中考数学《平行线与相交线》总复习训练含解析

平行线与相交线
一、选择题
1．平面上有5个点，其中仅有3点在同一直线上，过每2点作一条直线，一共可以作直线（）条．
A．7 B．6 C．9 D．8
2．如图，点P是直线a外的一点，点A、B、C在直线a上，且PB⊥a，垂足是B，PA⊥PC，则下列不正确的语句是（）
A．线段PB的长是点P到直线a的距离
B．PA、PB、PC三条线段中，PB最短
C．线段AC的长是点A到直线PC的距离
D．线段PC的长是点C到直线PA的距离
3．如图，已知ON⊥L，OM⊥L，所以OM与ON重合，其理由是（）
A．两点确定一条直线
B．在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．在同一平面内，过一点只能作一条垂线
D．垂线段最短
4．用一副学生用的三角板的内角（其中一个三角板的内角是45°，45°，90°；另一个是30°，60°，90°）可以画出大于0°且小于等于150°的不同角度的角共有（）种．A．8 B．9 C．10 D．11
5．如果∠α与∠β是邻补角，且∠α＞∠β，那么∠β的余角是（）A．B．C．D．不能确定
6．已知α与β是钝角，甲、乙、丙、丁四个人计算（α+β）的结果依次为28°，48°，
60°，88°其中只有一个结果正确，那么并得到正确的结果的是（）
A．甲B．乙C．丙D．丁
7．下列语句中：①一条直线有且只有一条垂线；②不相等的两个角一定不是对顶角；③两条不相交的直线叫做平行线；④若两个角的一对边在同一直线上，另一对边互相平行，则这两个角相等；⑤不在同一直线上的四个点可画6条直线；⑥如果两个角是邻补角，那么这两个角的平分线组成的图形是直角．其中错误的有（）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．如图，AC⊥BC，AD⊥CD，AB=a，CD=b，则AC的取值范围（）
A．大于b B．小于a C．大于b且小于a D．无法确定
9．如图，B是线段AD的中点，C是BD上一点，则下列结论中错误的是（）
A．BC=AB﹣CD B．BC=（AD﹣CD）C．BC=（AD﹣CD）D．BC=AC﹣BD
10．观察图形，下列说法正确的个数是（）
（1）直线BA和直线AB是同一条直线
（2）射线AC和射线AD是同一条射线
（3）AB+BD＞AD
（4）三条直线两两相交时，一定有三个交点．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．如果∠1与∠2互补，∠2与∠3互余，则∠1与∠3的关系是（）
A．∠1=∠3 B．∠1=180°﹣∠3 C．∠1=90°+∠3 D．以上都不对
二、填空题
12．线段AB=10cm，BC=5cm，A、B、C三点在同一条直线上，则AC=．
13．已知线段AB=1996cm，P、Q是线段AB上的两个点，线段AQ=1200cm，线段BP=1050cm，则线段PQ=．
14．如图，OM平分∠AOB，ON平分∠COD．若∠MON=50°，∠BOC=10°，则∠AOD=度．
15．如图，线段AB=BC=CD=DE=1厘米，那么图中所有线段的长度之和等于厘米．
16．一条直线上立有10根距离相等的标杆，一名学生匀速地从第1杆向第10杆行走，当他走到第6杆时用了6.5s，则当他走到第10杆时所用时间是．
17．平面内三条直线两两相交，最多有a个交点，最少有b个交点，则a+b=．18．上午九点时分针与时针互相垂直，再经过分钟后分针与时针第一次成一条直线．19．如图，点O是直线AD上一点，射线OC、OE分别是∠AOB，∠BOD的平分线，若∠AOC=28°，则∠COD=，∠BOE=．
三、解答题
21．如图，在△ABC中，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，AC∥ED，CE是∠ACB的平分线，试比较∠EDF与∠BDF的大小，并说明理由．
22．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB与∠CBA的平分线相交于O点，求∠AOB的度数．
23．如图，AB∥ED，α=∠A+∠E，β=∠B+∠C+∠D．证明：β=2α
24．如图，E是DF上一点，B是AC上一点，∠1=∠2，∠C=∠D，求证：∠A=∠F．
25．已知一个角的补角比这个角的4倍大15°，求这个角的余角．
26．如图，点P是∠AOB的边OB上的一点．
（1）过点P画OB的垂线，交OA于点C；
（2）过点P画OA的垂线，垂足为H；
（3）线段PH的长度是点P到的距离，是点C到直线OB的距离，线段PC、PH、OC这三条线段大小关系是（用“＜”号连接）．
27．如图，C是线段AB的中点，D是线段BC的中点，已知图中所有的线段之和为39，求线段BC的长．
28．（6分）如图，在直线上任取1个点，2个点，3个点，4个点，
（1）填写下表：
点的个
数所得线段的条
数
所得射线的条数
1 2
3
4
（2）在直线上取n个点，可以得到几条线段，几条射线？
29．如图所示，直线AB、CD相交于O，OE平分∠AOD，∠FOC=90°，∠1=40°，求∠2和∠3的度数．
30．如图，直线AB与CD相交于点O，OP是∠BOC的平分线，OE⊥AB，OF⊥CD （1）如果∠AOD=40°
①那么根据，可得∠BOC=度．
②那么∠POF的度数是度．
（2）图中除直角外，还有相等的角吗？请写出三对：
①；
②；
③．
31．已知：如图，∠AOB是直角，∠AOC=40°，ON是∠AOC的平分线，OM是∠BOC的
平分线．
（1）求∠MON的大小；
（2）当锐角∠AOC的大小发生改变时，∠MON的大小是否发生改变？为什么？
平行线与相交线
参考答案与试题解析
一、选择题
1．平面上有5个点，其中仅有3点在同一直线上，过每2点作一条直线，一共可以作直线（）条．
A．7 B．6 C．9 D．8
【考点】直线、射线、线段．
【分析】根据直线的定义作出图形即可得解．
【解答】解：如图，共有8条直线．
故选D．
【点评】本题考查了直线、射线、线段，熟记概念是解题的关键，作出图形更形象直观．
2．如图，点P是直线a外的一点，点A、B、C在直线a上，且PB⊥a，垂足是B，PA⊥PC，则下列不正确的语句是（）
A．线段PB的长是点P到直线a的距离
B．PA、PB、PC三条线段中，PB最短
C．线段AC的长是点A到直线PC的距离
D．线段PC的长是点C到直线PA的距离
【考点】点到直线的距离．
【分析】利用点到直线的距离的定义、垂线段最短分析．
【解答】解：A、根据点到直线的距离的定义：即点到这一直线的垂线段的长度．故此选项正确；
B、根据垂线段最短可知此选项正确；
C、线段AP的长是点A到直线PC的距离，故选项错误；
D、根据点到直线的距离即点到这一直线的垂线段的长度．故此选项正确．
故选C．
【点评】本题主要考查了点到直线的距离的定义，及垂线段最短的性质．
3．如图，已知ON⊥L，OM⊥L，所以OM与ON重合，其理由是（）
A．两点确定一条直线
B．在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．在同一平面内，过一点只能作一条垂线
D．垂线段最短
【考点】垂线．
【分析】利用“平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，逐一分析，排除错误答案．
【解答】解：A、点M、N可以确定一条直线，但不可以确定三点O、M、N都在直线l 的垂线上，故本选项错误；
B、直线OM、ON都经过一个点O，且都垂直于OL，故本选项正确；
C、在同一平面内，过直线外一点只能作一条垂线，故本选项错误；
D、此题没涉及到线段的长度，故本选项错误；
故选B．
【点评】本题考查了垂直的定义、两点确定一条直线、垂线段最短．正确理解它们的含义是解题的关键．
4．用一副学生用的三角板的内角（其中一个三角板的内角是45°，45°，90°；另一个是30°，60°，90°）可以画出大于0°且小于等于150°的不同角度的角共有（）种．A．8 B．9 C．10 D．11
【分析】先明确一副三角板的六个角共有四个度数，30°45°60°90度．然后进行加减运算，找到符合条件的角．
【解答】解：若画75°的角，先在纸上画出30°的角，再画出45°的角叠加即可．
同理可画出30°、45°、60°、90°、15°、105°、120°、135°、150°的角（因为45°﹣30°=15°、45°+30°=75°、90°+45°=135°、90°+60°=150°、60°+60°=120°、60°+45°=105°）．
故选C．
【点评】本题考查了角的计算，此题结合生活实际，既考查了对角的认识，又考查了同学们的完全归纳能力，是一道好题．不要漏角，也不能重复计算．
5．如果∠α与∠β是邻补角，且∠α＞∠β，那么∠β的余角是（）A．B．C．D．不能确定
【考点】对顶角、邻补角；余角和补角．
【分析】根据补角定义可得∠α+∠β=180°，进而得到（∠α+∠β）=90°，然后根据余角定义可得∠β的余角是：90°﹣∠β再利用等量代换可得（∠α+∠β）﹣∠β，然后计算即可．
【解答】解：∵∠α与∠β是邻补角，
∴∠α+∠β=180°，
∴（∠α+∠β）=90°，
∴∠β的余角是：90°﹣∠β=（∠α+∠β）﹣∠β=（∠α﹣∠β），
故选：C．
【点评】此题主要考查了邻补角和余角，关键是掌握邻补角互补，余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．
6．已知α与β是钝角，甲、乙、丙、丁四个人计算（α+β）的结果依次为28°，48°，60°，88°其中只有一个结果正确，那么并得到正确的结果的是（）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【考点】角的计算．
【分析】根据钝角的概念进行解答，大于直角（90°）小于平角（180°）的角叫做钝角，求出范围，然后作出正确判断．
【解答】解：∵大于直角（90°）小于平角（180°）的角叫做钝角，
∴90°＜α＜180°，90°＜β＜180°，
∴30°＜＜60°，
∴满足题意的角只有48°，
故选B．
【点评】此题主要考查了角的计算的知识点，理解钝角的概念，大于直角（90°）小于平角（180°）的角叫做钝角，本题比较基础，需要牢固掌握．
7．下列语句中：①一条直线有且只有一条垂线；②不相等的两个角一定不是对顶角；③两条不相交的直线叫做平行线；④若两个角的一对边在同一直线上，另一对边互相平行，则这两个角相等；⑤不在同一直线上的四个点可画6条直线；⑥如果两个角是邻补角，那么这两个角的平分线组成的图形是直角．其中错误的有（）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【考点】平行线；相交线；对顶角、邻补角；垂线．
【分析】根据垂线、对顶角、平行线的定义、角相互间的关系、点与直线的关系进行判断．
【解答】解：①一条直线有无数条垂线，故①错误；
②不相等的两个角一定不是对顶角，故②正确；
③在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线，故③错误；
④若两个角的一对边在同一直线上，另一对边互相平行，则这两个角相等或互补，故④错误；
⑤不在同一直线上的四个点可画4或6条直线，故⑤错误；
⑥如果两个角是邻补角，那么这两个角的平分线组成的图形是直角，故⑥正确．
所以错误的有4个．
故选：C．
【点评】本题主要考查：平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做
到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义，要学会区分不同概念之间的联系和区别．
8．如图，AC⊥BC，AD⊥CD，AB=a，CD=b，则AC的取值范围（）
A．大于b B．小于a C．大于b且小于a D．无法确定
【考点】垂线段最短．
【分析】根据垂线段最短即可得到AC的取值范围．
【解答】解：∵AC⊥BC，AD⊥CD，AB=a，CD=b，
∴CD＜AC＜AB，
即b＜AC＜a．
故选C．
【点评】此题考查了垂线段最短的性质．
9．如图，B是线段AD的中点，C是BD上一点，则下列结论中错误的是（）
A．BC=AB﹣CD B．BC=（AD﹣CD）C．BC=（AD﹣CD）D．BC=AC﹣BD
【考点】比较线段的长短．
【专题】常规题型．
【分析】根据BC=BD﹣CD和BC=AC﹣AB两种情况和AB=BD对各选项分析后即不难选出答案．
【解答】解：∵B是线段AD的中点，
∴AB=BD=AD，
A、BC=BD﹣CD=AB﹣CD，故本选项正确；
B、BC=BD﹣CD=（AD﹣CD），故本选项正确；
C、BC=BD﹣CD=（AD﹣CD），故本选项错误；
D、BC=AC﹣AB=AC﹣BD，故本选项正确．
故选C．
【点评】本题主要考查线段中点的定义和等量代换，只要细心进行线段的代换便不难得到正确答案．
10．观察图形，下列说法正确的个数是（）
（1）直线BA和直线AB是同一条直线
（2）射线AC和射线AD是同一条射线
（3）AB+BD＞AD
（4）三条直线两两相交时，一定有三个交点．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】直线、射线、线段．
【专题】分类讨论．
【分析】结合图形，区别各概念之间的联系．
【解答】解：（1）直线BA和直线AB是同一条直线，直线没有端点，此说法正确；（2）射线AC和射线AD是同一条射线，都是以A为端点，同一方向的射线，正确；（3）AB+BD＞AD，三角形两边之和大于第三边，所以此说法正确；
（4）三条直线两两相交时，一定有三个交点，错误，可能有1个交点的情况．
所以共有3个正确．
故选C．
【点评】在图形中，找出正确的说法，一定要注意对几何问题各种情况的讨论．
11．如果∠1与∠2互补，∠2与∠3互余，则∠1与∠3的关系是（）
A．∠1=∠3 B．∠1=180°﹣∠3 C．∠1=90°+∠3 D．以上都不对
【考点】余角和补角．
【分析】根据∠1与∠2互补，∠2与∠3互余，先把∠1、∠3都用∠2来表示，再进行运算．
【解答】解：∵∠1+∠2=180°
∴∠1=180°﹣∠2
又∵∠2+∠3=90°
∴∠3=90°﹣∠2
∴∠1﹣∠3=90°，即∠1=90°+∠3．
故选：C．
【点评】此题主要记住互为余角的两个角的和为90°，互为补角的两个角的和为180度．
二、填空题
12．线段AB=10cm，BC=5cm，A、B、C三点在同一条直线上，则AC=5或者15cm．【考点】两点间的距离．
【专题】计算题；分类讨论．
【分析】本题没有给出图形，在画图时，应考虑到A、B、C三点之间的位置关系的多种可能，再根据题意画出的图形进行解答．
【解答】解：本题有两种情形：
（1）当点C在线段AB上时，如图，AC=AB﹣BC，
又∵AB=10cm，BC=5cm，∴AC=10﹣5=5cm；
（2）当点C在线段AB的延长线上时，如图，AC=AB+BC，
又∵AB=10cm，BC=5cm，∴AC=10+5=15cm．
故线段AC=15cm或5cm．
故答案为：15cm或5cm．
【点评】在未画图类问题中，正确画图很重要，本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．
13．已知线段AB=1996cm，P、Q是线段AB上的两个点，线段AQ=1200cm，线段BP=1050cm，
则线段PQ=254cm．
【考点】两点间的距离．
【分析】根据题意画出图形，然后利用等量关系AQ+BP=AB+PQ=1200+1050解答即可．【解答】解：如图：
由题意得：AQ+BP=AB+PQ=1200+1050=2250（cm），
∴PQ=2250﹣1996=254（cm）．
故答案为：254cm．
【点评】本题考查求解线段长度的知识，比较简单，注意画出草图，根据已知线段解答．
14．如图，OM平分∠AOB，ON平分∠COD．若∠MON=50°，∠BOC=10°，则∠AOD=90度．
【考点】角平分线的定义．
【专题】应用题．
【分析】利用角平分线的性质求出∠AOM=∠MOB，∠CON=∠DON，再根据角与角之间的关系计算．
【解答】解：∵OM平分∠AOB，ON平分∠COD，
∴∠AOM=∠MOB，∠CON=∠DON，
∵∠MON=50°，∠BOC=10°，
∴∠AOD=∠MON+∠AOM+∠DON=90°，
即∠AOD=90°．
故答案为：90°．
【点评】根据角平分线定义得出所求角与已知角的关系转化求解，难度适中．
15．如图，线段AB=BC=CD=DE=1厘米，那么图中所有线段的长度之和等于20厘米．
【考点】加法原理与乘法原理；比较线段的长短．
【分析】从图可知长为1厘米的线段共4条，长为2厘米的线段共3条，长为3厘米的线段共2条，长为4厘米的线段仅1条．所以可以求出所有的线段之和．
【解答】解：因为长为1厘米的线段共4条，长为2厘米的线段共3条，长为3厘米的线段共2条，长为4厘米的线段仅1条．
所以图中所有线段长度之和为1×4+2×3+3×2+4×1=20（厘米）．
故答案为：20．
【点评】本题考查看图能力，关键是能够数出1cm，2cm，3cm，4cm的线段的条数，从而求得解．
16．一条直线上立有10根距离相等的标杆，一名学生匀速地从第1杆向第10杆行走，当他走到第6杆时用了6.5s，则当他走到第10杆时所用时间是11.7s．
【考点】直线、射线、线段．
【分析】根据到第6杆时有5个间隔求出走1个间隔的时间，再求出到第10杆有9个间隔，然后列式计算即可得解．
【解答】解：从第1根标杆到第6根标杆有5个间隔，
所以，每个间隔行进6.5÷5=1.3s，
从第1根标杆到第10根标杆共有9个间隔，
所以，行进9个间隔共用1.3×9=11.7s．
故答案为：11.7s．
【点评】本题考查了直线、射线、线段，根据标杆的根数求出间隔数是解题的关键．
17．平面内三条直线两两相交，最多有a个交点，最少有b个交点，则a+b=4．【考点】直线、射线、线段．
【专题】计算题．
【分析】分析可得：平面内三条直线两两相交，最多有3个交点，最少有1个交点，则即可求得a+b的值．
【解答】解：∵平面内三条直线两两相交，最多有3个交点，最少有1个交点，
∴a+b=4．
故答案为：4．
【点评】本题考查与直线、线段、射线相关的几何图形的性质．
18．上午九点时分针与时针互相垂直，再经过16分钟后分针与时针第一次成一条直线．
【考点】钟面角．
【专题】计算题．
【分析】9点后分针与时针第一次成一条直线，则分针再3与4之间，时针在9与10之间，设9点时x分时，分针与时针第一次成一条直线，根据分针每分钟转动6°，时针每分钟转动0.5°，则x•6°﹣3×30°=x•0.5°，然后解方程即可．
【解答】解：9点时x分时，分针与时针第一次成一条直线，
根据题意得x•6°﹣3×30°=x•0.5°，
解得x=16，
即9时16分钟时分针与时针第一次成一条直线．
故答案为．
【点评】本题考查了钟面角：钟面被分成12大格，每大格为30°；分针每分钟转动6°，时针每分钟转动0.5°．
19．如图，点O是直线AD上一点，射线OC、OE分别是∠AOB，∠BOD的平分线，若∠AOC=28°，则∠COD=152°，∠BOE=62°．
【考点】角平分线的定义．
【专题】计算题．
【分析】先根据∠AOC+∠COD=180°求出∠COD的度数，再根据角平分线的性质求出∠AOB的度数，由平角的性质可求出∠DOB的度数，OE是∠BOD的平分线即可求出∠BOE 的度数．
【解答】解：∵∠AOC+∠COD=180°，∠AOC=28°，
∴∠COD=152°；
∵OC是∠AOB的平分线，∠AOC=28°，
∴∠AOB=2∠AOC=2×28°=56°，
∴∠BOD=180°﹣∠AOB=180°﹣56°=124°，
∵OE是∠BOD的平分线，
∴∠BOE=∠BOD=×124°=62°．
故答案为：152°、62°．
【点评】本题考查的是角平分线的定义，即从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
三、解答题
21．如图，在△ABC中，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，AC∥ED，CE是∠ACB的平分线，试比较∠EDF与∠BDF的大小，并说明理由．
【考点】平行线的性质；垂线．
【分析】先运用垂直于同一条直线的两直线平行，得出∠BDF=∠BCE，∠FDE=∠DEC，再根据平行线的性质得出∠DEC=∠ACE，然后利用角平分线等量代换即可得出两角的关系．【解答】解：∠EDF=∠BDF．
∵CE⊥AB于E，DF⊥AB于F
∴DF∥CE （垂直于同一条直线的两直线平行），
∴∠BDF=∠BCE （两直线平行，同位角相等），∠FDE=∠DEC （两直线平行，内错角相等）
又∵AC∥ED，
∴∠DEC=∠ACE （两直线平行，内错角相等），
∵CE是∠ACB的角平分线，
∴∠ACE=∠ECB（角平分线的定义），
∴∠EDF=∠BDF（等量代换）．
【点评】本题主要运用了平行线的性质和垂线的性质，解答本题的关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行内错角、同位角相等．
22．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB与∠CBA的平分线相交于O点，求∠AOB的度数．
【考点】三角形内角和定理．
【专题】整体思想．
【分析】根据三角形的内角和定理求出∠ABC+∠BAC，再根据角平分线的定义求出∠OAB+∠OBA，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
【解答】解：∵∠C=90°，
∴∠ABC+∠BAC=180°﹣90°=90°，
∵∠CAB与∠CBA的平分线相交于O点，
∴∠OAB+∠OBA=（∠ABC+∠BAC）=×90°=45°，
在△AOB中，∠AOB=180°﹣（∠OAB+∠OBA）=180°﹣45°=135°．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．
23．如图，AB∥ED，α=∠A+∠E，β=∠B+∠C+∠D．证明：β=2α
【考点】平行线的判定与性质；多边形内角与外角．
【专题】证明题．
【分析】此题的关键是过点C作AB的平行线，再利用平行线的性质和判定，得出∠A+∠E=180°，∠B+∠C+∠D=360°，即可证明．
【解答】证法1：∵AB∥ED，
∴α=∠A+∠E=180°（两直线平行，同旁内角互补）
过C作CF∥AB（如图1）
∵AB∥ED，
∴CF∥ED（平行于同一条直线的两条直线平行）
∵CF∥AB，
∴∠B=∠1，（两直线平行，内错角相等）
又∵CF∥ED，
∴∠2=∠D，（两直线平行，内错角相等）
∴β=∠B+∠C+∠D=∠1+∠BCD+∠2=360°（周角定义）∴β=2α（等量代换）
证法2：∵AB∥ED，
∴α=∠A+∠E=180°（两直线平行，同旁内角互补）
过C作CF∥AB（如图2）
∵AB∥ED，
∴CF∥ED（平行于同一条直线的两条直线平行）
∵CF∥AB，
∴∠B+∠1=180°，（两直线平行，同旁内角互补）
又∵CF∥ED，
∴∠2+∠D=180°，（两直线平行，同旁内角互补）
∴β=∠B+∠C+∠D=∠B+∠1+∠2+∠D=180°+180°=360°，∴β=2α（等量代换）
【点评】此题考查平行线的判定和性质，辅助线的作法很关键，也是常见作法，需掌握．
24．如图，E是DF上一点，B是AC上一点，∠1=∠2，∠C=∠D，求证：∠A=∠F．
【考点】平行线的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】因为∠1=∠3，∠1=∠2，所以∠2=∠3，由同位角相等证明BD∥CE，则有∠C=∠B，又因为∠C=∠D，所以∠B=∠D，由内错角相等证明DF∥AC，故可证明∠A=∠F．【解答】证明：∵∠1=∠3，∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴BD∥CE；
∴∠C=∠ABD，
∵∠C=∠D，
∴∠ABD=∠D，
∴DF∥AC；
∴∠A=∠F．
【点评】此题考查平行线的性质和判定．正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键．
25．已知一个角的补角比这个角的4倍大15°，求这个角的余角．
【考点】余角和补角；解一元一次方程．
【专题】方程思想．
【分析】设这个角为x°，则这个角的补角为180°﹣x°，余角为90°﹣x°，从而根据题意可
列出方程，解出即可得出答案．
【解答】解：设这个角为x°，则这个角的补角为（180﹣x）°，
依题意得：（180﹣x）﹣4x=15°，
解得：x=33°，
∴90°﹣x°=57°．
答：这个角的余角是57°．
【点评】此题考查了余角和补角的知识，见到这个题，首先应当想到列方程．在这个前提下，分析理解题目，可事半功倍，难度一般．
26．如图，点P是∠AOB的边OB上的一点．
（1）过点P画OB的垂线，交OA于点C；
（2）过点P画OA的垂线，垂足为H；
（3）线段PH的长度是点P到OA的距离，PC的长度是点C到直线OB的距离，线段PC、PH、OC这三条线段大小关系是PH＜PC＜OC（用“＜”号连接）．
【考点】作图—基本作图．
【分析】（1）过点P画∠OPC=90°即可；
（2）过点P画∠PHO=90°即可；
（3）利用点到直线的距离可以判断线段PH的长度是点P到OA的距离，PC是点C到直线OB的距离，线段PC、PH、OC这三条线段大小关系是PH＜PC＜OC．
【解答】解：（1）（2）如图；
（3）OA，PC（4分）
PH＜PC＜OC．（6分）
【点评】本题主要考查了基本作图﹣﹣﹣﹣作已知直线的垂线，另外还需利用点到直线的距离才可解决问题．
27．如图，C 是线段AB 的中点，D 是线段BC 的中点，已知图中所有的线段之和为39，求线段BC 的长．
【考点】比较线段的长短．
【专题】计算题．
【分析】结合图形可知，图形中共有6条线段，分别用x 的代数式表示出6条线段，根据题意列方程求解即可．
【解答】解：设CD=x ，则AC=BC=2x ，AD=3x ，AB=4x ，DB=x ．
∴x +2x +2x +3x +4x +x=39
解得x=3
∴BC=2x=6．
答：线段BC 的长为6．
【点评】利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键．
28．如图，在直线上任取1个点，2个点，3个点，4个点，
（1）填写下表：
点的个
数
所得线段的条数 所得射线的条数
1 0
2 2 1 4
33
6
468
（2）在直线上取n个点，可以得到几条线段，几条射线？
【考点】直线、射线、线段．
【专题】规律型．
【分析】（1）根据图形数出线段和射线的数量即可；
（2）根据（1）中的数量，找出规律条线段，2n条射线．【解答】解：（1）表格如下：
点的个
数所得线段的条
数
所得射线的条数
102
214
336
468
（2）可以得到条线段，2n条射线．
【点评】此题主要考查了射线和线段，关键是数出线段的条数后，找出其中的规律．
29．如图所示，直线AB、CD相交于O，OE平分∠AOD，∠FOC=90°，∠1=40°，求∠2和∠3的度数．
【考点】对顶角、邻补角；角平分线的定义．
【专题】计算题．
【分析】由已知∠FOC=90°，∠1=40°结合平角的定义，可得∠3的度数，又因为∠3与∠AOD互为邻补角，可求出∠AOD的度数，又由OE平分∠AOD可求出∠2．
【解答】解：∵∠FOC=90°，∠1=40°，AB为直线，
∴∠3+∠FOC+∠1=180°，
∴∠3=180°﹣90°﹣40°=50°．
∠3与∠AOD互补，
∴∠AOD=180°﹣∠3=130°，
∵OE平分∠AOD，
∴∠2=∠AOD=65°．
【点评】本题主要考查邻补角的概念以及角平分线的定义．
30．如图，直线AB与CD相交于点O，OP是∠BOC的平分线，OE⊥AB，OF⊥CD （1）如果∠AOD=40°
①那么根据对顶角相等，可得∠BOC=40°度．
②那么∠POF的度数是70°度．
（2）图中除直角外，还有相等的角吗？请写出三对：
①∠AOD=∠BOC；
②∠AOC=∠BOD；
③∠POB=∠POC．
【考点】角的计算．
【专题】计算题．
【分析】根据对顶角相等即可求出∠BOC，再根据OP是∠BOC的平分线，OE⊥AB，OF ⊥CD，即可求出∠POF．
【解答】解：（1）∵∠AOD=40°与∠BOC是对顶角，
根据对顶角相等，∴∠BOC=∠AOD=40°．
（2）根据OP是∠BOC的平分线，OE⊥AB，OF⊥CD，
∴∠POB=20°，∠BOF=90°﹣∠AOD=90°﹣40°=50°，
∴∠POF=∠POB+∠BOF=20°+50°=70°．
（3）根据对顶角相等：∠AOD=∠BOC，∠AOC=∠BOD．
由OP是∠BOC的平分线，∴∠POB=∠POC．
【点评】本题考查了角的计算，属于基础题，关键是根据已知条件进行求解．
31．已知：如图，∠AOB是直角，∠AOC=40°，ON是∠AOC的平分线，OM是∠BOC的平分线．
（1）求∠MON的大小；
（2）当锐角∠AOC的大小发生改变时，∠MON的大小是否发生改变？为什么？
【考点】角的计算；角平分线的定义．
【专题】计算题．
【分析】（1）根据∠AOB是直角，∠AOC=40°，可得∠AOB+∠AOC=90°+40°=130°，再利用OM是∠BOC的平分线，ON是∠AOC的平分线，即可求得答案．
（2）根据∠MON=∠MOC﹣∠NOC，又利用∠AOB是直角，不改变，可得．
【解答】解：（1）∵∠AOB是直角，∠AOC=40°，
∴∠AOB+∠AOC=90°+40°=130°，
∵OM是∠BOC的平分线，ON是∠AOC的平分线，
∴，．
∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC=65°﹣20°=45°，
（2）当锐角∠AOC的大小发生改变时，∠MON的大小不发生改变．
∵=，
又∠AOB是直角，不改变，
∴．
【点评】此题主要考查角的计算和角平分线的定义等知识点的理解和掌握，难度不大，属于基础题．。