八年级数学上册 第一章 勾股定理 1 探索勾股定理方法学习素材 北师大版(2021学年)

八年级数学上册第一章勾股定理1 探索勾股定理方法学习素材（新版)北师大版
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《探索勾股定理》方法学习
【例1】 在△ABC 中,已知∠Ｂ=９0°，∠A、∠Ｂ、∠C 的对边分别是ａ、b 、c,且a ＝５,ｂ＝1２，求c 2. 【分析】
由∠B=9０°,知ｂ才是斜边(如图）,所以a 2+c 2= b 2,注意不要受思维定势
(勾股定理的表达式:)的影响而误认为c 是斜边
【解答】
由∠B=９0°，则知ｂ是Rt△ABC 的斜边， 由勾股定理,得c 2=22b a -=22125-=119.
【总结】我们在运用勾股定理时，首先要正确识别哪个角是直角,从而确定哪条边是斜边，然后准确写出勾股定理表达式进行求解.
【例2】如图,在△ABＣ中,ＡB = ２５，AC = 30，BC 边上的高AD
= 24，求BC 的长.
【分析】本例不能直接求出BC 的长，但通过观察图形
可以发现BC
边上的高AD 把△ABC 分成了两个直角三角形,可以分别在两个直角三角形中救出ＢD 、DC 的长,从而救出BC 的长.
【解答】在直角三角形AB Ｄ中,由勾股定理，得 B Ｄ 2=AB 2－AD 2＝２52－242=49,所以ＢD=7 ； 在直角三角形ＡＤＣ中，由勾股定理,得
CD ２=ＡC ２－ＡD 2＝302－242＝32４，所以CD ＝1８. 所以，BC = BD ＋ D Ｃ = 7 + １8 = 25。

例1图
例2图
直角三角形中有关边的计
【总结】在直角三角形中已知两条边可以应用勾股定理救出第三条边,要注意发现题目中的直角三角形，从而找到解题的思路．
【例１】用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的.
观察，你能验证222c a b =+吗？把你的验证过程写下来,并与同伴进行交流．
【分析】仔细观察图形，可以看出图中以c 为边的正方形面积有两种不同表示形式:即可以利用边长为C 来表示也可以用四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积来表示。

【解答】由图可知
S 正方形＝21
4()2
ab b a ⨯
+-＝222222ab b a ab a b ++-=+. S 正方形=2c ，所以222a b c +=.
【总结】本例通过拼图来验证勾股定理，体现了“数形结合”的思想,需要对图形进行细致观察、分析,如图形中小正方形的边长为()b a -.
【例２】如图如果以正方形ＡＢCD 的对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以对角线AE 为边作第三个正方形AEGH,如此下去,…己知正方形ＡＢCD 的面积1S 为1，按上述方法所作的正方形的面积
依次为n Sn S S (,32 为正整数)，那么第8个正方形的面积
8S =
【分析】求解这类题目的关键策略是:从特殊到一般,即先通过观察几个特殊的数式中
的变数与不变数,得到一般规律,再利用其一般规律求解所要解决的问题.
22122
2
3411,24,8
S S AC S AE S HE ========
学方法： 数形结合
b
a
例1图
例2图
照此规律可知:16425==S
观察数1、2、4、８、１6得43210216,28,24,22,21=====于是可得12-=n n S
因此128227188===-S 【解答】填:１2８.
【总结】本题利用了正方形是由两个全等的等腰直角三角形构成这个特点，在解题时要注意分析图形的构成．
【例1】在一棵树的10米高处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘，而另一只爬到树顶后直扑池塘，如果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高? 【分析】根据题意画出图形,再在直角三角形中运用勾股定理构建方
程求解.
【解答】如图,D 为树顶, 10m AB =，
C 为池塘，20m AC
=,设BD 的
长是m x ,则树高(10)x m +.因为AC AB BD DC +=+，所以
2010DC x
=+-,在ACD △中,90A ∠=，所以
222AC AD DC +=．故22220(10)(30)x x ++=-,解得5x =．所以1015x +=，即树高15米．
【总结】勾股定理的本身就是数形结合的体现,求解时它又与方程紧密相联． 【例2】在ABC
△中,1520AB AC ==，，BC 边上的高
12AD =,试求
BC 的长．
【分析】三角形中某边上的高
既可以在三角
形内部,也可以在三角形外部,只有将这两种情况全面考虑才能正确解答本题．
【解答】当AD 在ABC △内部时,如图（1)，由勾股定理,得
勾股定理的综合应用
A B
D
C
A
（1）
（2）
D
B C
例1图
B
例2图
22222
DB AB AD
=-=-=,即9
151281
BD=．
22222
CD AC AD
=-=-=，即16
2012256
CD=.
则25
=+=.
BC BD DC
当AD在ABC
△外部时,如图（2)
同样,由勾股定理可求得
，.
==
CD BD
169
BC=-=.
1697
故BC的长为２5或７．
【总结】本题在考查勾股定理的同时，也考查了对三角形高的位置情况的认识。

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