第一章函数、极限、连续(专升本专用PPT)-文档资料

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六个常见函数的有界性: | sin x | 1; | cos x | 1; ( , ) | | arcsinx | | arctanx |

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; | arccosx | ;[1,1] ; | arc cot x | ; ( , )

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x 例2.判断函数f ( x) 的有界性 2 1 x x | x| | x| 1 解: 因为| f ( x) || | 2 2 1 x 1 x 2| x| 2 (1 x 2 2 | x |).所以函数f ( x)有界 .
y u是中间变量，y是因变量．
u , u 1 x 2
4 y就不是x的复合函数；复 合函数可分解为蕳单的函数
( 2)反函数 : 设函数y f ( x )的值域为Z f , 如果对Z f 中 任一y值从关系式y f ( x )中可确定惟一的一个 x值, 则称变量x为变量y的函数, 记为 : x ( y ), 其中 ( y )称为y f ( x )的反函数,习惯上y f ( x )的反 函数记为: y f 1 ( x )
f n ( x), y lim f (t , x) （1）极限形式的函数：y lim n tx
（2）积分形式的函数： y
5.非初等函数

x
0
f (t )dt ( f (t )连续 )
6.函数的简单性质 (1)奇偶性 设函数 f ( x )在区间x上有定义，如果对x X 恒有 f ( x ) f ( x ) (或f ( x ) f ( x )) 则称f(x)为偶函数（或f(x)为奇函数）.偶函数f(x)的 图形对称于y轴，奇函数f(x)的图形对称于原点.
13ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(4)单调性
设函数f ( x )在区间X上有定义, 如果对x1 , x2 X , x1 x2 恒有f ( x1 ) f ( x2 ) (或f ( x1 ) f ( x2 ))则称f ( x )在区间X 上是严格单调增加 (或严格单调减少 )的; 如果对x1 , x2 X
1.变量的变化过程 n , x , x x0
(1) x 表示x 和x 两种情况; 当x 时f ( x )以A极限, 记作 lim f ( x ) A;
x
当x 时f ( x )以A为极限, 记作 lim f ( x ) A
x
常见的偶函数:| x |,cos x , x ( n为正整数), e , e , 1 2 n1 常见的奇函数: sin x , tan x , , x , arcsinx , x 8 arctanx .
x2
2n
| x|
例 1.判断下列函数的奇偶性
x 1 e , x 0 2 (1) f ( x) ln(x 1 x ); (2) g ( x) x e 1, x 0
(1 e x ), x 0 g ( x ) 是奇函数 g ( x ) 9 x (e 1), x 0
(2)周期性
设函数f ( x )在区间X上有定义, 若存在一个与 x 无关正数T , 使对于任一x X , 恒有 f ( x T ) f ( x) 则称f ( x )是以T为周期的周期函数 , 称满足上式的 最小正数T为函数f ( x )的周期. 周期函数的性质: T 1 若T为f ( x )的周期, 则f (ax b)的周期为 ; |a|
分段函数至少有1个以上的分段点，分段点两侧的函 数表达式是不同的，因此讨论分段点处的极限、连续、 导数等问题时，必须分别讨论左、右极限，左、右连 续和左、右导数，分段函数一般不是初等函数. 3
（2）.隐函数：如果自变量x与应变量y的函数关系 )0 是由方程 F ( x, y给出的，称为隐函数 .如
x 2 y 2 a 2 ; xy2 e y cos(x y 2 )
有些隐函数可以化为显函数（不一定是单值函数）， 有些隐函数则不能化为显函数.
3.复合函数与反函数 （1）复合函数：若 y 是 u 的函数 y f (u ) ，u 又是 x 的函数 u g ( x) ，且 u g ( x) 能使 y f (u ) 有意义， 则称 y f [ g ( x)] 是x 的复合函数，其中X是自变量，
解 (1) f ( x ) ln( x 1 ( x )2 ) ln( x 1 x 2 ) ln 1 x 1 x2 ln(x 1 x 2 ) f ( x )
f ( x ) ln(x 1 x 2 )是奇函数.
1 e ( x ) , x 0 1 e x , x 0 ( 2) g ( x ) x x e 1, x 0 e 1, x 0
注:证明或判定函数的有界性主要依据是: 1.有界性的定义; 2.闭区间上的连续函数是有界的，如果 f ( x)在(,) f ( x), lim f则 ( x)都存在 ， 上连续，且 xlim 上有界； f ( x)在(,) x 3.有极限的数列必有界.
1 1 1 1 2 例如 : 函数y x sin 2 cos 2 是界的.因为lim( x sin 2 cos 2 )12 1 x x x x x
求分段函数(含绝对值函数)在分段点处的极限要 用左右极限法 .
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3.极限的性质:唯一性；局部有界性；局部保号性； 局部比较性。有极限必有界,反之不然.
4.极限存在的两个准则:夹逼准则;单调有界准则
(1)单调有界准则: 单调有界数列 { xn }必有极限; ( 2)夹逼定理: 若存在自然数 N ,当n N , 恒有yn xn zn 若
0
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2 若f ( x), g ( x)均是以T为周期的函数 , 则f ( x) g ( x) 通常也是以T为周期的函数 .
0
30 若f ( x), g ( x)分别是以T1 , T2 , T1 T2为周期的函数 , 则f ( x) g ( x)是以T1 , T2的最小公倍数 (如果存在 )为周 期的函数 .常见函数的周期 : sin x, cos x, 其周期T 2 ; tan x, cot x, | sin x |, | cos x |, 其周期T .
x1 x2 , 恒有 : f ( x1 ) f ( x2 )(或f ( x1 ) f ( x2 )) 则称在区间上是单调增 加(或单调减少 )的.
*对数函数与指数函数在其定义域内是严格单调的. 注:已知函数可导时,利用一阶导数判定其单调性;未 告之可导时,用单调性定义判定.
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(二)数列与函数的极限
40 若f ( x T ) f ( x) f ( x T ) f ( x)
注:求给定函数的周期或有关函数周期性的证明,主 要是利用周期函数的定义及周期函数的运算性质.
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(3)有界性 设函数y f ( x )在区间X上有定义, 如果M 0, 使得
对于一切x X , 恒有 :| f ( x ) | M , 则称f ( x )在区间X X上有界; 若不存在这样的 M 0, 则称f ( x )在区间X上 无界.
（２）当两个函数的定义域和对应规则分别相同时，则可
确定这两个函数相同；反之有一个不相同时，就认为是
两个不同的函数．
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2.分段函数与隐函数 （1）.分段函数：如果变量x与y的函数关系是由两个或 两个以上的解析式给出的称分段函数.含绝对值符号的 函数也是分段函数.如
1, x 0 y 0, x 0 ; 1, x 0 x; x 0 y | x | x; x 0
辅导内容
• • • • • • • 第一章：函数、极限、连续 第二章：导数与微分 第三章：中值定理及导数应用 第四章：不定积分 第五章：定积分与广义积分 第六章：偏导数与全微分 第七章：二重积分
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第一章: 函数、极限、连续
一、 基本概念及结论
（一）函数
1定义：y f ( x),定义域D f , 值域Z f ,函数值f ( x0 ) （1）构成函数的两要素：定义域D,对应规则f;
例如 : lim e x 0, lim e x 0, lime x不存在.
x x x
( 2) x x 0 ( x x 0 , x x 0 ) 当x x0 时, f ( x )以A为极限, 应记作 l i m f ( x) A
x x0
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注 : (1) y f ( x )的图形与其反函数 x ( y )的图形是同 一个图形; y f ( x )的图形与其反函数 y f 1 ( x )的图形 对称于直线y x .
（２）严格单调（一一对应）的函数才有反函数
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４．基本初等函数与初等函数
(1)常值函数y C ; (2)幂函数：y x ( 为任意实数） （ 3）指数函数：y a x (a 0, a 1); (4)对数函数：y loga x(a 0, a 1) (5)三角函数：y sin x, y cos x, y tan x, y cot x, y sec x, y csc x (6)反三角函数：y arctanx, arc cot x, arcsin x, arccosx
x x0 x x0
左极限 : lim f ( x ) A(记为f ( x0 ))
注
函数f ( x )在点x0处极限存在的充分必要 条件是 左右极限存在且相等 .即
x x0
lim f ( x ) A lim f ( x ) lim f ( x) A
x x0 x x0



当x x 时, f ( x )以A为极限, 应记作
x x0 0 0
0
li m f ( x) A
x x 表示x沿X轴, 从大于x0的一侧无限趋于 x0 ; x x 表示x沿轴X , 从小于x0的一侧无限趋于 x0 ; 例如 : li m e
x 1
x
基本初等函数：定义、性质、图形非常重要，特别是 图象要很清晰.有助于讨论函数的性质及运算.如：
x
lim arctan x, lim arctan x, lim e , lim e , lim ln x等等.
x x 0 x 0 x 0
1 x
1 x
初等函数：由基本初等函数经过有限次四则运算和复合 步骤所构成的并且可由一个解析式表示的函数统称为初 6 等函数
1 x 1
; li m e
x 1
1 x 1
0; li me
x 1
1 x 1
不存在.
( 3)若 lim f ( x ) A, 则有 lim f ( n) A
n
(4)函数f ( x )在点x0有无极限, 与函数在该点有无定义 无关.
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2.函数f ( x )在点x0的左、 右极限 右极限 : lim f ( x ) A(记为f ( x0 ))
若f(x)的定义域关于x=0点不对称，则不可能是奇函 数或偶函数。Y=c(c为非零常数)是偶函数，y=0既是 2 y x x 是非奇非偶的函数． 7 奇函数也是偶函数，
注：判定一个函数的奇偶性主要根据定义，有时也 用其运算性质：奇函数的代数和为奇函数，偶函数 的代数和为偶函数；偶函数的积为偶函数；偶数个 奇函数的积为偶函数；奇数个奇函数的积为奇函数； 一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数。而 f ( x ) f ( x ) 0 也是判别 f ( x )为奇函数的有效 方法。