(完整版)奥数数的整除讲义及答案

数的整除（ 1）性质、特色、奇偶性
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【知识要点】：
整除性：（ 1）若是数 a、b 都能被 c 整除，那么它的和（ a+b）或差（ a－ b）也能被 c 整
除。

（2）若是数 a 能被自然数 b 整除，自然数 b 能被自然数 c 整除，数 a 必能被数 c 整除。

（3）若干个数相乘，如其中有一个因数能被某一个数整除，那么，它的也能被个数
整除。

（4）若是一个数能被两个互数中的每一个数整除，那么，个数能被两个互数的整除。

反
之，若一个数能被两个互数的整除，那么个数能分被两个互数整除。

整除特色：（ 1）若一个数的末两位数能被4（或25）整除，个数能被4（或25）整除。

（2）若一个数的末三位数能被8（或125）整除，个数能被8（或125）整除。

（3）若一个数的各位数字之和能被3（或9）整除，个数能被3（或9）整除。

（4）若一个数的奇数位数字和与偶数数字和之差（以大减小）能被11 整除，个数能被
11 整除。

（5）若一个数的末三位数字所表示的数与末三位从前的数字所表示的数之差（大数减小数）
能被 7（或 13）整除，个数能被7（或 13）整除。

奇偶性：（ 1）奇数±奇数 =偶数（ 2）偶数±偶数 =偶数（ 3）奇数±偶数 =奇数（ 4）奇数×奇数 =奇数
（ 5）偶数×偶数 =偶数（ 6）奇数×偶数 =偶数（ 7）奇数÷奇数 =奇数（ 8）⋯【典型例】
例 1：一个三位数能被 3 整除，去掉它的尾端数后，所得的两位数是17 的倍数，的三位数中，最大是几？
解：在两位数中，是17 的倍数的数中最大的17×5=85（ 17× 6=102） .于是所求数的前两位数字 85.因 8+5=13 ，故所求数的个位数字2、5、8 ，数能被 3 整除，使数最大，其个位数字8.最大三位数是858.
例 2： 1～ 200 200 个自然数中，能被 6 或 8 整除的数共有多少个？
解：1～ 200 中，能被 6 整除的数共有33 个（ 200÷ 6=33⋯），能被 8 整除的数共有25 个（ 200 ÷8=25 ） .但［ 6， 8］=24 ， 200÷ 24=8⋯⋯ 8，即 1～ 200 中，有 8 个数既被 6 整除，又被8 整除。

故共有：33+25－ 8=50。

例 3：任意取出1998 个连续自然数，它们的总和是奇数还是偶数？
解：任意取出的 1998 个连续自然数，其中奇数、偶数各占一半，即 999 个奇数和 999 个偶数。

999 个奇数的和是奇数， 999 个偶数的和是偶数，奇数加上偶数和为奇数，因此它们的和是奇数。

例 4：有“ 1”，“ 2”，“ 3”，“ 4”四张卡片，每次取出三张组成三位数，其中偶数有多少个？
解：组成的三位数个位数字只能是 2 或 4 两种情况，若个位数字是 2，百位、十位数字可从余下的
6 数字中取，这样可组成 3× 2=6（个）三位偶数；若个位数字是 4，同样也能够组成个三位偶数。

这样总合 12 个。

【精英班】
解：依照能被7 整除的数的特色，555555 与 999999 都能被 7
由于上式中等号左
边的数与等号右边第一个数都能被7 整除，因此等号右边第二个数也能被
7 整除，推知 55□99 能被 7 整除。

依照能被7 整除的数的特色，
□99- 55=□44 也应能被 7 整除。

由□ 44 能被 7 整除，易知□内应是6。

【竞赛班】例6：某市举办小学生数学竞赛，共20 道题，评分标准是：答对一题给 5 分，不答一题给 1 分，答错一题倒扣 1 分，若是1999 人参赛，问参赛同学的总分是奇数还是偶
数？
解：对于每个学生来说，20 道题都答对，共得5× 20=100 分（偶数）。

若该学生答错一题，
应从100 分中扣（5+1=6 ）分，无论他答错多少道题，扣分的总数应是 6 的倍数，即扣分的
总数也是偶数，100 分中扣除偶数分仍得偶数分；同样若他不答一题，应从100 分中扣除（ 5
－1=4 ）分，无论他不答多少道题，扣分的总数应是 4 的倍数，即扣分的总数也是偶数，所
以100 分中减去偶数仍得偶数，每个学生得分数是偶数，那么无论有多少人参加数学竞赛，
学生得分的总数和必然是偶数。

【课后分层练习】
A组：入门级
1、判断 306371 能否被 7 整除？能否被13 整除？
解：由于 371-306=65 ，65 是 13 的倍数，不是7 的倍数，因此306371 能被 13 整除，不能够被7整除。

2、 abcabc 能否被 7、 11 和 13 整除 ?
3、六位数7E36F5是1375的倍数，求这个六位数。

解：由于1375=5 × 5× 5× 11=125 × 11，依照能被125 整除数的特色，这个数的末三位能被125 整除，可知道F=2，又由于这个数是11 的倍数，因此7+3+2－（ E+6+5 ）＝ 1－ E 是11 的倍数，那么E=1. 因此这个六位数是713625.
4、已知10□ 8971能
被
13 整除，求□中的数。

解： 10□8-971=1008- 971+□0=37+□0。

上式的个位数是7，若是 13 的倍数，则必是5、有 8 个学生都面向南站成一排，每次只有13 的 9 倍，由 13×9-37=80 ，推知□中的数是8。

7 个学生向后转，最少要做多少次才能使8 个
学生都面向北？
解：对于每个人只要向后转奇数次，就能面向北。

由于每一轮恰有 7 个学生向后转， 8 个学生向后转的次数总和为 7×8=56（次）。

因此最少要做 56÷ 7=8（次）才能使 8 个学生都面向北。

B 组：进阶级
1、有一个四位数3AA1 ，它能被9 整除，那么数 A 代表多少？
解： 3+A+A+1=4+2A ，依照能被9 整除数的特色，4+2A 是 9 的倍数。

由于4+2A 是偶数，因此 4+2A=18 ，A=7.
2、一个一百位数由 1 个 1，2 个 2，3 个 3，4 个 4，5 个 5，6 个 6，7 个 7，及 72 个 0 组成，问这个百位自然数有可能是完满平方数吗？
解：任何一个自然数的平方除以 3 都余 1 或 0.而这个一百位数的数字和是140， 140 除以 3
余 2，因此这个一百位数不能能是完满平方数。

3、某市举办小学生数学竞赛，共30 道题，评分标准是：基础分15 分，答对一题给 5 分，不答一题给 1 分，答错一题倒扣 1 分，若是199 人参赛，问参赛同学的总分是奇数还是偶数？
解：模拟例6：这199 位同学的得分总分是奇数。

4、已知10□8971能被13整除，求□中的数。

解： 10□8-971=1008- 971+□0=37+□0。

上式的个位数是7，若是 13 的倍数，则必是13 的 9 倍，由 13×9-37=80 ，推知□中的数是8。

C组：挑战级
1、能不能够将
1 到 10 的各数排成一行，使得任意相邻的两个数之和都能被 3 整除？
从
解：10 个数排成一行的方法很多，逐一试验显然行不通。

我们采用反证法。

假目的要
求能。

那么由意，从前到后每两个数一共有 5 ，每的两数之和都能
被3 整除，推知 1～ 10 的和也能被 3 整除。

上， 1～10 的和等于 55，不能够
被3 整除。

个矛盾明假不成立，因此目的要求不能够。

2、于左下表，每次使其中的任意两个数减去或加上同一个数，能否若干次后
（各次减去或加上的数能够不同样），右下表？什么？
解：因每次有两个数同被加上或减去同一个数，因此表中九个数的和化后，等于原来的和加上或减去那个数的 2 倍，因此和的奇偶性没有改。

原来九个数的和 1+2+⋯+9=45，是奇数，若干次化后，和仍是奇数，与右上表九个数的和是 4 矛盾。

因此不能能成右上表。

3、左以下图是一套房子的平面图，图中的方格代表房间，每个房间都有通向任何一个邻室
的门。

有人想从某个房间开始，依次不重复地走遍每一个房间，他的想法能实现吗？
解：如右上图所示，将相邻的房间黑、白相间染色。

无论从哪个房间开始走，由于总是黑白
相间地走过各房间，因此走过的黑、白房间数最多相差 1。

而右上图有 7 黑 5 白，因此不能能不重
复地走遍每一个房间。

【温馨提示】下节课我们将学习《数的整除（2）质数、合数、分解质因数》，请作好预习。