云南省大理州南涧县民族中学高二数学上学期期中试题

南涧县民族中学2016——2017学年上学期期中考
高二数学（理）试题
班级 姓名 学号
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟。

注:所有题目在答题卡上做答
Ⅰ卷
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．已知集合A={y|y=log 2x ，x ＞1}，B={y|y=（）x
，x ＞1}，则A∩B=（ ） A.{x|0＜x ＜} B ．{y|0＜y ＜1}
C ．{y|＜y ＜1} D.{ y|0＜y ＜}
2. 已知函数⎩⎨
⎧+=≥=）
（），则2)
2()
()5(log 2(2)(4x ＜x f f x x f x
A.52
B.53
C.54
D.55 3. 函数f (x )对于任意实数x 满足条件 f (x +4) =
)
(1
x f ，且当 x ∈[2,10 ) 时, f (x )= )1(log 2-x , 则f ( 2010 )+ f (2011 )=（ ）
A. -2
B. -1
C. 1
D. 2
4．某几何体的三视图如右上图所示，则此几何体的体积等于（ ） A ．30 B ．12 C ．24 D ．4
5.按照如图的程序框图执行，若输出结果为15，则M 处条件为（ ） A ．16k ≥ B ．8k < C ．16k < D ．8k ≥
6.△ABC 周长等于20，面积等于 60,310=∠A ，则a 为（ ） A ． 5 B ．7 C ． 6 D ．8
7．若直线3x ﹣4y+5=0与圆x 2+y 2
=r
2
（r
＞
0）相交于A ，B 两点，且∠AOB=120°
（O 为坐标原点），则r=（ ） A ．1 B ．2 C ． D ．3
8．若函数f （x ）=|2x ﹣2|﹣b 有两个零点，则实数b 的取值范围是（ ）
A ．0＜b ＜1
B ．1＜b ＜2
C ．1＜b ≤2
D ．0＜b ＜2
9．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列前100项和为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
10.若非零向量，满足||=||，且（﹣）⊥（3+2），则与的夹角为（）
A ．
B ．
C ．
D ．π
11. 设函数()cos (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3
π
个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于( ) A.1
3
B.3
C.6
D.9
12．已知x 、y 取值如表：
画散点图分析可知：y 与x 线性相关，且求得回归方程为=x+1，则m 的值（精确到0.1）为（ ） A ．1.5 B ．1.6 C ．1.7 D ．1.8
Ⅰ卷
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.） 13．与直线013=-+y x 垂直的直线的倾斜角为________
14．如图，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，分数以O 、B 为圆心，半径
为
画圆弧，点P 在两圆之外的概率为 ．
15．若函数是R 上的单调递减函数，则实数a 的取值
范围是 ．
16．已知α、β均为锐角，且cos （α+β）=sin （α﹣β），则tan α= ．
三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（本小题满分10分）某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图
所示），其中样本数据分组区间为[40，50]，[50，60]，…，[80，90]，[90，100]
（1）求频率分布图中a 的值；
（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率； （3）从评分在[40，60]的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40，50]的概率．
18．（本小题满分12分）设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，
3cos()cos 2
A C
B -+=
，2
b a
c =，求B 。

19.（本小题满分12分）在公差不为零的等差数列{a n }和等比数列{b n }中．已知a 1=b 1=1．a 2=b 2．a 6=b 3 （1）求等差数列{a n }的通项公式a n 和等比数列{b n }的通项公式b n ； （2）求数列{a n •b n }的前n 项和S n ．
20.（本小题满分12分）ABC ∆的内角C B A ,,及所对的边分别为c b a ,,，已知b a ≠，3=
c ，
B B A A B A cos sin 3cos sin 3cos cos 22-=-
(1)求角C 的大小； (2)若5
4
sin =A ，求ABC ∆的面积．
21．（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 为菱形，B 1C 的中点为O ，且AO ⊥平面BB 1C 1C ． （1）证明：B 1C ⊥AB ； （2）若AC ⊥AB 1，∠CBB 1=60°，BC=1，求三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的高．
22.（本小题满分12分）设数列{}n a 满足10a =且
111
111n n
a a +-=--.
(I)求{}n a 的通项公式； (Ⅱ)
设1
,1n
n n k n k b b S ==
=<∑记S 证明：.
南涧民族中学2016-2017学年上学期期中考
高二数学（理）参考答案
一、选择题 1-6、 D C C A A B 7-12、 B D A A C C 二、填空题 13、)60(3
o 或π
14、41π-
15、⎥⎦⎤ ⎝
⎛
∞-813, 16、1
三、解答题
17题（满分10分） 解：（1）因为（0.004+a+0.018+0.022×2+0.028）×10=1，解得a=0.006；
（2）由已知的频率分布直方图可知，50名受访职工评分不低于80的频率为（0.022+0.018）×10=0.4，
所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4； （3）受访职工中评分在[50，60）的有：50×0.006×10=3（人），记为A 1，A 2，A 3； 受访职工评分在[40，50）的有：50×0.004×10=2（人），记为B 1，B 2． 从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，分别是{A 1，A 2}，{A 1，A 3}， {A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 2，A 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{B 1，B 2}， 又因为所抽取2人的评分都在[40，50）的结果有1种，即{B 1，B 2}，
故所求的概率为P=．
18题（满分12分）
解： 3
cos()cos 2A C B -+=，且()
B
A C π=-+ ∴3cos()cos()2
A C A C --+=∴3sin sin 4
A C
=；
又 2
b
ac =∴2
s in sin sin B A C
=
sin 2
B =
∴23
3
B π
π
=
或
（舍去）∴3
B π
=
19题（满分12分） 解：（1）∵公差不为零的等差数列{a n }和等比数列{b n }中．a 1=b 1=1，a 2=b 2，a 6=b 3，
∴
，且d ≠0，解得d=3，q=4，
∴a n =1+（n ﹣1）×3=3n ﹣2， b n =q n ﹣1=4n ﹣1． （2）由（1）得a n •b n =（3n ﹣2）•4n ﹣1， ∴S n =1•40+4×4+7×42+…+（3n ﹣2）•4n ﹣1，①
4S n =4+4×42+7×43+…+（3n ﹣2）•4n
，②
①﹣②，得：﹣3S n =1+3（4+42+43+…+4n ﹣1）﹣（3n ﹣2）•4n
=1+3×
﹣（3n ﹣2）•4n = ﹣3﹣（3n ﹣3）•4n ．
∴S n =1+（n ﹣1）•4n
．
20题（满分12分）
解：(1)由倍角公式，原等式可化为
cos 21cos 21222
2
A B A B ++- 即sin(2)sin(2)6
6
B A ππ-=-，
,a b A B ≠∴≠ 又,(0,)A B π∈
226
6
B A πππ∴-+-=，3
C π∴=
（2）由正弦定理可求得85
a =
a c <，3cos 5
A ∴=
sin sin()B A C =+
1sin 2
ABC S ac B ∆∴==
21题（满分12分）
（1）证明：连接BC 1，则O 为B 1C 与BC 1的交点， ∵侧面BB 1C 1C 为菱形， ∴BC 1⊥B 1C ，
∵AO ⊥平面BB 1C 1C ， ∴AO ⊥B 1C ， ∵AO ∩BC 1=O ， ∴B 1C ⊥平面ABO ， ∵AB ⊂平面ABO ， ∴B 1C ⊥AB ；
（2）解：作OD ⊥BC ，垂足为D ，连接AD ，作OH ⊥AD ，垂足为H ， ∵BC ⊥AO ，BC ⊥OD ，AO ∩OD=O ， ∴BC ⊥平面AOD ， ∴OH ⊥BC ，
∵OH ⊥AD ，BC ∩AD=D ， ∴OH ⊥平面ABC ， ∵∠CBB 1=60°，
∴△CBB 1为等边三角形，
∵BC=1，∴OD=
，
∵AC ⊥AB 1，∴OA=B 1C=， 由OH •AD=OD •OA ，可得AD==
，∴OH=
，
∵O 为B 1C 的中点， ∴B 1到平面ABC 的距离为
，
∴三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的高．
22题（满分12分）
解：(Ⅰ)由题设1111
11n n
a a +-=--,即11n
a -｛｝
是公差为1的等差数列. 又
1
1=1
1a -,故1=1n n a -. 所以11n a n
=-
(Ⅱ) 由(Ⅰ)得
n
b
1
1
11n n
n
k k k S b =====∑∑。