新事物或新问题的分析研究纳入到已有的认识结构或模式中来。

例如，我们在解决数学问题的过程中，常常是将待解决的问题通过转化，归结为较熟悉的问题来解决，因为这样就可以充分调动和运用我们已有的知识、经验和方法于问题的解决。

这种问题之间的转化概括起来就是化归方法。

“化归”是转化和归结的简称。

化归方法是数学中解决问题的一般方法，其基本思想是：人们在解决数学问题时，常常是将待解决的问题A ，通过某种转化手段。

归结为另一个问题B ，而问题B 是相对较易解决或已有固定解决模式的问题，且通过对问题B 的解决而得到原问题A 的解答。

用框图可直观表示为：
着。

因此，作为一个数学系统或数学结构，其组成要素之间相互依存和相互联系的形式是
在数学史上，曾有不少数学家从各种不同的角度对化归方法进行过论述。

例如，笛卡儿在《指导思维的法则》一书中就曾提出过如下的“万能方法”：
第一，将任何实际问题化归为数学问题；
第二，将任何种类的数学问题化归为代数问题；
第三，将任何代数问题化归为方程式的求解。

由于求解方程的问题被认为是已经解决的（或者说，是较为容易解决的），因此，在笛卡儿看来，我们就可以利用这样的方法去解决各种类型的问题。

笛卡儿所给出的这一“问题解决”的模式可以看作是化归方法的一种具体运用。

这一基本思想曾帮助笛卡儿发明了解析几何；而且现今人们把几何学命题的证明过程转化为代数方程组的零点集确定问题，最后实现机器证明定理的目标，也是这一思想的现代发展和深化。

当然，任何方法都必然具有一定的局限性，因而所谓的“万能方法”是根本不存在的。

数学中的化归方法在数学的理论研究及数学问题的解决过程中都占有重要的地位。

例如，两个数转化 （化归 目标） （化归 对象）
学系统之间的同构关系（视为一种化归），不同的数学对象化归在同一种数学系统中进行研究，从而导致新的数学理论的产生，因而推动了数学的发展。

另一方面，化归又为解决数学问题提供了一个有力的武器。

例如，在微积分中，不定积分的计算方法中就有所谓分部积分法。

设函数()()x v x u ,具有连续的导数，则
()()()()()()⎰⎰'-='dx x v x u x v x u dx x v x u ①
或写作
()()()()()()⎰⎰-=x du x v x v x u x dv x u ②
利用公式①或②有时可以使难求得不定积分()()⎰'dx x v x u 转化为易求的不定积分
()()⎰'dx x v x u ，从而得到所要求的结果。

又如，在定积分理论中，有着名的牛顿—莱布尼茨公式：
若函数()x F 是连续函数()x f 在区间[]b a ,上的一个原函数，则
牛顿—莱布尼茨公式不仅在理论上是很重要的，而且在实际计算中也有重要的意义，即将求定积分的问题化归为求被积函数的原函数或不定积分的问题。

“问题是数学的心脏”，数学问题的解决是数学教学中的一个重要组成部分，而几乎所有的数学问题的解决都离开不化归，只是体现的化归形式不同而已。

计算题是利用规定的计算法则进行化归；证明题是利用定理、公理或已解决了的命题进行化归；应用问题是利用数学模型进行化归。

数学问题的化归方法也是多样的。

把高次的化为低次的；多元的化为单元的；高维的化为低维的；把指数运算化为乘法运算；把乘法运算化为加法运算；把几何问题化为代数问题；把微分方程问题化为代数方程问题；化无理为有理；化连续为离散；化离散为连续；化一般为特殊；化特殊为一般；……。

因此说，离开化归方法，数学问题的解决将寸步难行。

总之，数学中的化归方法的目的就是化难为易，化繁为简，化生为熟，化暗为明。

为了实现有效的化归，一般应遵循以下诸原则：
1、化归目标简单化原则
化归目标简单化原则是指化归应朝目标简单的方向进行，即复杂的待解决问题应向简单的较易解决的问题化归。

这里的简单不仅是指问题结构形式表示上的简单，而且还指问题处理方式方法的简单。

例1，已知0,4)21()12(22222≠-=-+-b a x x bf x af 求)(x f 。

分析：根据题设等式结构的特点，遵循简单化原则，予以简化。

只须令y x =-122
，条件等式就可化为22)()(+=-+y y bf y af ，在此条件下求f ，关系就明朗许多。

由新条件等式中)(y f 与)(y f -的特殊关系，我们可想到在等式中用y -代y ，仍会得到一个关于)(),(y f y f -的等式，这样，问题就化归为求解这两个等式组成的关于)(),(y f y f -的方程组
这是一个简单问题。

例2，一个凸n 边形，无三条对角线共点，它的边和对角线一共可以组成多少个三角形？
分析：我们根据目标——由凸n 边形的边和对角线组成的三角形，是否含有凸n 边形的顶点，含有多少个顶点，将所求的三角形所成的集合S 分为4个集合
{}边形的顶点个顶点为凸的三顶点中恰有且n i s S s s S S S S S i ,,,,,3210∈==i 0,1,2,3。

显见，3S 与凸n 边形的顶点集的三元子集一一对应，故
;33n C S =2S 的每4个三角形对应于凸n 边形顶点集的一个四元子集，反之，不同的四元子集对应于2S 中完全不同的4个三角形，于是 ;442n C S =
同理： ;551n C S =
;60n C S =
故 ∑=+++==3
0345645i n n n n i C C C C S S 。

2、和谐统一性原则
化归的和谐统一性原则是指化归应朝着使待解决的问题在表现形式上趋于和谐，在量、形、关系方面趋于统一的方面进行，使问题的条件与结论表现得更匀称和恰当。

例3．已知1111=++=
++z y x z y x ，、求证：z y x ,,三个数中至少有一个为1。

分析：由于条件给出的是z y x ,,的运算关系。

由和谐统一性原则，欲证结构，我们只需证： ① 0)1)(1)(1(=---z y x （将结果也表明为一种运算关系）
如何证明①？不妨把它化为
② 01=-+++---xyz zx yz xy z y x
联想到条件 1=++z y x ，可知要证②，只需证：
③ 0=-++xyz zx yz xy 而③与条件1
111=++z y x 等价的，可知原结论是成立的。

例4.在△ABC 中证明：
分析：三角形的射影定理：
反映了三角形中边角之间所固有的和谐统一，正是这种和谐统一性启发我们将原问题化归为齐次线性方程组的解的讨论问题：
我们将射影定理写成
由此可知，c b a ,,（非零的）是齐次线性方程组
的一组非零解。

根据齐次线性方程有非零解的充要条件是其系数行列式等于零。

即
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛------1 cos cos cos 1 cos cos cos 1 det A B A C B C = 0 ∴1cos cos cos 2cos cos cos 222=+++C B A C B A
3、具体化原则
化归的的具体化原则是指化归的方向一般应由抽象到具体，即分析问题和解决问题时，应着力将问题向较具体的问题转化，以使其中的数量关系更易把握，如尽可能将抽象的式用具体的形来表示；将抽象的语言描述用具体的式或形表示，以使问题中的各种概念以及概念之间的相互关系具体明确。

例5 求函数11363)(2
424+--+--=x x x x x x f 的最大值。

分析：函数结构复杂，无法用常规方法解。

设法将其具体化。

由根式我们会联想到距离，问题的关键是两个根式内的被开方式能否化成平方和的形式。

通过拆凑，发现可以，即
对其作适当的语义解释，问题就转化为：求点),(2x x P 到点A （3，2）与点B （0，1）距离之差的最大值。

进一步将其直观具体化（如图5.1）。

由A 、B 的位置知直线AB 必交抛物物2x y =于第二象限的
一点C ，由三角形两边之差小于第三边知，P 位于C 时，)(x f 才能取到最大值。

且最大值就是AB ，故 10)(max ==AB x f 。

上述分析过程的关键是将问题通过几何直观，转化为具体的形，“形”使我们
把握住了)(x f 的变化情况。

4、标准形式化原则 化归的标准形式化原则是说将待解决问题在形式上向该类问题的标准形式化归，标准形式是指已经建立起来的数学模式，因为数学从某种意义上来说是关于
模式的科学，如一元二方程求根公式及根与系数的关系都是关于标准形式的一元二次方程02=++c bx ax 而言的，只有化归成标准的一元二次方程形式后，才可用有关结果。

二次曲线的有关理论都是针对标准形式方程讨论的，因此也只有化成标准方程形式，才可能运用这些理论。

所以，问题向标准形式化归也是数学解题思维的一个基本原则。

5、低层次化原则
化归的低层次化原则是说，解决数学问题时，应尽量将高维空间的待解决问题化归成低维空间的问题，高次数的问题化归成低次数的问题，多元问题化归为少元问题解决，这是因为低层次问题比高层次问题更直观、具体、简单。

例6 求方程 6133+=-xy y x 的自然数解y x ,。

分析：由方程结构知，x ＞y ，又由))(()(2233y x y x xy y x y x +-+-=-知x 不能比y 大太多，考虑用线性代换d y x +=降低方程次数。

代入原方程并整理得61)3()13(3
22=+-+-d y d d y d 。

由x ＞y 得1≥d ，从而13-d ＞0。

又因为y ＞0，所以，3d ＜61,d ≤3 。

因此，d 只有三种可能的取值d =1,2,3.。

不难验证，只有1=d 时，y 才有自然数解，此时.6,5=+==d y x y 因此，原方程的自然数解为.5,6==y x
又如§2.3中的例4就是一个将高维空间的待解决的问题化归成低维空间的问题的一个成功例子。

下面我们将介绍一些具体的化归方法。

§5.2 变换方法
首先讲到的是恒等变形，这是最常用的方法。

所谓“恒等”，其意思是不要变；所谓“变形”当然又是要求变。

在这里，变的要求是主要方面，要化归就必须变；但变化时又必须遵守一定规则，在这里是要求“恒等”，也就说恒等变形是要求变要在“不变”的前提下进行。

例1．已知3010.02lg =，不查表求出5lg 。

分析：已知者2lg ，未知者5lg ；仅依靠一个已知的3010.02lg =怎么求出 5lg 呢？当然还得寻求已知的东西。

事实上，我们还知道ΛΛ,2100lg ,01lg ,110lg ===，但对我们有用的，可能就是110lg =了，因为
2lg 10lg 210lg 5lg -==。

这样，我们就能很快求出 5lg 的值。

这里，关键在把5变形为 210
，并得用了 110lg = 的这一隐含的已知条件。

这是一个再简单不过的例子，但它说明要会变，在变中将未知的东西化归为已知的东西。

还有一个有趣的事实在是上面利用了 110lg =，“1”在数系中占有重要地位，作为数域里的元素，它是单位元。

因此便产生了许多关于“1”的恒等式，比如，
∑⎰∞==-=+=︒=≠=122.,211,11,cos sin 1,1),0(1n n b a dx a b x x a a a a ΛΛ。

因此，在解题中，有时利
用这些恒等式，往往能起到事半功倍之效。

在初等数学中我们常利用变量替换、换元、增量替换等方法解题，关键在于根据问题的结构特征，适当选取能够以简驭繁、化难为易的变换，以实现问题的化归。

例2 设1,0,,=++≥z y x z y x 且，求证：
27720≤-++≤xyz zx yz xy 。

分析：02≥-++xyz zx yz xy 较易证明，下面讨论2772≤
-++xyz zx yz xy 。

由1=++z y x ，取其平均值31
为标准量，进行如下增量替换：
31,31,31-=-=-=z c y b x a ，则10,3a b c b ++=≥-且，于是，令
因为c b a ，，不全为正，不妨设0b ≤，但
13b ≥-，所以016≤-b ，于是 即故,0≤f 2772≤-++xyz zx yz xy 。

例3，解方程2412322=+--++x x x x 分析：换元：令a x x +=++11232，则142-=+-a x x 所以，方程化简为
由（1）得2-=a x ，代入（2）得：
得 93=a 即 3=a ，从而 1=x 。

经检验知1=x 是原方程的解。

例4 解方程 01333223=-+++x x x
分析：解这个关于x 的三次方程较困难，但注意到系数的特点，我们不妨把 3看作未知数，即设t =3，则得到关于t 的二次方程
由于0≠x ，解上述方程得：
于是有 31312=++-=-x x x x 或。

所以，原方程的解为：
由以上这些具体例子可以看出，利用各种代换法解题，一方面要分析问题的结构特征，对已知条件作适当的变形；另一方面要善于发现问题中的特殊条件、结构，挖掘问题中所隐含的特殊关系，以便于由这些特殊条件提出各种可能的代换。

这样可在作出这些代换后减少变量的个数，降低次数，使问题结构简单，常收到出人意料的效果。

其次我们来讲参数变易法。

辩证唯物论肯定事物之间的联系是无穷的，联系的方式是丰富多彩的，有明有暗，有显有隐。

科学的任务就是要揭示事物之间的联系，从而发现事物的变化规律。

参数常存在于所研究的问题中，它虽不是直接的研究对象，但参数的作用是刻画事物的变化状态，揭示变化因素之间的内在联系。

在解决数学问题时，引进了参数就能表现出较大的能动作用和活力。

利用参数可沟通问题中各个量之间的内在联系，或改变数量关系的结构，或利用参数求出所需确定的常数和变量。

在表现形式上即是将待解决的问题化归为参数问题加以解决。

例5 在单位正方形的内接正三角形中，找出一个面积最大的与一个面积最小的，并求出这两个面积。

分析 如图 5.2，单位正方形ABCD 的内接正三角形EFG 必有两个顶点落在对边，不妨设是在AB 、DC 两边上。

由于正三角形的面积由边长唯一确定，所以我们只要在所有的内接正三角形中，找出一个边长最大的与一个边长最小的即可，注意到EFG ∆的边长大小是随FG 与AB 的交角而变动，所以我们可考虑以 GFB ∠ 的大小为参数，即令α=∠GFB ，因GFB ∠为钝角时，FGC ∠将为锐角，故由对称性可只讨论 ︒≤90α的情况。

为了把α与FG 联系起来，我们作,H AB GH 于⊥ 于是有 ααsin 1sin ==HG FG ，
即随α的增大（或减小），边FG 减小（或增大）。

由此易知，当 F 与
C G
B
F 图5.2
H 重合时，正三角形 EFG 的面积最小，此时
43)90sin 1(432=︒=∆EFG S ；
当G 与C 重合时，正三角形EFG 的面积最大，此时
332)75sin 1(432-=︒=∆EFG S 。

此例解决问题的基本方法是引入必要的参数，利用参数与已知量及所求量之间的关系列式，通过讨论参数的变化而求得原问题的解。

在此，参数对我们解题所要达到的目的起着桥梁作用，引入参数则是我们试图达到目的的一种手段。

例6 已知b a ,是实数，且01234=++++ax bx ax x 至少有一个实数根，试计算22b a +能取的
最小值。

分析：原方程是一个偶次倒数方程，可化为
0)1()1(22=++++
b x x a x x （1）
并把原方程的实数根确定为正根x ＞0。

因为方程（1）的每一实根是正数或者是负数。

如果0x ＜0是方程（1）的负根，则0x -＞0是方
程01234=+-+-ax bx ax x 的正根，而22)(b a +-=22b a +，所以只研究方程（1）至少有一正根
就可以了。

令x x u 1+=代入（1）得 022=-++b au u （2）
由x ＞0,2≥u ，可知方程（2）至少有一个不小于2的根。

另外，记222b a d +=，d 表示坐标平面上点),(b a 与原点的距离。

解：设方程（2）不小于2的实根为()()a b a u ---=24212，所以
⎪⎩⎪⎨⎧+≥---≥⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥---≥--4)2(4)2(42)2(4(2
10)2(42222a b a b a a b a b a
()()()()⎪⎩
⎪⎨⎧≤++≥+-≥⇒⎪⎩⎪⎨⎧+≥--≥+-≥⇒022********
4242222b a a b a a b a a b a 这组不等式的解集是图5.3，有斜纹线的平面块x 。

所以d
这些距离的最小值是边界022=++b a 与原点的距离。

以上两例所解决的问题各异，而解决问题的基本方法是一致的，即引入必要的参数，
利用参数刻画过程的变化状态，以参数为媒介揭示变量之间的内在联系，从而达到将复杂
而困难的问题，化归为简单且容易的问题的目的。

应用参数变量法的关键在于恰当地选取参数，只有参数引入得好，问题才能迎刃而解，收到事半功倍的效果。

图5.3
最后我们来讲几何变换法
1872年德国数学家克莱因（F.Klein ）提出了着名的变换群理论。

他认为，每一种几何应该有一个主变换群，图形在该变换群的变换下的不变性与不变量，就是几何所研究的对象。

这就为几何研究的目标、对象提出了一个新颖的观点。

克莱因的变换群理论在几何学的历史上是一个重要的里程碑,世人称这一理论为“爱尔兰根纲领”,现将此纲领简介如下：
设给定了一个集合V 和其中元素间的一个变换群G ，V 称为空间，其中的元素叫做点，V 的子集叫图形。

于是，以研究图形关于群G 所有不变量为内容的学科，就叫做V 上相应于群G 的几何学。

依此观点，区分几何学有两个要素：空间V 和变换群G 。

（1）空间V 不同，相应的几何学也不同。

例如，V 是平面谓之平面几何，V 是球面谓之球面几何…。

（2）群G 不同，几何学也不同。

例如与刚体运动群相应的是欧氏几何，与相似变换群相应的是相似几何学…。

所谓几何变换法是指将在某一关系结构中的问题变换到另一关系结构中去研究的一种化归方法，
例7 如图5.4，过一圆的弦AB 的中点M 引任意 两弦CD 和EF ，连CF 和ED 交AB 于P 、Q 两点 ，求证：M 是PQ 的中点。

分析：由于圆是轴对称图形，欲证M 平分PQ ， 关健在于证明P 、Q 关于OM 对称。

因此考虑点C
关于OM 的对称点C ˊ，于是可由轴反射变换下的 不变性和不变量分析得出证明的思路：首先证 明M 、Q 、E 、C ˊ四点共圆，
再证C MQ MPC '∆≅∆，从而得证MQ PM =。

例8，试证：三角形的三边中点，三垂足，三个顶点到垂心连线的中点，九点共圆。

分析：如图5.5，设H 为ABC ∆的垂心，S 、T 、L 是各顶点
到垂心连线的中点。

欲证的九点圆可由S 、T 、L 决定。

由此可知，
这九点圆与ABC ∆的外接圆O 位似。

（建立了
以H 为位似中心，2为位似系数的位似变换）。

要证九点共圆，我们只须证下面两点：
（1）设AH 交BC 于N ，并延长AH 交
圆O 于H '，
往证H '点即为N 点的位似变换像
（即证H N HN '=）.
事实上，因BC AH ⊥，AB CH ⊥， 则有CB H AB H BCH '='
∠=∠。

故有H N HN '=。

（2）连MH （M 为BC 的中点），延长HM 至A '，
使A M HM '=。

往证A '点即为M 点的位似变换像（即证A '圆O 上）。

事实上，因为BM=MC ，所以CH A B '是平行四边形，有BH C A ='，又︒='∠90CA A ，从而︒='∠90BA A ，故A '在O O 上。

根据（1）、（2），即知ABC ∆的三个垂足，三边中点都在S 、T 、L 决定的图上，即九点共园。

例9，以任意四边形ABCD 的各边为斜边，分别向形外作等腰直角三角形 DAH CDG BCF ABE ,,,求证：FH EG FH EG ⊥=,。

证：如图5.6，因为EA=EB ，︒=∠90AEB ，FB=FC ，︒=∠90BFC ，作旋转变换，使
A C
B A R F E R −−−→−−−→−−−−→−︒︒︒)180;0()90;()90;(
图5.4
（O 为AC 的中点）
图5.5 E
且I R F R E R =⋅︒⋅︒)180;0()90;()90;(，其中I 为恒等变换，则由旋转变换的有关性质知：
EOF ∆为等腰直角三角形，且︒=∠90EOF 。

同理，GOH ∆为等腰三角形，且︒=∠90GOH 。

我们再作变换)90;0(︒R 。

使 ∴ FH EG =（旋转变换下，对应线等相等） FH EG ⊥（旋转变换下，对应直线所成的角等于旋转角）。

运用几何变换的理论和方法讨论欧氏几何是用现代数学的思想方
法处理综合几何的一种重要途径。

一个图形，可以看作是一个点集，讨
论图形的位置关系或数量关系，可以用变换的观点讨论在某种变换下的特殊规律。

用几何变换（或渗透几何变换的思想方法）处理中学几何，
这是当前改革中学几何内容的基本思路之一。

§5.3 一般化与特殊化方法
众所周知，“从特殊到一般”与“由一般到特殊”乃是人类认识客观世界的一个普
遍规律，它在如下两个方面制约着化归方法的运用。

一方面，由于事物的特殊性中包含着普遍性，即所谓共性存在于个性之中，而相对一般而言，特殊的事物往往显得简单、直观和具体，并为人们所熟知，因而当我们处理问题时，必须注意到问题的普遍性存在于特殊之中，进而去分析考虑有没有可能把待解决的问题化归为某个特殊问题；另一方面，由于“一般”概括了“特殊”，“普遍”更能反映事物的本质，因而当我们处理问题时，也必须置待解决的问题于更为普遍的情形之中，进而通过对一般情形的研究而去处理特殊情形。

从总体角度来看，这两个方面既各有独特的作用，又是互相制约、互相补充的。

一般化与特殊化方法是数学研究及数学解题中常用的化归方法。

1、特殊化方法
波利亚曾经说过：“特殊化是从考虑一组给定的对象集会过渡到该集合的一个较小的子集，或仅仅一个对象。

”因此，特殊化常表现为范围的收缩或限制，即从较大范围的问题向较小范围的问题过渡，或从某类问题向其某子类问题的过渡。

从形式上看，将一般性问题特殊化是不困难的，但某个一般性问题经过不同的特殊化处理会得到多个不同的特殊化命题，那么，哪个特殊化命题最有利于一般性问题的解决呢？显然，较为理想化的特殊问题是其自身容易解决，且从某解决过程中又易发现或得到一般性问题的解法，所以，特殊化的关键是能否找到一个最佳的特殊化问题。

先谈一个古老而着名的难题——“摆硬币”。

例1 两人相继往一张圆桌上平放一枚同样大小的硬币（两人拥有同样多的硬币，且两人的硬币合起来足够摆满桌子），谁放下最后一枚而使对方没有位置再放，谁就获胜，试问是先放者获胜还是后放者获胜？怎样才能稳操胜券？
当时有人向一位有才能的数学家提出这一难题时，引出了如下一段有趣的对话。

数学家：这有什么难的！如果圆桌小到只能放下一枚硬币，那么先放者获胜。

提问者：这还用你讲？简直是废话！
数学家：不！这是一个很重要的特殊情况，它的解决将导致一般情况的解决。

提问者：怎么解决？
数学家：我先放中心位置，利用圆桌的对称性，我就可以获胜，不管是圆桌还是方桌，只要有对称中心就行，硬币大小也可以不一，只要两人都有就行。

数学家独具慧眼，就从一般性问题一下子找到一个极易求解的特殊情形，并能将该特殊情形下的解法推向一般，从而轻而易举地解决了上述难题，而且还做了推广。

需要特别指出的，将一个一般性的问题特殊化，通常并不难，而且经特殊化处理后会得到若干个不同的特殊问题，我们应该注意从中选择出其解法对一般解法有启迪的，或一般情况易于化归为该特殊情况来求解的。

如在例1中任取圆桌径为1米，硬币直径为2厘米，得到另一特殊问题，但其解法难于利用和推广。

F C D
B A
E
G H
O 图5.6
例2 在单位正方形的周界上任意两点之间连一条曲线，如果它把正方形分成面积相等的两部分，证明这条曲线的长度不小于1。

分析 满足题设的两点，所在位置可分为：
①两点在单
位正方形的一组
对边上； ②两点在单位正方形的一组邻边上； ③两点在单位正方形的同一条边上； 容易看到，①是最好解决的，如图5.7（a ），曲线
MN 的长度≥1=AB 。

然后，设法把②、③类情况化归为情况①。

情况②如图5.7（b ），曲线MN 必与AC 相交（否则MN 不可能把正方形分为两个等积形），设交
点为G ，作GM 关于AC 的对称曲线M G '，此时M '在AD 上，由①知曲线GN M '
的长度≥1，从而曲线MN 的长度≥1。

情况③，如图5.7（c ），将它化归为①的情形的作法与②类似，只须把②中的对称轴AC 改为对称轴EF （EF 与M 、N 所以边AB 平行，且为中位线）即可。

例3 若0i x f (i =1,2,3,……, n)，则
分析 把结论特殊化，取两项进行研究，即先证
2122
1122x x x x x x +≥+ (1) 逆推，去分母、比较，（1）即可得证，但这一证法不能推广到一般的n ，即它只具特殊性而无一般性。

若采取添项的办法，由算术——几何平均不等式得 21222
1112222x x x x x x x x +≥+++ (2)
从而推出（1），显见此证法具有一般性，从这一特殊解法中我们得到一般解法的启迪，从而使一般性问题获得解决。

例4 在一平面内给定n 个点，其中n ＞4，且任意三点不共线。

证明：至少有23-n C 个凸四边形，其顶点为给定的点。

分析：直接考虑一般情况较难。

由于n ＞4，所以先考虑5=n 这一特殊情况。

易证至少存在一个（235-C ）以给定点为顶点的凸四边形。

由此想到，当平面内给定n 个点时，可构成5n C 个不同的五点集，利用当5=n 时的结论以及同一凸四边形至多属于4-n 个不同的五点集，可得至少有45-n C n
个凸四边形
以给定点为顶点，比较23-n C 与45-n C n 即得结论。

证明：先证明5=n 时结论成立。

因
122235==-C C ，只须证明至少存在一个以给定点为顶点的凸四边形即可。

对此又可分如下两种情况：
（1）五个点中的四个点是一凸四边形的顶点，另一点任意。

（2）五个点中的三个点A 、B 、C 构成一三角形，而其它两点D 、E 在该三角形内部。

M
B C N C B B C F （a ）
（c ） 图5.7 N N。