(常考题)人教版高中数学选修一第一单元《空间向量与立体几何》测试题(有答案解析)(4)

一、选择题
1．设O ABC -是正三棱锥，1G 是ABC 的重心，G 是1OG 上的一点，且
13OG GG =，若OG xOA yOB zOC =++，则x y z ++=（ ）．
A ．14
B ．12
C ．34
D ．1
2．直三棱柱111ABC A B C -中，1AC BC AA ==，90ACB ∠=，则直线1A C 与平面11A BC 所成的角的大小为（ ）
A ．30
B ．60
C ．90
D ．120
3．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果()2,1,4AB =--，
(4,2,0)AD =，(1,2,1)AP =--.对于结论：①||6AD =；②AP AD ⊥；③AP 是平面ABCD 的法向量；④AP//BD .其中正确的是（ ） A ．②④ B ．②③ C ．①③ D ．①② 4．如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，△ABC 为等边三角形，△PAC 为等腰直角三角形，PA ＝PC ＝4，平面PAC ⊥平面ABC ，D 为AB 的中点，则异面直线AC 与PD 所成角的余弦值为（ ）
A ．14
B ．24
C ．24-
D ．12
5．如图，在三棱锥O ABC -中，点D 是棱AC 的中点，若OA a =，OB b =，
OC c =，则BD 等于（ ）
A ．1122a b c -+
B ．a b c +-
C ．a b c -+
D ．1122a b c -+- 6．如图，三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都相等，1160BAA CAA ∠=∠=︒，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ）
A ．
306 B ．63 C ．3 D ．66
7．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N ，P 分别为棱AD ，1CC ，11A D 的中点，则1B P 与MN 所成角的余弦值为（ ）
A 30
B ．1
5- C 70 D ．15
8．在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，若2AC x AB y BC z CC →→→→''=++，则x y z ++=（ ）
A ．52
B ．2
C ．32
D ．116
9．以下四个命题中，正确的是（ ）
A ．若1123
OP OA OB =+，则P 、A 、B 三点共线 B ．若{,,}a b c 为空间的一个基底，则{,,}a b b c c a +++构成空间的另一个基底 C ．()a b c a b c ⋅=⋅⋅
D ．ABC 为直角三角形的充要条件是·0AB AC =
10．如图，平行六面体中1111ABCD A B C D -中，各条棱长均为1，共顶点A 的三条棱两两所成的角为60°，则对角线1BD 的长为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．2
11．已知在四面体ABCD 中，点M 是棱BC 上的点，且3BM MC =，点N 是棱AD 的中点，若MN xAB y AC z AD =++其中,,x y z 为实数，则x y z ++的值是（ ）
A ．12
B ．12-
C ．－2
D ．2
12．已知ABC ，AB AC =，D 是BC 上的点，将ABD ∆沿AD 翻折到1AB D ∆，设点A 在平面1B CD 上的射影为O ，当点D 在BC 上运动时，点O （ ）
A ．位置保持不变
B ．在一条直线上
C ．在一个圆上
D ．在一个椭圆上
13．如图，在60︒二面角的棱上有两点A 、B ，线段AC 、BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB ，若4AB AC BD ===，则线段CD 的长为（ ）
A ．43
B ．16
C ．8
D ．42 二、填空题
14．在三棱锥P -ABC 中，PA ，AB ，AC 两两垂直，D 为棱PC 上一动点，2PA AC ==，3AB =.当BD 与平面PAC 所成角最大时，AD 与平面PBC 所成角的正弦值为________. 15．在一直角坐标系中，已知()1,6A -，()3,8B -，现沿x 轴将坐标平面折成60︒的二面角，则折叠后A ，B 两点间的距离为__________．
16．已知正三棱锥P ABC -的侧棱长为2020，过其底面中心O 作动平面α交线段PC 于点S ，交,PA PB 的延长线于,M N 两点，则111PS PM PN
++的取值范围为__________
17．平行六面体1111ABCD A B C D -中，已知底面四边形ABCD 为正方形，且113A AB A AD π∠=∠=
，其中，设1AB AD ==，1AA c =，体对角线12AC
=，则c 的值是______.
18．平行六面体1111ABCD A B C D -中，1160A AB A AD BAD ∠=∠=∠=︒，且1AB =，2AD =，13AA =，则1AC 等于______.
19．设a =（1，1，0），b =（﹣1，1，0），c =（1，0，1），d =（0，0，1），,,,a b c d 存在正交基底，则四个向量中除正交基底外的向量用正交基底表示出来并写在填空处；否则在填空处写上“无正交基底”．你的答案是_____．
20．设E ,F 是正方体1AC 的棱AB 和11D C 的中点,在正方体的12条面对角线中,与截面1A ECF 成60︒角的对角线的数目是______.
21．已知直线l 的一个方向向量(4,3,1)d =，平面α的一个法向量(,3,5)n m =-，且//l α，则m =____
22．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，12AB AD AA ===，90BAD ∠=，1160BAA DAA ∠=∠=，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值是________． 23．在空间直角坐标系O xyz -中，已知(1,0,2)A -，(0,1,1)B -，点,C D 分别在x 轴，y 轴上，且AD BC ⊥，那么CD →的最小值是______.
24．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，点E 在棱AB 上.若二面角1D EC D --的大小为4
π，则AE =__________．
25．已知非零向量n b 、及平面α，向量n 是平面α的一个法向量,则0n b ⋅=是“向量b 所在直线在平面α内”的____________条件.
26．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，3BC =，点M 在棱1CC 上，且1MD MA ⊥，则当1MAD 的面积取得最小值时其棱1AA =________.
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一、选择题
1．C 解析：C
【分析】
利用空间向量的基本定理可计算得出1111333
OG OA OB OC =++，由已知条件可得出134
OG OG =，进而可求得x 、y 、z 的值，由此可求得结果. 【详解】
如下图所示，连接1AG 并延长交BC 于点D ，则点D 为BC 的中点，
1G 为ABC 的重心，可得123AG AD =
， 而()()
111222OD OB BD OB BC OB OC OB OB OC =+=+=+-=+， ()
1122123333OG OA AG OA AD OA OD OA OA OD =+=+=+-=+
()()12113323OA OB OC OA OB OC =+⋅+=++，
所以，133111111443334
44OG OG OA OB OC OA OB OC ⎛⎫==++=++ ⎪⎝⎭， 所以，14x y z ===
，因此，34
x y z ++=. 故选：C.
【点睛】 方法点睛：对于空间向量的基底分解的问题，一般需要利用向量的加减法法则进行处理，也可以借助一些相应的结论对运算进行简化.
2．A
解析：A
【分析】
以点C 为坐标原点，CA 、CB 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线1A C 与平面11A BC 所成的角.
【详解】
在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，
又90ACB ∠=，以点C 为坐标原点，CA 、CB 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
设11AC BC AA ===，则()11
,0,1A 、()0,1,0B 、()0,0,0C 、()10,0,1C ， ()111,0,0A C =-，()10,1,1=-BC ，()1
1,0,1=--AC ，
设平面11A BC 的法向量为(),,n x y z =，
由11100
n AC x n BC y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，可得0x y z =⎧⎨=⎩，令1y =，可得0x =，1z =， 所以，平面11A BC 的一个法向量为()0,1,1n =，1111cos ,22n A C
n A C n A C ⋅<>==-⨯⋅， 所以，直线1A C 与平面11A BC 所成角的正弦值为
12，则直线1A C 与平面11A BC 所成角为30.
故选：A.
【点睛】
方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：
（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；
（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度h ，从而不必作出线面角，则线面角θ满足sin h l
θ=（l 为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a 为直线l 的方向向量，n 为平面的法向量，则线面角θ的正弦值为sin cos ,a n θ=<>.
3．B
解析：B
【分析】
求出||25AD =①不正确；根据 0AP AD ⋅=判断②正确；由AP AB ⊥，
AP AD ⊥判断③正确；假设存在λ使得λ=AP BD ，由122314λλλ-=⎧⎪=⎨⎪-=⎩
无解，判断④不正确. 【详解】
由(2AB =，1-，4)-，(4AD
=，2，0)，(1AP =-，2，1)-，知：
在①中，||1646AD =+=≠，故①不正确；
在②中，4400AP AD ⋅=-++=，∴⊥AP AD ，AP AD ∴⊥，故②正确； 在③中，2240AP AB ⋅=--+=， AP AB ∴⊥，又因为AP AD ⊥，
AB AD A ⋂=，知AP 是平面ABCD 的法向量，故③正确；
在④中，(2BD AD AB =-=，3，4)，假设存在λ使得λ=AP BD ，则122314λλλ-=⎧⎪=⎨⎪-=⎩
，无
解，故④不正确；
综上可得：②③正确．
故选：B ．
【点睛】
本题考查命题真假的判断，考查空间向量垂直、向量平行等基础知识，考查了平面的法向量以及空间向量的模，考查推理能力与计算能力，属于基础题．
4．B
解析：B
【分析】
取AC 的中点O ，连结OP ，OB ，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AC 与PD 所成角的余弦值．
【详解】
取AC 的中点O ，连结OP ，OB ，
PA PC =，AC OP ∴⊥，
平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC 平面ABC AC =，
OP ∴⊥平面ABC ，
又AB BC =，AC OB ∴⊥，
以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
PAC ∆是等腰直角三角形，4PA PC ==，ABC ∆为直角三角形，
A ∴，0，0)
，(C -0，0)，(0P ，0
，，
(2D ，6，0)， ∴(
AC =-
0，0)，
(2PD =，
-，
cos AC ∴<，||||4AC PD PD AC PD >=== ∴异面直线AC 与PD ． 故选：B ．
【点睛】
本题考查异线直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算与求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．
5．A
解析：A
【分析】
利用空间向量的加法和减法法则可得出BD 关于a 、b 、c 的表达式.
【详解】
()
11112222OD OA AD OA AC OA OC OA OA OC =+=+=+-=+， 因此，11112222
BD OD OB OA OB OC a b c =-=
-+=-+. 故选：A.
【点睛】 本题考查利用基底表示空间向量，考查计算能力，属于中等题.
6．D
解析：D
【分析】
根据三棱柱的边长和角度关系，设棱长为1，分别求得AB AC ⋅、1AB AA ⋅、1AC AA ⋅的数量积，并用1,,AA AC AB 表示出1AB 和1BC ，结合空间向量数量积的定义求得11AB BC ⋅，再求得1AB 和1BC ，即可由向量的夹角公式求得异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值.
【详解】
三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都相等，1160BAA CAA ∠=∠=︒，设棱长为1，
则111cos602AB AC ⋅=⨯⨯︒=
，1111cos602
AB AA ⋅=⨯⨯︒=，1111cos602
AC AA ⋅=⨯⨯︒=
. 11AB AB AA =+，11BC AA AC AB =+-，
所以()()
1111AB BC AB AA AA AC AB ⋅=+⋅+-
22
1111AB AA AB AC AB AA AA AC AA AB =⋅+⋅-++⋅-⋅
11111112222
=
+-++-= 而(
)
2
22
11
11
23AB AB AA AB AB AA AA =
+=+⋅+=，
()
2
11
1
BC AA AC AB =
+-==，
所以111111
cos 6
2AB BC AB BC AB BC ⋅<⋅>==
=⋅， 故选：D. 【点睛】
本题考查了空间向量的线性运算，空间向量数量积的定义与运算，异面直线夹角的向量求法，属于中档题.
7．A
解析：A 【分析】
如图以A 为原点，分别以1,,AB AD AA 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，求出
1B P 和MN 的坐标，设1B P 与MN 所成的角为θ，利用11cos B P MN B P MN
θ=
⋅⋅即可求解.
【详解】
如图以A 为原点，分别以1,,AB AD AA 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，则()0,1,0M ，()2,2,1N ，()12,0,2B ，()0,1,2P ， 所以()12,1,0B P =-，()2,1,1MN =， 设1B P 与MN 所成的角为θ， 所以1122130cos 56
B P MN B P MN
θ=
⋅-⨯+=
=
⨯⋅， 1B P 与MN 30，
故选：A 【点睛】 方法点睛：
求空间角的常用方法：
（1）定义法，由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应三角形，即可求出结果；
（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量，平面法向量与平面法向量）余弦值，即可求出结果.
8．A
解析：A 【分析】
根据空间向量的线性运算，得出AB BC AC AC CC CC →
→
→→→→
⎛⎫
=+=++ ⎪⎭
'''⎝，结合题意，即可
求出1
1,2
y z ==，从而得出x y z ++的值. 【详解】
解：由空间向量的线性运算，得AB BC AC AC CC CC →
→
→→→→
⎛⎫
=+=++ ⎪⎭
'''⎝，
由题可知，2AC x AB y BC z CC →→→→
''=++，
则1,1,21x y z ===，所以11,2
y z ==
， 151122
x y z ∴++=++
=. 故选：A. 【点睛】
本题考查空间向量的基本定理的应用，以及空间向量的线性运算，属于基础题.
9．B
解析：B 【分析】
对于A ,P ，A ， B 三点共线时，(1)OP OA OB λμλμ=++=，故A 不正确；
对于B ， ,,a b b c c a +++不共线，所以 {,,}a b b c c a +++构成空间的另一个基底，故
B 正确；
对于C ，设,a b θ<>=，则|()||||||||cos |a b c a b c θ=，故C 不正确；
对于D ，·0AB AC =时，A ∠为直角，反之也可以是B ，C ∠为直角，故D 不正确. 【详解】
对于A ,P ，A ， B 三点共线时，(1)OP OA OB λμλμ=++=，
11
23
OP OA OB =+，
P ∴，A ，B 三点共线不成立，故A 不正确；
对于B ，若{,,}a b c 为空间的一个基底，则,,a b c 不共线，∴,,a b b c c a +++不共线，
∴{,,}a b b c c a +++构成空间的另一个基底，故B 正确；
对于C ，设,a b θ<>=，则|()||||||||cos |a b c a b c θ=，故C 不正确；
对于D ，·0AB AC =时，A ∠为直角，故ABC ∆为直角三角形，反之也可以是B ，C ∠为直角，故D 不正确. 故选：B 【点睛】
本题主要考查命题真假的判断，考查向量共线的条件，考查向量的数量积的计算，考查充要条件的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
10．B
解析：B 【分析】
在平行六面体中1111ABCD A B C D -中，利用空间向量的加法运算得到
11BD BA BB BC =++，再根据模的求法，结合各条棱长均为1，共顶点A 的三条棱两两
所成的角为60°，由
()(
)
2
2
1
1BD BA BB BC
=++222
111222BA BB BC BA BB BC BA BB BC =+++⋅+⋅+⋅求解.
【详解】
在平行六面体中1111ABCD A B C D -中，
因为各条棱长均为1，共顶点A 的三条棱两两所成的角为60°，
所以111111cos120,11cos6022
BA BB BA BC BC BB ⋅=⋅=⨯⨯=-⋅=⨯⨯=， 所以11BD BA BB BC =++， 所以()()2
2
1
1
BD BA BB BC =++，
2
2
2
111222BA BB BC BA BB BC BA BB BC =+++⋅+⋅+⋅，
113+22+2222⎛⎫
=⨯-⨯⨯= ⎪⎝⎭
，
所以12BD =
故选：B 【点睛】
本题主要考查空间向量的运算以及向量模的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
11．B
解析：B 【分析】
利用向量运算得到131
442
MN AB AC AD =--+得到答案. 【详解】
()
31131
42442
MN MB BA AN AB AC AB AD AB AC AD =++=
--+=--+ 故12
x y z ++=- 故选：B 【点睛】
本题考查了空间向量的运算，意在考查学生的计算能力.
12．C
解析：C 【分析】
为计算简便，不妨设ABC 为等腰直角三角形，建立空间直角坐标系，取BC 中点M ，利用AO OC ⊥，AO OM ⊥即可得到轨迹方程. 【详解】
为计算简便，不妨设ABC 为等腰直角三角形，令2BC =，且令190B DC ∠=︒， 以BC 中点M 为空间原点，MA 为z 轴，建立空间直角坐标系，
设(02)BD a a =<<，12B A BA ==，设(,,)O x y z ，
则()010C ，，，(001A ，，），(000M ，，），()0,1,0D a -，
所以(AO x =，
y ，1z -)，(),1,CO x y z =-，(),,MO x y z =， 因为AO OC ⊥，所以()()2
110AO CO x y y z z ⋅=+-+-=，
同理AO OM ⊥，所以()2
2
10AO MO x y z z ⋅=++-=，
两式相减得0y =，代入得()222
111()24
x z z x z +-=+-=
， 故选：C ． 【点睛】
本题考查点的轨迹方程，考查空间向量位置关系等，建立空间直角坐标系是关键，属于中档题．
13．D
解析：D 【分析】
分别过点A 、点D 作BD 、AB 的平行线相交于点E ，连接CE ，则由题意可知ACE ∆为等边三角形，CDE ∆为直角三角形，求解CD 即可. 【详解】
分别过点A 、点D 作BD 、AB 的平行线相交于点E ，连接CE ， 则四边形ABDE 为平行四边形.
线段AC 、BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB .
AC AB ∴⊥，AE AB ⊥则CAE ∠为二面角的平面角，即60CAE ∠= 4AB AC BD ===
4AC BD AE AB DE ∴=====，如图所示.
ACE ∴∆为等边三角形，4CE =
AC DE ⊥，AE DE ⊥，AC AE A ⋂=，AC ⊂平面ACE ，AE ⊂平面ACE DE ∴⊥平面ACE 又CE ⊂平面ACE
∴DE CE ⊥
在Rt CDE ∆中22224442CD CE DE =+=+= 故选：D 【点睛】
本题考查空间的距离问题，属于中档题.
二、填空题
14．【分析】首先可证平面PAC 则BD 与平面PAC 所成角为所以当D 为PC 的中点时取得最大值如图建立空间直角坐标系利用空间向量法求出线面角的正弦值；【详解】解：因为PAABAC 两两垂直所以平面PAC 则BD 与 解析：
311
【分析】
首先可证AB ⊥平面PAC ，则BD 与平面PAC 所成角为ADB ∠，所以当D 为PC 的中点时
ADB ∠取得最大值，如图建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面角的正弦值； 【详解】
解：因为PA ，AB ，AC 两两垂直，PA AC A =
所以AB ⊥平面PAC ，则BD 与平面PAC 所成角为ADB ∠， 所以3
tan AB ADB AD AD
∠=
=， 当AD 取得最小值时，ADB ∠取得最大值在等腰Rt PAC △中， 当D 为PC 的中点时，AD 取得最小值，以A 为坐标原点， 建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，
则(0,0,0)A ，(3,0,0)B ，(0,2,0)C ，(0,0,2)P ，(0,1,1)D ，
则(0,1,1)AD =，(0,2,2)PC =-，(3,2,0)BC =-，
设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，则0n PC n BC ⋅=⋅=， 即220
320y z x y -=⎧⎨
-+=⎩
，令3y =，得(2,3,3)n =.
因为cos ,
11n AD 〈〉=
=，
所以AD 与平面PBC .
【点睛】
(1)求直线与平面所成的角的一般步骤：
①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成； ②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解．
(2)作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．
15．【分析】通过用向量的数量积转化求解距离即可【详解】解：在直角坐标系中已知现沿轴将坐标平面折成的二面角后在平面上的射影为作轴交轴于点所以所以所以故答案为：【点睛】此题考查与二面角有关的立体几何综合题考
解析：【分析】
通过用向量的数量积转化求解距离即可 【详解】
解：在直角坐标系中，已知()1,6A -，()3,8B -，现沿x 轴将坐标平面折成60︒的二面角后，()1,6A -在平面xOy 上的射影为C ，作BD x ⊥轴，交x 轴于点D ， 所以AB AC CD DB =++,
所以2
2
2
2
222AB AC CD DB AC CD CD DB AC DB =+++⋅+⋅+⋅
2221
648268682
=++-⨯⨯⨯
=，
所以AB =,
故答案为：
【点睛】
此题考查与二面角有关的立体几何综合题，考查了数形结合的思想，属于中档题.
16．【分析】设则根据空间四点共面的条件又四点共面则即得出答案【详解】设则由为底面中心又因为四点共面所以且所以即即故答案为：【点睛】本题考查空间四点共面的条件的应用属于中档题
解析：32020⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
【分析】
设,,PM x PN y PS z ===,则1113
33z
PA
PB PC
PO PM PN PS x y =⨯
⋅+⨯⋅+⨯⋅,根据空间四点共面的条件，又,,,S M N O 四点共面，则202020202020
+1333z
x y +=，即得出答案. 【详解】
设,,PM x PN y PS z ===. 则PA PA PM x
=
⋅,PB PB PN y
=
⋅,PC PC PS z
=
⋅.
由O 为底面ABC 中心, ()
21
32
PO PA AO PA AB AC =+=+
⨯+ ()()
133
PA PB PC
PA PB PA PC PA ++⎡⎤=+-+-=
⎣⎦ 111333z PA PB PC
PM PN PS x y =⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅ 333z
PA PB PC PM PN PS x y
=⋅+
⋅+
⋅
又因为,,,S M N O 四点共面,所以
+
1333z
PA PB PC x
y
+
=
且2020PA PB PC ===.
所以202020202020+1333z x y +=，即1113
+z 2020
x y += 即
11132020
PS PM PN ++=. 故答案为：32020⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
.
【点睛】
本题考查空间四点共面的条件的应用，属于中档题.
17．【分析】根据平方得到计算得到答案【详解】故解得故答案为：【点睛】本题考查了平行六面体的棱长意在考查学生的计算能力和空间想象能力 解析：13【分析】
根据11AC AB AD AA =+-，平方得到2224c c +-=，计算得到答案. 【详解】
1
1AC AB AD AA =+-， 故2
2
2
2
2
1
1111222AC AB AD AA AB AD AA AB AD AA AB AD AA =+-=+++⋅-⋅-⋅ 2224c c =+-=，解得31c =.
31. 【点睛】
本题考查了平行六面体的棱长，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
18．5【分析】将已知条件转化为向量则有利用向量的平方以及数量积化简求解由此能求出线段的长度【详解】平行六面体中即向量两两的夹角均为则因此故答案为:5【点睛】本题考查向量的数量积和模在求解距离中的应用考查
解析：5 【分析】
将已知条件转化为向量则有11AC AB BC CC →→→→
=++,利用向量的平方以及数量积化简求解,由
此能求出线段1AC 的长度． 【详解】
平行六面体1111ABCD A B C D -中, 1160A AB A AD BAD ∠=∠=∠=︒,即向量1
,,AB AD AA
→
→
→两两的夹角均为1601,2,3AB AD AA →→→
︒===，,则11
AC AB BC CC →→→→
=++ 2222
1111222149212cos60213cos60223cos6025
AC AB BC CC AB BC BC CC CC AB →→→→→→→→→→
︒︒
︒
=+++⋅+⋅+⋅=+++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=
因此15AC →
=. 故答案为:5. 【点睛】
本题考查向量的数量积和模在求解距离中的应用,考查学生转化与划归的能力,难度一般.
19．【分析】四个向量中找出三个不共面的非零向量可以作为基底除正交基底外的向量用正交基底表示出来【详解】1100若共面则存在使得化简得：无解故不共面则为正交基底设则解得：故答案为：【点睛】本题考察了空间向 解析：1
12
2
c a b
d =-
+
【分析】
四个向量中找出三个不共面的非零向量可以作为基底，除正交基底外的向量用正交基底表示出来. 【详解】
(1a =，1，0)，(1b =-，1，0)，(1c =，0，1)，(0d =，0，1)，
∴0a b =，0a d =，0b d =，
若,,a b d 共面，
则存在,x y 使得a xb yd =+，
化简得：110x x y =-⎧⎪
=⎨⎪=⎩
，无解，
故,,a b d 不共面，则a ，b ，d 为正交基底， 设c xa yb zd =++，
则101x y x y z =-⎧⎪
=+⎨⎪=⎩
，
解得：11,,122x y z =
=-=， ∴1
122c a b d =-+．
故答案为：1122
c a b
d =-+．
【点睛】
本题考察了空间向量的基本定理，正交分解坐标表示，属于基础题． 20．【分析】由于平面不是特殊的平面故建系用法向量求解以为原点建系正方体三边为坐标轴求出平面的法向量求解面对角线和的夹角即可求得答案【详解】以点为原点所在直线为轴所在直线为轴所在直线为轴设正方体棱长为2如 解析：4
【分析】
由于平面1A ECF 不是特殊的平面,故建系用法向量求解,以D 为原点建系,正方体三边为坐标轴,求出平面1A ECF 的法向量n ,求解面对角线和n 的夹角,即可求得答案.
【详解】
以点D 为原点,AD 所在直线为x 轴,DC 所在直线为y 轴,1DD 所在直线为z 轴
设正方体棱长为2,如图:
则(2,0,0),(0,0,0),(2,2,0),(0,2,0)A D B C
1111(2,0,2),(2,2,2,),(0,2,2),(0,0,2)A B C D ,(2,1,0),(0,1,2)E F
∴ 1(2,1,0),((0,1,2),(2,2,0)EC A E AC =-==-
1
(2,2,0),(2,0,2)BD BC =--=-- 11(0,2,2),(0,2,2)B A A B =--=-
当面对角线与截面
1A ECF 成60︒角,
∴ 需保证直线与法向量的夹角为30︒,即其余弦值3± 设平面1A ECF 的法向量(,,)n x y z =
100
n EC n A E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 可得:2020y z x y -=⎧⎨-+=⎩ ,取2y = ∴ (1,2,1)n = ,则||
6n =
cos ,62||||8n AC AC n n AC ⋅
<>=
==≠±⋅ cos
,2BD
n <>=
= 1cos ,2
B C
n <>=
≠± 1cos ,2B A n <>=
=- 1cos ,2A B n <>=≠± 当两条面对角线平行时,求解其中一条与面1A ECF 的法向量n 夹角即可.
平面11AA D D 中1AD 与EF 平行,故不符合题意. 综上所述,符合题意的面对角线为:1111,,,BD B D AB DC 共4条.
故答案为:4.
【点睛】
本题考查了线面角求法,根据题意画出几何图形,掌握正方体结构特征是解本题的关键.对于立体几何中角的计算问题,可以利用空间向量法,利用向量的夹角公式求解,属于基础题. 21．【分析】由题意可得根据线面平行可得则进而得到解得即可【详解】解：由题意可得则解得【点睛】本题主要考查了直线与平面的位置关系根据线面平行线面垂直的性质得到平面的法向量与平行于平面的直线垂直考查了空间向 解析：1-
【分析】
由题意可得，根据线面平行可得d n ⊥，则=0d n ，进而得到4950m +-=，解得即可.
【详解】
解：由题意可得d n ⊥，则4950m +-=
解得1m =-
【点睛】
本题主要考查了直线与平面的位置关系，根据线面平行、线面垂直的性质得到平面的法向量与平行于平面的直线垂直，考查了空间向量垂直的坐标表示.
22．【分析】利用表示向量利用空间向量数量积计算出即可得解【详解】如下图所示：所以因此异面直线与所成角的余弦值是故答案为：【点睛】方法点睛：求异面直线所成角的余弦值方法如下：一是几何法：作—证—算；二是向
解析：
2
3
【分析】
利用AB 、AD、
1
AA表示向量
1
AB、
1
BC ，利用空间向量数量积计算出
11
cos,
AB BC
<>，即可得解.
【详解】
如下图所示：
11
AB AB AA
=+，
111
BC BC BB AD AA
=+=+，
()2
22222
1111111
22cos
AB AB AA AB AA AB AA AB AA AB AA BAA =+=++⋅=++⋅∠222
1
222212
2
=++⨯⨯=，
1
23
AB
∴=
()2
22222
1111111
22cos
BC AD AA AD AA AD AA AD AA AD AA DAA =+=++⋅=++⋅∠222
1
222212
2
=++⨯⨯=，
1
23
BC
∴=
()()2 1111111
AB BC AB AA AD AA AB AD AB AA AD AA AA ⋅=+⋅+=⋅+⋅+⋅+
2
22
11111
1
cos cos2228
2
AB AA BAA AD AA DAA AA
=⋅∠+⋅∠+=⨯⨯+=，
所以，()
11
112
11
82
cos,
3
23
AB BC
AB BC
AB BC
⋅
<>===
⋅，
因此，异面直线1
AB与
1
BC所成角的余弦值是
2
3
.
故答案为：
2
3
.
【点睛】
方法点睛：求异面直线所成角的余弦值，方法如下：
一是几何法：作—证—算；
二是向量法：把角的求解转化为向量运算，应注意体会两种方法的特点，“转化”是求异面直线所成角的关键，一般地，异面直线的夹角的余弦值为cos ,m n
m n m n ⋅<>=⋅.
23．【分析】设0则由知所以由此能求出其最小值【详解】设001-即（当时取最小值）故答案为：【点睛】方法点睛：求最值常用的方法有：（1）函数法；（2）数形结合法；（3）导数法；（4）基本不等式法要根据已知
【分析】
设(C x ，0，0)，(0D ，y ，0)，则(1,,2)AD y →=-，(,1,1)BC x →
=-，由
20AD BC x y →→=--=，知2x y =+．所以||CD →
【详解】
设(C x ，0，0)，(0D ，y ，0)，
(1A -，0，2)，(0B ，1，-1)，
∴(1,,2)AD y →=-，(,1,1)BC x →
=-， AD BC ⊥，
∴20AD BC x y →→
=--=，
即2x y =+．
(,,0)CD x y →=-，
∴
||CD →=
2．（当1y =-时取最小值）
【点睛】
方法点睛：求最值常用的方法有：（1）函数法；（2）数形结合法；（3）导数法；（4）基本不等式法.要根据已知条件灵活选择方法求解. 24．【解析】分析：以D 为原点建立空间直角坐标系设再求出平面和平面的法向量利用法向量所成的角表示出二面角的平面角解方程即可得出答案详解：以D 为原点以为轴的正方向建立空间直角坐标系设平面的法向量为由题可知平
解析：2
【解析】
分析：以D 为原点，建立空间直角坐标系，设(02)AE λλ=≤≤，再求出平面AECD 和平面1D EC 的法向量，利用法向量所成的角表示出二面角的平面角，解方程即可得出答案. 详解：以D 为原点，以DA ，DC ，1DD 为,,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，设
(02)AE λλ=≤≤，平面1D EC 的法向量为(,,)m x y z =
由题可知，1(0,0,1)D ，(0,2,0)C ，(1,,0)E λ，1
(0,2,1)DC =-，(1,2,0)CE λ=- 平面AECD 的一个法向量为z 轴，∴可取平面AECD 的法向量为(0,0,1)n = (,,)m x y z =为平面
1D EC 的法向量，
∴120(2)0
m D C y z m CE x y λ⎧⋅=-=⎨⋅=+-=⎩ 令1y =，则(2,1,2)m λ=- 二面角1D EC D --的大小为4π ∴cos 4m n
m n π
⋅=⋅，即 2222(2)12λ=-++ 解得 23λ=-，23λ=+（舍去）
∴23AE =-
故答案为23-
点睛：空间向量法求二面角
（1）如图1，AB 、CD 是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB ，CD 〉．
(2)如图2、3，12,n n 分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小12,n n θ=(或12,n n π-)．
25．必要不充分【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可【详解】解：若向量是平面的法向量则若则则向量所在直线平行于平面或在平面内即充分性不成立若向量所在直线平行于平面或在平面内则向量是平面的法向量 解析：必要不充分
【分析】
根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】
解：若向量n 是平面α的法向量，则n α⊥，
若0n b =，则//b α，则向量b 所在直线平行于平面α或在平面α内，即充分性不成立， 若向量b 所在直线平行于平面α或在平面α内，则//b α，
向量n 是平面α的法向量，
∴n α⊥，
则n b ⊥，即0n b =，即必要性成立，
则0n b =是向量b 所在直线平行于平面α或在平面α内的必要条件，
故答案为：必要不充分
【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据向量和平面的位置关系是解决本题的关键．
26．【分析】设建立空间直角坐标系由向量的垂直可得进而可得由基本不等式即可得解【详解】设如图建立空间直角坐标系则所以又所以所以所以当且仅当时等号成立所以当的面积取得最小值时其棱故答案为：【点睛】本题考查了 解析：322
【分析】
设()10AA m m =>，()0M n n C m =≤≤，建立空间直角坐标系，由向量的垂直可得1m n n -=，进而可得1221452MAD S n n
=++△，由基本不等式即可得解. 【详解】
设()10AA m m =>，()0M n n C m =≤≤，如图建立空间直角坐标系，
则()10,0,D m ，()0,1,M n ，)
A ， 所以()10,1,M n m D =-，()AM n =-，
又1MD MA ⊥，所以()110M A D M n n m ⋅=+-=，所以1m n n -=
，
所以1112MAD S M AM D =⋅==△
32
==≥=，
当且仅当n =m =
所以当1MAD 的面积取得最小值时其棱1AA =
.
. 【点睛】 本题考查了空间向量及基本不等式的应用，考查了运算求解能力，合理转化、细心计算是解题关键，属于中档题.。